二、股票指數(shù)期貨套利的理論分析
套利是指利用一個市場或多個市場存在的各種價格差異,在不冒風(fēng)險或少冒風(fēng)險的情況下賺取較高收益率的交易活動.也就是說，套利是利用資產(chǎn)定價的錯誤，價格聯(lián)系的失常,以及市場缺乏有效性的其他機(jī)會,通過買進(jìn)價格被低估的資產(chǎn)，同時賣出價格被高估的資產(chǎn)來獲取無風(fēng)險利潤的行為.套利是市場無效率的產(chǎn)物,而套利的結(jié)果則促進(jìn)市場效率的提高,因此套利活動對社會的正面效應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過負(fù)面效應(yīng),應(yīng)該給予充分的鼓勵和肯定。
（一）衍生工具的套利定價法
套利有五種基本形式:空間套利，時間套利，工具套利,風(fēng)險套利 和 稅收套利 .而股票指數(shù)期貨的套利行為，是時間套利和工具套利的結(jié)合，股票指數(shù)期貨的套利交易(又稱復(fù)制套利)是投資者同時交易股指期貨合約和相對應(yīng)的一攬子股票的交易策略,以謀求從期貨,現(xiàn)貨市場同一股票存在的價格差異中獲利.當(dāng)期貨實(shí)際價格大于理論價格時,買入股票指數(shù)期貨,賣出指數(shù)中的成分股組合,以次獲得無風(fēng)險套利收益.套利交易主要分布為跨市套利和跨期套利兩種.指數(shù)套利有利于避免股指期貨與股票現(xiàn)貨價格的嚴(yán)重背離,促進(jìn)交易股票市場和股指期貨市場平衡發(fā)展,提高市場流動性.套利者的利潤來源于相對價格的變動,而同時做多和做空的結(jié)果更能減少和規(guī)避風(fēng)險.但指數(shù)套利也同樣存在一定的風(fēng)險,如復(fù)制指數(shù)時會存在跟蹤誤差,其它還有利率風(fēng)險,股息風(fēng)險與交易風(fēng)險等，如股指期貨套利要求股指期貨和股票買賣同時進(jìn)行,任何時間上的偏差都會造成意料不到的損失.
這里我們以無收益資產(chǎn)為例介紹期貨的套利定價法。其基本思路是:構(gòu)建兩種投資組合,讓其終值相等 ,則其現(xiàn)值一定相等.否則的話，就可以進(jìn)行套利,即賣出現(xiàn)值較高的資產(chǎn)組合,買入現(xiàn)值較低的投資組合,并持有到期末,套利者就可賺取無風(fēng)險收益.眾多套利者這樣做的結(jié)果,將使較高現(xiàn)值的投資組合價格下降,而比較低的投資組合價格上升,直至套利機(jī)會消失.此時兩種組合的現(xiàn)值相等.這樣，我們就可以根據(jù)良種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系，求出遠(yuǎn)期價格.
基本的假設(shè)：
1，沒有交易費(fèi)用和稅收.
