1.時間數(shù)列的基本構(gòu)成要素與分解
（1）時間數(shù)列的基本構(gòu)成要素
在進(jìn)行時間數(shù)列分解時，一般把時間數(shù)列的構(gòu)成因素按性質(zhì)和作用分為四類：即長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)波動和不規(guī)則變動。
長期趨勢：時間數(shù)列在長時期內(nèi)呈現(xiàn)出來的某種持續(xù)上升或持續(xù)下降的變動稱為長期趨勢。是對未來進(jìn)行預(yù)測和推斷的主要依據(jù)。長期趨勢往往是由某些固定的、系統(tǒng)性的因素造成的。代表著研究對象的總發(fā)展方向，它既可以是線性的，也可以是曲線的。
季節(jié)波動：時間數(shù)列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動稱為季節(jié)波動。季節(jié)波動中“季節(jié)”一詞不僅僅是指一年中的四季，其實它是廣義的指任何一種周期性的變化。
循環(huán)變動：時間數(shù)列呈現(xiàn)出來的圍繞長期趨勢的一種波浪形或震蕩式變動稱為循環(huán)變動，也稱作周期變動。周期性變動沒有固定規(guī)律，其循環(huán)的幅度和周期的波動性很強(qiáng)，而且其周期短的一般也要3-5年，長的可達(dá)幾十年。
不規(guī)則變動：由各種偶然的、突發(fā)的或不可預(yù)見的因素引起的，稱為不規(guī)則變動或隨機(jī)變動。
（2）時間數(shù)列的分解模型
時間數(shù)列分析的一項主要內(nèi)容就是把這幾個影響因素從時間數(shù)列中有目的的分離出來，或者說對數(shù)據(jù)進(jìn)行分解、清理，并將他們的關(guān)系用一定的數(shù)學(xué)關(guān)系式予以表達(dá)。
加法模型：假定四種變動因素相互獨立，時間數(shù)列各時期發(fā)展水平是各個構(gòu)成因素的總和。用數(shù)學(xué)表達(dá)為：Y＝T+S+C+I
乘法模型：假定四種變動因素彼此間存在著交互作用，時間數(shù)列各時期發(fā)展水平是各個構(gòu)成因素的乘積，其數(shù)學(xué)表達(dá)式：Y＝T·S·C·I
T代表長期趨，S代表季節(jié)變動，C代表循環(huán)變動，I代表不規(guī)則變動。
需要說明：加法模型中，各個因素都是絕對數(shù)，乘法模型中，除了長期趨勢是絕對數(shù)外，其他因素都是以相對數(shù)或指數(shù)的形式出現(xiàn)的。
最后要指出：時間數(shù)列分析并不能作為對前景預(yù)測的依據(jù)。在利用時間數(shù)列分析的規(guī)律對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測時，預(yù)測的時間跨度不宜過長，并要注意對一些影響其發(fā)展的主要因素進(jìn)行分析。
2.長期趨勢的測定
長期趨勢的測定通常有修勻法和數(shù)學(xué)模型法。
（1）修勻法
基本思路：通過對相鄰項的合并或求平均來消除時間數(shù)列中的偶然因素，使得數(shù)列的主要運動方向趨勢比以前更加明顯，又可分為時距擴(kuò)大法和移動平均法兩種方法。
① 時距擴(kuò)大法
時距擴(kuò)大法是將原時間數(shù)列中各期指標(biāo)數(shù)值加以合并，得出一個擴(kuò)大了時距的新時間數(shù)列，這是測定長期趨勢的最簡單最原始的方法。
使用時距擴(kuò)大法注意：
首先，這一方法只適用于時期數(shù)列；
其次，時距擴(kuò)大程度不是隨意的，而應(yīng)該遵循事物發(fā)展的客觀規(guī)律；
最后，擴(kuò)大后的時距要一致，相應(yīng)的發(fā)展水平才具有可比性。
例12 一家貿(mào)易公司經(jīng)營產(chǎn)品的外銷業(yè)務(wù)，為了合理的組織貨源，需要了解外銷訂單的變化狀況。下表是1997-2001年各月
份外銷訂單金額。
表3-14 1997-2001年各月份外銷訂單金額
月份
1997年
1998年
1999年
2000年
2001年
1
