排列組合問題是公務(wù)員考試中數(shù)學(xué)關(guān)系部分的常見題型。解決排列組合問題需要較強(qiáng)的抽象思維能力，有時(shí)要從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出特定的數(shù)學(xué)模型。其計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，這就需要我們能在第一次就能找到正確的計(jì)算方法。
解決排列組合問題也是有方法可循的，因?yàn)榕帕薪M合問題歸根到底就是“加法原理和分類計(jì)數(shù)法”與“乘法原理和分步計(jì)數(shù)法”的應(yīng)用。加法原理和乘法原理都為大家所熟知。
重要的是在“分類”時(shí)要滿足一定的要求，即每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏) 。同理，在“分步”的時(shí)候也要做到合理，即任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同 。
把握了“分類的要求”和“分步的合理性”，解決排列組合問題就快速多了。并能提高解題的準(zhǔn)確度。以下結(jié)合一些例題講述了在解決排列組合問題時(shí)的一般步驟和需要注意的細(xì)節(jié)。
1.明確任務(wù)的意義，復(fù)雜的生活背景或數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。
例1. 從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有幾個(gè)？
解：設(shè)a,b,c成等差，則2b=a+c, 可知b由a,c決定。由于2b是偶數(shù)，所以a,c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)。即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列， 即為所求。
2.對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入。
例2．在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?
解：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。 以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。 第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有 種； 第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有 種； 第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有 種。 因而共有185種。
3．注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合。
例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。
解：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇； 第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有一種選擇； 同理A、B位置互換 ，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。
解：通過合理的分步可以完成任務(wù)。 第一步從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法； 第二步從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法； 第三步從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法。 由于選取與順序無關(guān)，因而第二步和第三步中的選法重復(fù)一次，因而共 種。
4．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。
例5．六人站成一排，求：
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
解：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有 種站法。 第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種 站法，共504種站法
（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有 種方法；第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有 種方法；第三類：甲不在排尾,乙在排頭，有 種方法；第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有 種方法。共有312種方法。
解決排列組合問題也是有方法可循的，因?yàn)榕帕薪M合問題歸根到底就是“加法原理和分類計(jì)數(shù)法”與“乘法原理和分步計(jì)數(shù)法”的應(yīng)用。加法原理和乘法原理都為大家所熟知。
重要的是在“分類”時(shí)要滿足一定的要求，即每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏) 。同理，在“分步”的時(shí)候也要做到合理，即任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同 。
把握了“分類的要求”和“分步的合理性”，解決排列組合問題就快速多了。并能提高解題的準(zhǔn)確度。以下結(jié)合一些例題講述了在解決排列組合問題時(shí)的一般步驟和需要注意的細(xì)節(jié)。
1.明確任務(wù)的意義，復(fù)雜的生活背景或數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。
例1. 從1、2、3、……、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有幾個(gè)？
解：設(shè)a,b,c成等差，則2b=a+c, 可知b由a,c決定。由于2b是偶數(shù)，所以a,c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)。即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列， 即為所求。
2.對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入。
例2．在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?
解：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。 以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。 第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有 種； 第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有 種； 第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有 種。 因而共有185種。
3．注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合。
例3．在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。
解：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇； 第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有一種選擇； 同理A、B位置互換 ，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。
解：通過合理的分步可以完成任務(wù)。 第一步從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法； 第二步從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法； 第三步從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法。 由于選取與順序無關(guān)，因而第二步和第三步中的選法重復(fù)一次，因而共 種。
4．特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。
例5．六人站成一排，求：
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)
解：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有 種站法。 第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種 站法，共504種站法
（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有 種方法；第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有 種方法；第三類：甲不在排尾,乙在排頭，有 種方法；第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有 種方法。共有312種方法。