2，市場參與著能夠以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金
3，遠(yuǎn)期和約沒有違約風(fēng)險
4，允許現(xiàn)貨賣空行為
5，理論價格是在沒有套利機(jī)會下的均衡價格
6，期貨合約的保證金帳戶制服同樣的無風(fēng)險利率。
.T ：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時間，單位為年
t ：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量Ｔ和ｔ是從合約生效之前的某個日期開始計算的。
Ｔ－t 代表遠(yuǎn)期和期貨和約中以年為單位表示的剩下的時間。
Ｓ：標(biāo)的資產(chǎn)在時間t 時的價格。
K ：遠(yuǎn)期合約中的交割價格
f: 遠(yuǎn)期合約多頭在 t 時刻的價值
F: t 時刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期理論價格和期貨理論價格。
r: T時刻到期的以連續(xù)復(fù)利計算的 t 時刻的無風(fēng)險利率（年利率）。
組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke^-r(T-t) 的現(xiàn)金；
組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。
在組合A中，Ke^-r(T-t)的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率為投資，投資期限是T-t.。到T 時刻，其金額將達(dá)到K。這是因?yàn)镵e^-r(T-t)* e^r(T-t) = K
在遠(yuǎn)期合約到來時，這筆現(xiàn)金剛好可以用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。所以，它們在t 時刻的價值相等。也就是：
f + Ke^-r(T-t)=S
f = S －Ke^-r(T-t) （公式１）
上式表明，無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。由于遠(yuǎn)期價格Ｆ就是使合約價值f 為零的交割價格Ｋ，所以當(dāng)f = 0 時候，Ｋ＝Ｆ。也就是；Ｆ＝Ｓe^r(T-t) （公式２）
對于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。
我們用反證法證明公式2在不成立的時候情形是不平衡的。
假設(shè)Ｆ>Ｓe^r(T-t) , 既是交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值.在這種情況下,套利者可以按無風(fēng)險利率 r 借入 S 現(xiàn)金,期限為T－ｔ．然后用Ｓ購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價格是Ｆ．在Ｔ時刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來Ｆ現(xiàn)金，并歸還借款本息Ｓe^r(T-t)，這就是實(shí)現(xiàn)了Ｆ－Ｓe^r(T-t)的無風(fēng)險利潤．
（二）股票指數(shù)期貨的套利定價方法
對股票指數(shù)期貨進(jìn)行理論上的定價，是投資者做出買入或賣出合約策略的重要依據(jù).股票指數(shù)期貨實(shí)際上可以看作是一種證券的價格,而這種證券就是指數(shù)所涵蓋的股票所構(gòu)成的投資組合.同其它金融工具的定價一樣,股票指數(shù)期貨合約的定價在不同的條件下也會出現(xiàn)較大的差異
同其它金融工具的定價一樣，股票指數(shù)期貨合約的定價在不同條件下也會出現(xiàn)較大的差異.但是有一個基本原則是不變的，即由于市場套利活動的存在,股票指數(shù)期貨的真實(shí)價格應(yīng)該與理論價格保持一致,至少趨勢上是這樣的。我們假設(shè)投資者即進(jìn)行股票指數(shù)期貨交易，同時又進(jìn)行股票現(xiàn)貨交易,并假定:1,投資者先構(gòu)造出一個與股市指數(shù)完全一致的投資組合(二者在組合比例，股指的價值與股票組合的市值方面都完全一致); 2,投資者可以在金融市場上很方便的借款用于投資;3,賣出一份股指期貨合約;4,持有股票組合至股指期貨到期日,再將所收到的所有股息用于投資;5,在股指期貨合約交割日立即全部賣出股票組合;6,對股票直屬期貨合約進(jìn)行現(xiàn)金結(jié)算;7,用賣出股票和平倉的期貨合約收入來償還原先的借款.
假定在2001年10月27日某種股票市場指數(shù)2669.8點(diǎn),每個點(diǎn)”值”25美元,指數(shù)的面值為66745美元,股息的平均收益率為3.5%;2002年3月到期的股票指數(shù)期貨價格為2696點(diǎn)，期貨合約最后的交易日為2002年的3月19日,投資的持有期為143天,市場上的借貸資金的利率為6%.再假設(shè)該指數(shù)在5個月期間內(nèi)上升了,并且在3月19日收盤時收在2900點(diǎn),即該指數(shù)上升了8.62%.這時,按照我們的假設(shè)，股票價值的組合也會上升同樣的幅度,達(dá)到72500美元.