54.3
49.1
56.7
64.4
61.1
2
46.6
50.4
52.0
54.5
69.4
3
62.6
59.3
61.7
68.0
76.5
4
58.2
58.5
61.7
71.9
71.6
5
57.4
60.0
62.6
69.4
74.6
6
56.6
55.6
63.6
67.7
69.9
7
56.1
58.0
63.2
68.0
71.4
8
52.9
55.8
63.9
66.3
72.7
9
54.6
55.8
63.2
67.8
69.9
10
51.3
59.8
63.4
71.5
74.2
11
54.8
59.4
64.4
70.5
72.7
12
52.1
55.5
63.8
69.4
72.5
將該數(shù)據(jù)做成折線圖如下，可知此時間數(shù)列是以年為周期呈現(xiàn)向上運動趨勢。
將每年的12個月數(shù)據(jù)合并得到新的將時距擴(kuò)大了的時間數(shù)列如下：
表3-15 1997-2001年各年份外銷訂單金額表
年份
1997
1998
1999
2000
2001
金額（萬元）
657.5
677.2
739.7
809.4
856.5
可見，通過時距擴(kuò)大法我們也清楚地觀察到了數(shù)據(jù)的向上發(fā)展趨勢。
① 移動平均法
通過對時間數(shù)列相鄰各項求平均數(shù)作為趨勢值或預(yù)測值的平滑或預(yù)測方法，稱為移動平均法。它具體可分為簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法。
a. 簡單移動平均法
簡單移動平均法是將最近的K期數(shù)據(jù)加以平均，作為移動中項的趨勢測定值。
設(shè)移動時期項數(shù)為k，則第t期的移動平均值為：
注意：當(dāng)k取奇數(shù)或偶數(shù)的不同形式時，處理方法有區(qū)別。對于k取奇數(shù)時，可直接運用公式（3·12）即可；當(dāng)k取偶數(shù)時，要在第一次對原數(shù)列作移動平均后，對所得新數(shù)列再做一次相鄰兩項的移動平均，這樣才能完成中心化。
例13 下表是1991-2000年我國的原煤產(chǎn)量數(shù)據(jù)，計算移動項數(shù)k=3,k=4時的反映趨勢變動的新數(shù)列。
表3-16 我國1991-2000年原煤產(chǎn)量數(shù)據(jù)
年份
1991
1992
1993
1994
1995
產(chǎn)量（億噸）
10.87
11.16
11.50
12.40
13.61
年份
1996
1997
1998
1999
2000
產(chǎn)量（億噸）
13.97
13.37
12.50
10.45
9.98
解：k=3時，移動項數(shù)為奇數(shù)，根據(jù)公式（3·21）得到
依此類推，最終結(jié)果匯集在表3-17中
當(dāng)k=4時，移動項數(shù)為偶數(shù)，要移動兩次，第一次移動運用公式（3·21）得到：
依此類推可得到表中第四列k＝4時的第一次移動平均。這時求出的移動平均數(shù)還不能作為趨勢值，因為他們代表的時期不明確。因此要計算二次移動平均值來代表第三期的長期趨勢，即進(jìn)行中心化。
第二步，對k=4時的第一次移動平均的結(jié)果（第四列）進(jìn)行中心化處理。
依此類推得到表3-17的第五列。
年份
產(chǎn)量
移動平均數(shù)
K=3
K=4
第一次移動平均
第二次移動平均
1991
10.87
－
1992
11.16
11.18
11.48
1993
11.50
11.69
11.83
1994
12.40
12.50
12.17
12.52
1995
13.61
13.33
12.87
13.15
1996
13.97
13.77
13.43
13.44
1997
13.73
13.40
13.45
13.06
1998
12.50
12.23
12.66
12.16
1999
10.45
10.98
11.67
－
2000
9.98
－
－
從表3-17的計算結(jié)果看，我國的原煤產(chǎn)量經(jīng)歷了先高后低的發(fā)展態(tài)勢。
b.加權(quán)移動平均法
