股票指數(shù)期貨定價(jià)的基本原理
經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)基本定律稱(chēng)為“一價(jià)定律”。意思是說(shuō)兩份相同的資產(chǎn)在兩個(gè)市場(chǎng)中報(bào)價(jià)必然相同,否則一個(gè)市場(chǎng)參與者可以進(jìn)行所謂無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利,即在一個(gè)市場(chǎng)中低價(jià)買(mǎi)進(jìn),同時(shí)在另一個(gè)市場(chǎng)中高價(jià)賣(mài)出。最終原來(lái)定價(jià)低的市場(chǎng)中因?qū)υ撡Y產(chǎn)需求增加而使其價(jià)格上漲,而原來(lái)定價(jià)高的市場(chǎng)中該資產(chǎn)價(jià)格會(huì)下跌直至最后兩個(gè)報(bào)價(jià)相等。因此供求力量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)公平而有競(jìng)爭(zhēng)力的價(jià)格以使套利者無(wú)從獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。
我們簡(jiǎn)單介紹一下遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格的持倉(cāng)成本定價(jià)模型。該模型有以下假設(shè):
期貨和遠(yuǎn)期合約是相同的;
對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)是可分的,也就是說(shuō)股票可以是零股或分?jǐn)?shù);
現(xiàn)金股息是確定的;
借入和貸出的資金利率是相同的而且是已知的;
賣(mài)空現(xiàn)貨沒(méi)有限制,而且馬上可以得到對(duì)應(yīng)貨款;
沒(méi)有稅收和交易成本;
現(xiàn)貨價(jià)格已知;
對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨資產(chǎn)有足夠的流動(dòng)性。
這個(gè)定價(jià)模型是基于這樣一個(gè)假設(shè):期貨合約是一個(gè)以后對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨資產(chǎn)交易的臨時(shí)替代物。期貨合約不是真實(shí)的資產(chǎn)而是買(mǎi)賣(mài)雙方之間的協(xié)議,雙方同意在以后的某個(gè)時(shí)間進(jìn)行現(xiàn)貨交易,因此該協(xié)議開(kāi)始的時(shí)候沒(méi)有資金的易手。期貨合約的賣(mài)方要以后才能交付對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨得到現(xiàn)金,因此必須得到補(bǔ)償來(lái)彌補(bǔ)因持有對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨而放棄的馬上到手資金所帶來(lái)的收益。相反,期貨合約的買(mǎi)方要以后才付出現(xiàn)金交收現(xiàn)貨,必須支付使用資金頭寸推遲現(xiàn)貨支付的費(fèi)用,因此期貨價(jià)格必然要高于現(xiàn)貨價(jià)格以反映這些融資或持倉(cāng)成本(這個(gè)融資成本一般用這段時(shí)間的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率表示)。
期貨價(jià)格=現(xiàn)貨價(jià)格+融資成本
如果對(duì)應(yīng)資產(chǎn)是一個(gè)支付現(xiàn)金股息的股票組合,那么購(gòu)買(mǎi)期貨合約的一方因沒(méi)有馬上持有這個(gè)股票組合而沒(méi)有收到股息。相反,合約賣(mài)方因持有對(duì)應(yīng)股票組合收到了股息,因而減少了其持倉(cāng)成本。因此期貨價(jià)格要向下調(diào)整相當(dāng)于股息的幅度。結(jié)果期貨價(jià)格是凈持倉(cāng)成本即融資成本減去對(duì)應(yīng)資產(chǎn)收益的函數(shù)。即有:
期貨價(jià)格=現(xiàn)貨價(jià)格+融資成本-股息收益
一般地,當(dāng)融資成本和股息收益用連續(xù)復(fù)利表示時(shí),指數(shù)期貨定價(jià)公式為:
F=Se(r-q)(T-t)
其中:
F=期貨合約在時(shí)間t時(shí)的價(jià)值;
S=期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)值;
r=對(duì)時(shí)刻T到期的一項(xiàng)投資,時(shí)刻t是以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(％);
q=股息收益率,以連續(xù)復(fù)利計(jì)(％);
T=期貨合約到期時(shí)間(年)
t=現(xiàn)在的時(shí)間(年)
考慮一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的3個(gè)月期貨合約。假設(shè)用來(lái)計(jì)算指數(shù)的股票股息收益率換算為連續(xù)復(fù)利每年3％,標(biāo)普500指數(shù)現(xiàn)值為400,連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年8％。這里r=0.08,S=400,T-t=0.25,q=0.03,期貨價(jià)格F為:
F=400e(0.05)(0.25)=405.03
我們將這個(gè)均衡期貨價(jià)格叫理論期貨價(jià)格,實(shí)際中由于模型假設(shè)的條件不能完全滿(mǎn)足,因此可能偏離理論價(jià)格。但如果將這些因素考慮進(jìn)去,那么實(shí)證分析已經(jīng)證明實(shí)際的期貨價(jià)格和理論期貨價(jià)格沒(méi)有顯著差異。