按照期貨交易的一般原理，這位投資者在指數(shù)期貨上的投資將會出現(xiàn)損失,因?yàn)槭袌鲋笖?shù)從2696點(diǎn)的期貨價格上升到2900點(diǎn)的市場價格。,上升了204點(diǎn)，則損失額是5100美元.然而投資者還是在現(xiàn)貨市場進(jìn)行了投資，由于股票價格的上升得到的凈收益為(72500-66745)5755美元，在這期間獲得的股息收入大約為915.2美元，兩項(xiàng)收入合計6670.2美元。再看一下其借款成本.在利率為6%的條件下，借得66745美元，期限143天，所付的利息大約是1569美元,再加上投資期貨中的損失5100美元，合計6669美元。比較投資者的收益和損失，會發(fā)現(xiàn)無論是投資股指期貨市場,還是投資股票現(xiàn)貨市場,都沒有獲得多少額外的收益..換句話說，在上述股指期貨價格下，投資者的無風(fēng)險套利不會成功,因此，這個價格是合理的股指期貨價格。
從國外股票指數(shù)期貨市場的實(shí)踐來看,實(shí)際股票指數(shù)期貨價格往往會偏離理論價格.當(dāng)實(shí)際股指期貨價格大于理論股指氣候價格時,投資者可以通過買進(jìn)股指所涉及的股票，并賣空股指期貨牟利.反之，投資者可以通過上述操作的反向操作而牟利.這種交易策略稱做指數(shù)套利(Index Arbitrage).不過，在成熟的市場里,實(shí)際股票指數(shù)期貨價格和理論期貨價格的偏離，總是處于一定的幅度內(nèi)的。
在理論描述中，一般分連續(xù)復(fù)利和單利兩種情況，分別做相應(yīng)的介紹。
首先是連續(xù)復(fù)利的條件下，作為有一定收益率資產(chǎn)的股指期貨其理論定價公式為：
F=Se(r-q)(T-t)
其中，F(xiàn)為指數(shù)期貨的價格，S為當(dāng)前指數(shù)的點(diǎn)數(shù)，T為期貨到期日（以年計算），r為無風(fēng)險利率，q為指數(shù)所包含的股票的收益率。例如，3個月的S&P500指數(shù)期貨的無風(fēng)險利率為10.5%(年），指數(shù)所含股票能提供4%的年平均股息收益率，當(dāng)前的指數(shù)點(diǎn)為300，則三個月到期的S&P500指數(shù)期貨的現(xiàn)時為304.92點(diǎn)。即：
F=300*e(0.105-0.04)*0.25 = 304.92 點(diǎn)
本例中，S=300,r=0.105,q=0.04,T-t=0.25
如果指數(shù)期貨價格偏離以上定價關(guān)系，則可以進(jìn)行指數(shù)套利交易。
（1） 當(dāng) F （2） 當(dāng) F>Se(r-q)(T-t) 時，套利者可以買入構(gòu)成指數(shù)的股票組合，同時拋出指數(shù)期貨。
例: 假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)現(xiàn)在的點(diǎn)數(shù)是1000點(diǎn),該指數(shù)所含股票的紅利收益率預(yù)計為每年5%(連續(xù)復(fù)利),3個月期標(biāo)準(zhǔn)普兒500指數(shù)期貨的市價為950點(diǎn), ,3個月的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%.所以,F =950, S=1000, r =10%, q = 5%,T-t = 0.25.計算可得知, F < Se(r-q)(T-t) ,
因此投資者可以通過賣空成分股買入指數(shù)期貨來套利。具體步驟如下：
1，確定套利金額（本例為1000萬美元）
2，按各成分股在指數(shù)中所占權(quán)重賣空成分股，總計金額1000萬美元；
3，將賣空成分股所得款項(xiàng)1000萬美元按無風(fēng)險利率貸出3個月；
4，買入20份3個月期的標(biāo)準(zhǔn)普兒500指數(shù)期貨（每個點(diǎn)數(shù)500美元）；
5，3個月以后收回貸款本金，利息收入為：
1000萬[e ^（0.1—0.25）—1] = 25.32萬美元
6, 3個月后,按市價買回成分股,平掉股票的空倉,假設(shè)此時指數(shù)現(xiàn)貨點(diǎn)數(shù)為S１，則股票現(xiàn)貨盈虧為： 1000-Ｓ１
－―――――――――?。。保埃埃叭f
１０００
７，３個月后按指數(shù)期貨點(diǎn)數(shù)Ｓ１對期貨頭寸進(jìn)行結(jié)算，其盈虧為；
（Ｓ１－９５０）＊５００＊２０
８，此次套利的總盈虧是：
２５.32萬＋１０００萬－１萬＊Ｓ１＋１萬＊Ｓ１－９５０萬＝７５．３２萬
其次是在單利的情況中，略有不同：
1．在時間0以fo 價格買入的期指多倉合約在時間T到期時的結(jié)算公式：
（IT - fo ）×V； IT = T 時股指收盤價，
V=價值乘數(shù)（例如：S&P500期指500美元，恒生指數(shù)50港元）
2．I×V 稱作指數(shù)價值（人為地制造出一個有價證券）
fv = f ×V稱作期指價值
3．股市指數(shù)可看作一個投資組合
以市值為權(quán)的指數(shù)公式:
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