加權(quán)移動平均法是對各期指標(biāo)值進(jìn)行加權(quán)后計算移動平均數(shù)。在使用加權(quán)移動平均法時，一般計算奇數(shù)項加權(quán)移動數(shù)，各期權(quán)數(shù)以二項展開式為計算基礎(chǔ)，使得中項時期指標(biāo)值的權(quán)數(shù)，兩邊對稱，越靠邊的項權(quán)值越小。
例14 表3-18第二欄是某旅游景點1984-1998年接待的游客人數(shù)。 要求測定該序列的長期趨勢。
表3-18 某旅游景點1984-1998年接待人數(shù)及移動平均數(shù)
年份
游客人數(shù)（萬人）
移動平均數(shù)
K=3
K=5
1984
107.2
－
－
1985
112.4
119.5
－
1986
146
132.45
129.6
1987
125.4
134
134.825
1988
139.2
138.45
141.475
1989
151.6
154.2
154.25
1990
174.4
169.75
167.875
1991
178.6
177.8
177.45
1992
179.6
184.45
186.188
1993
200
198.05
198.55
1994
212.6
213.65
212.988
1995
229.4
226.6
223.363
1996
235
226.6
223.663
1997
207
214.85
－
1998
210.4
－
－
當(dāng)k=3時：
其他K＝3時移動平均項都是用這個方法求出，見表3-18第三欄。
當(dāng)K＝5時：
表中第四列依此類推。
需要指出，采用移動平均法，移動后形成的派生數(shù)列的項數(shù)要比原時間數(shù)列的項數(shù)少，按奇數(shù)時期項數(shù)移動，首尾要各少（k-1）/2項數(shù)值，按偶數(shù)時期項數(shù)移動，首尾要各少(k/2)項數(shù)值。因此，用移動平均法只便于求時間數(shù)列各期的趨勢值和觀察長期趨勢，而不便直接根據(jù)派生數(shù)列進(jìn)行預(yù)測。
（1）時間數(shù)列的基本構(gòu)成要素
在進(jìn)行時間數(shù)列分解時，一般把時間數(shù)列的構(gòu)成因素按性質(zhì)和作用分為四類：即長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)波動和不規(guī)則變動。
長期趨勢：時間數(shù)列在長時期內(nèi)呈現(xiàn)出來的某種持續(xù)上升或持續(xù)下降的變動稱為長期趨勢。是對未來進(jìn)行預(yù)測和推斷的主要依據(jù)。長期趨勢往往是由某些固定的、系統(tǒng)性的因素造成的。代表著研究對象的總發(fā)展方向，它既可以是線性的，也可以是曲線的。
季節(jié)波動：時間數(shù)列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動稱為季節(jié)波動。季節(jié)波動中“季節(jié)”一詞不僅僅是指一年中的四季，其實它是廣義的指任何一種周期性的變化。
循環(huán)變動：時間數(shù)列呈現(xiàn)出來的圍繞長期趨勢的一種波浪形或震蕩式變動稱為循環(huán)變動，也稱作周期變動。周期性變動沒有固定規(guī)律，其循環(huán)的幅度和周期的波動性很強(qiáng)，而且其周期短的一般也要3-5年，長的可達(dá)幾十年。
不規(guī)則變動：由各種偶然的、突發(fā)的或不可預(yù)見的因素引起的，稱為不規(guī)則變動或隨機(jī)變動。
（2）時間數(shù)列的分解模型
時間數(shù)列分析的一項主要內(nèi)容就是把這幾個影響因素從時間數(shù)列中有目的的分離出來，或者說對數(shù)據(jù)進(jìn)行分解、清理，并將他們的關(guān)系用一定的數(shù)學(xué)關(guān)系式予以表達(dá)。
加法模型：假定四種變動因素相互獨立，時間數(shù)列各時期發(fā)展水平是各個構(gòu)成因素的總和。用數(shù)學(xué)表達(dá)為：Y＝T+S+C+I
