一道極難理解整數(shù)拆分問(wèn)題的分析
近日在很多論壇上看見下面的題目：
將450分成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種分法？
在2008年中公教育的國(guó)家版的教材中也出現(xiàn)了這道題，給出了下面的解析：“，顯然450的所有奇約數(shù)為1，3，5，9，15，25，45，75，225，奇約數(shù)的總個(gè)數(shù)為9，所以拆分的方法有9-1=8種”
很多學(xué)員對(duì)解析不甚理解。以下從另一個(gè)角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，給出這個(gè)題目較為詳細(xì)的解法，希望能夠?yàn)閺V大學(xué)員提供一點(diǎn)幫助。
首先題中只說(shuō)是若干個(gè)自然數(shù)，所以可以分奇數(shù)個(gè)和偶數(shù)個(gè)來(lái)討論。
（1）設(shè)（奇數(shù)）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的數(shù)為，根據(jù)題意可以得到下面的條件組：；（最小的那個(gè)數(shù)不小于1才能保證都是自然數(shù)）。符合以上兩個(gè)條件的奇數(shù)有5個(gè)，分別是3，5，9，15，25（為1 的情況舍去，因?yàn)榇藭r(shí)只有一個(gè)數(shù)450，算不上連續(xù)自然數(shù)的和），寫出來(lái)就是：
149+150+151=450；88+89+90+91+92=450，46+47+……+54=450；53+54+……+67=450
6+7+……+30=450
（2）設(shè)（偶數(shù)）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的兩個(gè)數(shù)為，同（1）可以得到以下兩個(gè)式子：，。，考慮900的偶約數(shù)并用不等式加以限制，可以等到符合的有3個(gè)，分別是4，12，20。寫出來(lái)就是：111+112+113+114=450，32+33+……+43=450，13+14+……+32=450
綜合（1）、（2）可知，存在3個(gè)，或4個(gè)，或5個(gè)，或9個(gè)，或12個(gè)，或15個(gè)，或20個(gè)，或25個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的和為450。也就是拆分的辦法是8種。
怎么理解教材上的解析呢？其實(shí)教材上的解析就是上述解法的一個(gè)精煉的敘述！
我們來(lái)看上面的拆分方法：
149+150+151=450=，也就是中間數(shù)150的3倍。
88+89+90+91+92=450=，也就是中間數(shù)90的5倍。
46+47+……+54=450=，也就是中間數(shù)50的9倍。
53+54+……+67=450=，也就是中間數(shù)60的15倍。
6+7+……+30=450=，也就是中間數(shù)18的25倍。
以上是運(yùn)用求奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過(guò)程。
13+14+……+32=450=，每?jī)蓚€(gè)一組，每組的和是45，共有10組。
32+33+……+43=450=，每?jī)蓚€(gè)一組，每組的和是75，共有6組。
111+112+113+114=450=，每?jī)蓚€(gè)一組，每組的和是225，共有2組。
以上是運(yùn)用求偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過(guò)程。
通過(guò)以上分析，我們可以知道書中的解析是給出了這8種分法的求和算法。也就是說(shuō)450 的每一個(gè)大于1的奇約數(shù)都對(duì)應(yīng)著450 的一種符合題意的拆分方法，因此450的大于1的奇約數(shù)的個(gè)數(shù)就是題中所求
近日在很多論壇上看見下面的題目：
將450分成若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種分法？
在2008年中公教育的國(guó)家版的教材中也出現(xiàn)了這道題，給出了下面的解析：“，顯然450的所有奇約數(shù)為1，3，5，9，15，25，45，75，225，奇約數(shù)的總個(gè)數(shù)為9，所以拆分的方法有9-1=8種”
很多學(xué)員對(duì)解析不甚理解。以下從另一個(gè)角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，給出這個(gè)題目較為詳細(xì)的解法，希望能夠?yàn)閺V大學(xué)員提供一點(diǎn)幫助。
首先題中只說(shuō)是若干個(gè)自然數(shù)，所以可以分奇數(shù)個(gè)和偶數(shù)個(gè)來(lái)討論。
（1）設(shè)（奇數(shù)）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的數(shù)為，根據(jù)題意可以得到下面的條件組：；（最小的那個(gè)數(shù)不小于1才能保證都是自然數(shù)）。符合以上兩個(gè)條件的奇數(shù)有5個(gè)，分別是3，5，9，15，25（為1 的情況舍去，因?yàn)榇藭r(shí)只有一個(gè)數(shù)450，算不上連續(xù)自然數(shù)的和），寫出來(lái)就是：
149+150+151=450；88+89+90+91+92=450，46+47+……+54=450；53+54+……+67=450
6+7+……+30=450
（2）設(shè)（偶數(shù)）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的兩個(gè)數(shù)為，同（1）可以得到以下兩個(gè)式子：，。，考慮900的偶約數(shù)并用不等式加以限制，可以等到符合的有3個(gè)，分別是4，12，20。寫出來(lái)就是：111+112+113+114=450，32+33+……+43=450，13+14+……+32=450
綜合（1）、（2）可知，存在3個(gè)，或4個(gè)，或5個(gè)，或9個(gè)，或12個(gè)，或15個(gè)，或20個(gè)，或25個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的和為450。也就是拆分的辦法是8種。
怎么理解教材上的解析呢？其實(shí)教材上的解析就是上述解法的一個(gè)精煉的敘述！
我們來(lái)看上面的拆分方法：
149+150+151=450=，也就是中間數(shù)150的3倍。
88+89+90+91+92=450=，也就是中間數(shù)90的5倍。
46+47+……+54=450=，也就是中間數(shù)50的9倍。
53+54+……+67=450=，也就是中間數(shù)60的15倍。
6+7+……+30=450=，也就是中間數(shù)18的25倍。
以上是運(yùn)用求奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過(guò)程。
13+14+……+32=450=，每?jī)蓚€(gè)一組，每組的和是45，共有10組。
32+33+……+43=450=，每?jī)蓚€(gè)一組，每組的和是75，共有6組。
111+112+113+114=450=，每?jī)蓚€(gè)一組，每組的和是225，共有2組。
以上是運(yùn)用求偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過(guò)程。
通過(guò)以上分析，我們可以知道書中的解析是給出了這8種分法的求和算法。也就是說(shuō)450 的每一個(gè)大于1的奇約數(shù)都對(duì)應(yīng)著450 的一種符合題意的拆分方法，因此450的大于1的奇約數(shù)的個(gè)數(shù)就是題中所求