經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)基本定律稱(chēng)為“一價(jià)定律”。意思是說(shuō)兩份相同的資產(chǎn)在兩個(gè)市場(chǎng)中報(bào)價(jià)必然相同,否則一個(gè)市場(chǎng)參與者可以進(jìn)行所謂無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利,即在一個(gè)市場(chǎng)中低價(jià)買(mǎi)進(jìn),同時(shí)在另一個(gè)市場(chǎng)中高價(jià)賣(mài)出。最終原來(lái)定價(jià)低的市場(chǎng)中因?qū)υ撡Y產(chǎn)需求增加而使其價(jià)格上漲,而原來(lái)定價(jià)高的市場(chǎng)中該資產(chǎn)價(jià)格會(huì)下跌直至最后兩個(gè)報(bào)價(jià)相等。因此供求力量會(huì)產(chǎn)生一個(gè)公平而有競(jìng)爭(zhēng)力的價(jià)格以使套利者無(wú)從獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。
我們簡(jiǎn)單介紹一下遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格的持倉(cāng)成本定價(jià)模型。該模型有以下假設(shè):
期貨和遠(yuǎn)期合約是相同的;
對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)是可分的,也就是說(shuō)股票可以是零股或分?jǐn)?shù);
現(xiàn)金股息是確定的;
借入和貸出的資金利率是相同的而且是已知的;
賣(mài)空現(xiàn)貨沒(méi)有限制,而且馬上可以得到對(duì)應(yīng)貨款;
沒(méi)有稅收和交易成本;
現(xiàn)貨價(jià)格已知;
對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨資產(chǎn)有足夠的流動(dòng)性。
這個(gè)定價(jià)模型是基于這樣一個(gè)假設(shè):期貨合約是一個(gè)以后對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨資產(chǎn)交易的臨時(shí)替代物。期貨合約不是真實(shí)的資產(chǎn)而是買(mǎi)賣(mài)雙方之間的協(xié)議,雙方同意在以后的某個(gè)時(shí)間進(jìn)行現(xiàn)貨交易,因此該協(xié)議開(kāi)始的時(shí)候沒(méi)有資金的易手。期貨合約的賣(mài)方要以后才能交付對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨得到現(xiàn)金,因此必須得到補(bǔ)償來(lái)彌補(bǔ)因持有對(duì)應(yīng)現(xiàn)貨而放棄的馬上到手資金所帶來(lái)的收益。相反,期貨合約的買(mǎi)方要以后才付出現(xiàn)金交收現(xiàn)貨,必須支付使用資金頭寸推遲現(xiàn)貨支付的費(fèi)用,因此期貨價(jià)格必然要高于現(xiàn)貨價(jià)格以反映這些融資或持倉(cāng)成本(這個(gè)融資成本一般用這段時(shí)間的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率表示)。
期貨價(jià)格=現(xiàn)貨價(jià)格+融資成本
如果對(duì)應(yīng)資產(chǎn)是一個(gè)支付現(xiàn)金股息的股票組合,那么購(gòu)買(mǎi)期貨合約的一方因沒(méi)有馬上持有這個(gè)股票組合而沒(méi)有收到股息。相反,合約賣(mài)方因持有對(duì)應(yīng)股票組合收到了股息,因而減少了其持倉(cāng)成本。因此期貨價(jià)格要向下調(diào)整相當(dāng)于股息的幅度。結(jié)果期貨價(jià)格是凈持倉(cāng)成本即融資成本減去對(duì)應(yīng)資產(chǎn)收益的函數(shù)。即有:
期貨價(jià)格=現(xiàn)貨價(jià)格+融資成本-股息收益
一般地,當(dāng)融資成本和股息收益用連續(xù)復(fù)利表示時(shí),指數(shù)期貨定價(jià)公式為:
F=Se(r-q)(T-t)
其中:
F=期貨合約在時(shí)間t時(shí)的價(jià)值;
S=期貨合約標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)值;
r=對(duì)時(shí)刻T到期的一項(xiàng)投資,時(shí)刻t是以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(％);
q=股息收益率,以連續(xù)復(fù)利計(jì)(％);
T=期貨合約到期時(shí)間(年)
t=現(xiàn)在的時(shí)間(年)
考慮一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的3個(gè)月期貨合約。假設(shè)用來(lái)計(jì)算指數(shù)的股票股息收益率換算為連續(xù)復(fù)利每年3％,標(biāo)普500指數(shù)現(xiàn)值為400,連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年8％。這里r=0.08,S=400,T-t=0.25,q=0.03,期貨價(jià)格F為:
F=400e(0.05)(0.25)=405.03
我們將這個(gè)均衡期貨價(jià)格叫理論期貨價(jià)格,實(shí)際中由于模型假設(shè)的條件不能完全滿(mǎn)足,因此可能偏離理論價(jià)格。但如果將這些因素考慮進(jìn)去,那么實(shí)證分析已經(jīng)證明實(shí)際的期貨價(jià)格和理論期貨價(jià)格沒(méi)有顯著差異。