乘法模型：假定四種變動因素彼此間存在著交互作用，時間數(shù)列各時期發(fā)展水平是各個構(gòu)成因素的乘積，其數(shù)學(xué)表達(dá)式：Y＝T·S·C·I
T代表長期趨，S代表季節(jié)變動，C代表循環(huán)變動，I代表不規(guī)則變動。
需要說明：加法模型中，各個因素都是絕對數(shù)，乘法模型中，除了長期趨勢是絕對數(shù)外，其他因素都是以相對數(shù)或指數(shù)的形式出現(xiàn)的。
最后要指出：時間數(shù)列分析并不能作為對前景預(yù)測的依據(jù)。在利用時間數(shù)列分析的規(guī)律對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測時，預(yù)測的時間跨度不宜過長，并要注意對一些影響其發(fā)展的主要因素進(jìn)行分析。
2.長期趨勢的測定
長期趨勢的測定通常有修勻法和數(shù)學(xué)模型法。
（1）修勻法
基本思路：通過對相鄰項的合并或求平均來消除時間數(shù)列中的偶然因素，使得數(shù)列的主要運動方向趨勢比以前更加明顯，又可分為時距擴(kuò)大法和移動平均法兩種方法。
① 時距擴(kuò)大法
時距擴(kuò)大法是將原時間數(shù)列中各期指標(biāo)數(shù)值加以合并，得出一個擴(kuò)大了時距的新時間數(shù)列，這是測定長期趨勢的最簡單最原始的方法。
使用時距擴(kuò)大法注意：
首先，這一方法只適用于時期數(shù)列；
其次，時距擴(kuò)大程度不是隨意的，而應(yīng)該遵循事物發(fā)展的客觀規(guī)律；
最后，擴(kuò)大后的時距要一致，相應(yīng)的發(fā)展水平才具有可比性。
例12 一家貿(mào)易公司經(jīng)營產(chǎn)品的外銷業(yè)務(wù)，為了合理的組織貨源，需要了解外銷訂單的變化狀況。下表是1997-2001年各月
份外銷訂單金額。
表3-14 1997-2001年各月份外銷訂單金額
月份
1997年
1998年
1999年
2000年
2001年
1
54.3
49.1
56.7
64.4
61.1
2
46.6
50.4
52.0
54.5
69.4
3
62.6
59.3
61.7
68.0
76.5
4
58.2
58.5
61.7
71.9
71.6
5
57.4
60.0
62.6
69.4
74.6
6
56.6
55.6
63.6
67.7
69.9
7
56.1
58.0
63.2
68.0
71.4
8
52.9
55.8
63.9
66.3
72.7
9
54.6
55.8
63.2
67.8
69.9
10
51.3
59.8
63.4
71.5
74.2
11
54.8
59.4
64.4
70.5
72.7
12
52.1
55.5
63.8
69.4
72.5
將該數(shù)據(jù)做成折線圖如下，可知此時間數(shù)列是以年為周期呈現(xiàn)向上運動趨勢。
將每年的12個月數(shù)據(jù)合并得到新的將時距擴(kuò)大了的時間數(shù)列如下：
表3-15 1997-2001年各年份外銷訂單金額表
年份
1997
1998
1999
2000
2001
金額（萬元）
657.5
677.2
739.7
809.4
856.5
可見，通過時距擴(kuò)大法我們也清楚地觀察到了數(shù)據(jù)的向上發(fā)展趨勢。
① 移動平均法
通過對時間數(shù)列相鄰各項求平均數(shù)作為趨勢值或預(yù)測值的平滑或預(yù)測方法，稱為移動平均法。它具體可分為簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法。
a. 簡單移動平均法
簡單移動平均法是將最近的K期數(shù)據(jù)加以平均，作為移動中項的趨勢測定值。
設(shè)移動時期項數(shù)為k，則第t期的移動平均值為：
注意：當(dāng)k取奇數(shù)或偶數(shù)的不同形式時，處理方法有區(qū)別。對于k取奇數(shù)時，可直接運用公式（3·12）即可；當(dāng)k取偶數(shù)時，要在第一次對原數(shù)列作移動平均后，對所得新數(shù)列再做一次相鄰兩項的移動平均，這樣才能完成中心化。
