函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。
例：設(shè)y=蕊(x)是定義在區(qū)間［-1，1］上的函數(shù)，且滿足條件：
(i)f(-1)＝f(1)＝0；
(ii)對任意的u,v∈［-1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。
(Ⅰ)證明：對任意的x∈［-1，1］，都有x-1≤f(x)≤1-x；
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈［-1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤1。
解題：
(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈［-1，1］時，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈［-1，1］，當(dāng)—u-v—≤1時，有—f(u)-f(v)—≤1
當(dāng)—u-v—>1，u·v<0,不妨設(shè)u<0，則v>0且v-u>1,其中v∈(0，1］，u∈［-1，0)
要想使已知條件起到作用，須在［-1，0)上取一點(diǎn)，使之與u配合以利用已知條件，結(jié)合f(-1)＝f(1)＝0知，這個點(diǎn)可選-1。同理，須在(0，1］上取點(diǎn)1，使之與v配合以利用已知條件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1
綜上可知，對任意的u,v∈［-1，1］都有—f(u)-f(v)—≤1.
點(diǎn)評：有關(guān)抽象函數(shù)問題中往往會給出函數(shù)所滿足的等式或不等式，因此在解決有關(guān)問題時，首先應(yīng)對所要證明或求解的式子作結(jié)構(gòu)上的變化，使所要證明或求解的問題的結(jié)構(gòu)與已知的相同。如本題未給出函數(shù)y=f(x)的解析表達(dá)式，而給出了一組特定的對應(yīng)關(guān)系f(-1)=f(1)=0，以及兩個變量之差的絕對值不小于對應(yīng)的函數(shù)值之差的絕對值的一般關(guān)系。在(1)的證明中，利用f(1)=0,把f(x)改寫成—f(x)—＝—f(x)-f(1)—；在(2)的證明中，利用f(-1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改寫成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—，這些變形起了重要的作用，因?yàn)槭沁@些變化創(chuàng)造了使用條件的機(jī)會，也創(chuàng)造了解決問題的捷徑。
另外，有關(guān)抽象函數(shù)問題中所給的函數(shù)性質(zhì)往往是對定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)都成立的，因此根據(jù)題意，將一般問題特殊化，選取適當(dāng)?shù)奶刂?如令x=1，y＝0等)，這是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的策略之一。
總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難奏效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，同時在運(yùn)用這些策略時要做到密切配合，相得益彰。
例：設(shè)y=蕊(x)是定義在區(qū)間［-1，1］上的函數(shù)，且滿足條件：
(i)f(-1)＝f(1)＝0；
(ii)對任意的u,v∈［-1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。
(Ⅰ)證明：對任意的x∈［-1，1］，都有x-1≤f(x)≤1-x；
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈［-1，1］，都有—f(u)-f(v)—≤1。
解題：
(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈［-1，1］時，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈［-1，1］，當(dāng)—u-v—≤1時，有—f(u)-f(v)—≤1
當(dāng)—u-v—>1，u·v<0,不妨設(shè)u<0，則v>0且v-u>1,其中v∈(0，1］，u∈［-1，0)
要想使已知條件起到作用，須在［-1，0)上取一點(diǎn)，使之與u配合以利用已知條件，結(jié)合f(-1)＝f(1)＝0知，這個點(diǎn)可選-1。同理，須在(0，1］上取點(diǎn)1，使之與v配合以利用已知條件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1
綜上可知，對任意的u,v∈［-1，1］都有—f(u)-f(v)—≤1.
點(diǎn)評：有關(guān)抽象函數(shù)問題中往往會給出函數(shù)所滿足的等式或不等式，因此在解決有關(guān)問題時，首先應(yīng)對所要證明或求解的式子作結(jié)構(gòu)上的變化，使所要證明或求解的問題的結(jié)構(gòu)與已知的相同。如本題未給出函數(shù)y=f(x)的解析表達(dá)式，而給出了一組特定的對應(yīng)關(guān)系f(-1)=f(1)=0，以及兩個變量之差的絕對值不小于對應(yīng)的函數(shù)值之差的絕對值的一般關(guān)系。在(1)的證明中，利用f(1)=0,把f(x)改寫成—f(x)—＝—f(x)-f(1)—；在(2)的證明中，利用f(-1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改寫成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—，這些變形起了重要的作用，因?yàn)槭沁@些變化創(chuàng)造了使用條件的機(jī)會，也創(chuàng)造了解決問題的捷徑。
另外，有關(guān)抽象函數(shù)問題中所給的函數(shù)性質(zhì)往往是對定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)都成立的，因此根據(jù)題意，將一般問題特殊化，選取適當(dāng)?shù)奶刂?如令x=1，y＝0等)，這是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的策略之一。
總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難奏效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究，采用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，同時在運(yùn)用這些策略時要做到密切配合，相得益彰。