2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）
數學（理科）
本試卷分第Ⅰ卷和第II卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁，第II卷第3至第4頁。全卷滿分150分，考試時間為120分鐘。
參考公式：
如果事件A與B互斥，那么
如果事件A與B相互獨立，那么
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
設是虛數單位，是復數的共軛復數，若，則=
?。ˋ） （B）
（C） （D）
（2） 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是
?。ˋ） （B）
?。–） （D）
版權所有：高考資源網(www.ks5u.com)
版權所有：( )
（3）在下列命題中，不是公理的是
（A）平行于同一個平面的兩個平面相互平行
（B）過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面
（C）如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內
（D）如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么他們有且只有一條過該點的公共直線
（4）“是函數在區(qū)間內單調遞增”的
（A） 充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
（5）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是
（A）這種抽樣方法是一種分層抽樣
（B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
（C）這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
（D）該班級男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數
（6）已知一元二次不等式的解集為，則的解集為
（A） （B）
（C） （D）
（7）在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為
（A） （B）
（C） （D）
（8）函數的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到
個不同的數使得則的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
（9）在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點滿足則點集所表示的區(qū)域的面積是
（A） （B）
（C） （D）
（10）若函數有極值點，，且，則關于的方程的不同實根個數是
（A）3 （B）4
（C） 5 （D）6
2013普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）
數 學（理科）
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
考生注意事項：
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡的相應位置。
（11）若的展開式中的系數為7，則實數_________。
（12）設的內角所對邊的長分別為。若，則則角_________.
（13）已知直線交拋物線于兩點。若該拋物線上存在點，使得為直角，則的取值范圍為___________。
（14）如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等。設若則數列的通項公式是____________。
（15）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S。則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）。
①當時，S為四邊形
②當時，S為等腰梯形
③當時，S與的交點R滿足
④當時，S為六邊形
⑤當時，S的面積為
三.解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內。
（16）（本小題滿分12分）
已知函數的最小正周期為。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）討論在區(qū)間上的單調性。
（17）（本小題滿分12分）
設函數，其中，區(qū)間
（Ⅰ）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）；
（Ⅱ）給定常數，當時，求長度的最小值。
（18）（本小題滿分12分）
設橢圓的焦點在軸上
（Ⅰ）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的第一象限內的點，直線交軸與點，并且，證明：當變化時，點在某定直線上。
（19）（本小題滿分13分）
如圖，圓錐頂點為。底面圓心為，其母線與底面所成的角為22.5°。和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為60°，
（Ⅰ）證明：平面與平面的交線平行于底面；
（Ⅱ）求。
（20）（本小題滿分13分）
設函數，證明：
（Ⅰ）對每個，存在的，滿足；
（Ⅱ）對任意，由（Ⅰ）中構成的數列滿足。
（21）（本小題滿分13分）
某高校數學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有位學生，每次活動均需該系位學生參加（和都是固定的正整數）。假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系位學生，且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數為
（Ⅰ）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；
（Ⅱ）求使取得值的整數。
數學（理科）
本試卷分第Ⅰ卷和第II卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁，第II卷第3至第4頁。全卷滿分150分，考試時間為120分鐘。
參考公式：
如果事件A與B互斥，那么
如果事件A與B相互獨立，那么
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
設是虛數單位，是復數的共軛復數，若，則=
?。ˋ） （B）
（C） （D）
（2） 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是
?。ˋ） （B）
?。–） （D）
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（3）在下列命題中，不是公理的是
（A）平行于同一個平面的兩個平面相互平行
（B）過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面
（C）如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內
（D）如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么他們有且只有一條過該點的公共直線
（4）“是函數在區(qū)間內單調遞增”的
（A） 充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件
（5）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是
（A）這種抽樣方法是一種分層抽樣
（B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
（C）這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
（D）該班級男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數
（6）已知一元二次不等式的解集為，則的解集為
（A） （B）
（C） （D）
（7）在極坐標系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為
（A） （B）
（C） （D）
（8）函數的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到
個不同的數使得則的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
（9）在平面直角坐標系中，是坐標原點，兩定點滿足則點集所表示的區(qū)域的面積是
（A） （B）
（C） （D）
（10）若函數有極值點，，且，則關于的方程的不同實根個數是
（A）3 （B）4
（C） 5 （D）6
2013普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）
數 學（理科）
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
考生注意事項：
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在答題卡的相應位置。
（11）若的展開式中的系數為7，則實數_________。
（12）設的內角所對邊的長分別為。若，則則角_________.
（13）已知直線交拋物線于兩點。若該拋物線上存在點，使得為直角，則的取值范圍為___________。
（14）如圖，互不相同的點和分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形的面積均相等。設若則數列的通項公式是____________。
（15）如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S。則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）。
①當時，S為四邊形
②當時，S為等腰梯形
③當時，S與的交點R滿足
④當時，S為六邊形
⑤當時，S的面積為
三.解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內。
（16）（本小題滿分12分）
已知函數的最小正周期為。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）討論在區(qū)間上的單調性。
（17）（本小題滿分12分）
設函數，其中，區(qū)間
（Ⅰ）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為）；
（Ⅱ）給定常數，當時，求長度的最小值。
（18）（本小題滿分12分）
設橢圓的焦點在軸上
（Ⅰ）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的第一象限內的點，直線交軸與點，并且，證明：當變化時，點在某定直線上。
（19）（本小題滿分13分）
如圖，圓錐頂點為。底面圓心為，其母線與底面所成的角為22.5°。和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為60°，
（Ⅰ）證明：平面與平面的交線平行于底面；
（Ⅱ）求。
（20）（本小題滿分13分）
設函數，證明：
（Ⅰ）對每個，存在的，滿足；
（Ⅱ）對任意，由（Ⅰ）中構成的數列滿足。
（21）（本小題滿分13分）
某高校數學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有位學生，每次活動均需該系位學生參加（和都是固定的正整數）。假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系位學生，且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數為
（Ⅰ）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；
（Ⅱ）求使取得值的整數。