例13 下表是1991-2000年我國的原煤產(chǎn)量數(shù)據(jù)，計算移動項數(shù)k=3,k=4時的反映趨勢變動的新數(shù)列。
表3-16 我國1991-2000年原煤產(chǎn)量數(shù)據(jù)
年份
1991
1992
1993
1994
1995
產(chǎn)量（億噸）
10.87
11.16
11.50
12.40
13.61
年份
1996
1997
1998
1999
2000
產(chǎn)量（億噸）
13.97
13.37
12.50
10.45
9.98
解：k=3時，移動項數(shù)為奇數(shù)，根據(jù)公式（3·21）得到
依此類推，最終結(jié)果匯集在表3-17中
當(dāng)k=4時，移動項數(shù)為偶數(shù)，要移動兩次，第一次移動運用公式（3·21）得到：
依此類推可得到表中第四列k＝4時的第一次移動平均。這時求出的移動平均數(shù)還不能作為趨勢值，因為他們代表的時期不明確。因此要計算二次移動平均值來代表第三期的長期趨勢，即進(jìn)行中心化。
第二步，對k=4時的第一次移動平均的結(jié)果（第四列）進(jìn)行中心化處理。
依此類推得到表3-17的第五列。
年份
產(chǎn)量
移動平均數(shù)
K=3
K=4
第一次移動平均
第二次移動平均
1991
10.87
－
1992
11.16
11.18
11.48
1993
11.50
11.69
11.83
1994
12.40
12.50
12.17
12.52
1995
13.61
13.33
12.87
13.15
1996
13.97
13.77
13.43
13.44
1997
13.73
13.40
13.45
13.06
1998
12.50
12.23
12.66
12.16
1999
10.45
10.98
11.67
－
2000
9.98
－
－
從表3-17的計算結(jié)果看，我國的原煤產(chǎn)量經(jīng)歷了先高后低的發(fā)展態(tài)勢。
b.加權(quán)移動平均法
加權(quán)移動平均法是對各期指標(biāo)值進(jìn)行加權(quán)后計算移動平均數(shù)。在使用加權(quán)移動平均法時，一般計算奇數(shù)項加權(quán)移動數(shù)，各期權(quán)數(shù)以二項展開式為計算基礎(chǔ)，使得中項時期指標(biāo)值的權(quán)數(shù)，兩邊對稱，越靠邊的項權(quán)值越小。
例14 表3-18第二欄是某旅游景點1984-1998年接待的游客人數(shù)。 要求測定該序列的長期趨勢。
表3-18 某旅游景點1984-1998年接待人數(shù)及移動平均數(shù)
年份
游客人數(shù)（萬人）
移動平均數(shù)
K=3
K=5
1984
107.2
－
－
1985
112.4
119.5
－
1986
146
132.45
129.6
1987
125.4
134
134.825
1988
139.2
138.45
141.475
1989
151.6
154.2
154.25
1990
174.4
169.75
167.875
1991
178.6
177.8
177.45
1992
179.6
184.45
186.188
1993
200
198.05
198.55
1994
212.6
213.65
212.988
1995
229.4
226.6
223.363
1996
235
226.6
223.663
1997
207
214.85
－
1998
210.4
－
－
當(dāng)k=3時：
其他K＝3時移動平均項都是用這個方法求出，見表3-18第三欄。
當(dāng)K＝5時：
表中第四列依此類推。
需要指出，采用移動平均法，移動后形成的派生數(shù)列的項數(shù)要比原時間數(shù)列的項數(shù)少，按奇數(shù)時期項數(shù)移動，首尾要各少（k-1）/2項數(shù)值，按偶數(shù)時期項數(shù)移動，首尾要各少(k/2)項數(shù)值。因此，用移動平均法只便于求時間數(shù)列各期的趨勢值和觀察長期趨勢，而不便直接根據(jù)派生數(shù)列進(jìn)行預(yù)測。