一、考試要求
1.熟悉區(qū)間估計 (包括置信水平、且信區(qū)間)的概念
2.熟悉正態(tài)總體均值、方差和標準差的置信區(qū)間的求法
3.了解比率p的置信區(qū)間 (大樣本場合)的求法
二、 內容講解
第四節(jié) 參數(shù)估計(續(xù))
二、區(qū)間估計
(一) 區(qū)間估計的概念
點估計僅僅給出參數(shù)一個具體的估計值，但是沒有給出估計的精度，而區(qū)間估計是用一個區(qū)間來對未知參數(shù)進行估計，區(qū)間估計體現(xiàn)了估計的精度。
設 是總體的一個待估參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為 ，記從總體中獲得樣本量為n的樣本為 ，對給定的 ，確定兩個統(tǒng)計量：
與
若對任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，則稱隨機區(qū)間[ ， ]是 的置信水平為l- 的置信區(qū)間，簡稱[ ， ]是 的l- 的置信區(qū)間， 與 分別稱為 的l- 的置信下限與置信上限。
置信區(qū)間的含義是：所構造的隨機區(qū)間 覆蓋(蓋住)未知參數(shù) 的概率為 。由于這個隨機區(qū)間隨樣本觀測值的不同而不同，它有時覆蓋了參數(shù) ，有時沒有覆蓋 ，但是用這種方法做區(qū)間估計時，100次中大約有100( )個區(qū)間能覆蓋未知參數(shù) 。圖1.4-1中每一條豎線表示由一個樣本量為4的樣本按給定的 與 求得的一個區(qū)間。重復抽取100個樣本，就得到100個這樣的區(qū)間，在( )中，100個區(qū)間有51個包含(覆蓋了)參數(shù)真值=50000，這對50%的置信區(qū)間來說是一個合理的偏離;在( )中，100個區(qū)間有90個包含參數(shù)真值=50000，這與90%的置信區(qū)間一致。
如果P( < )=P( > )= /2，則稱這種置信區(qū)間為等尾置信區(qū)間。
下面著重討論正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間及比例p的置信區(qū)間，它們都是等尾置信區(qū)間。
(二)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間
設總體分布為 ，從中抽取的樣本記為 ，樣本均值為 ，樣本方差為 ,樣本標準差為s。
(1)總體均值 的置信區(qū)間的求法： 的估計一般用樣本均值 ，從 的分布來構造置信區(qū)間。
當總體標準差 已知時，利用正態(tài)分布可得 的l- 置信區(qū)間為：
，
今后也記為 ，其中 是標準正態(tài)分布的 分位數(shù)。
當總體標準差 未知時， 用其估計s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：
其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位數(shù)。
(2)總體方差 與標準差 的置信區(qū)間的求法： 的估計常用樣本方差 ，因此從 的分布來構造置信區(qū)間。
利用 (n-1)分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：
將上式兩邊開平方，可得 的l- 置信區(qū)間為：
以上討論總結如下表1.4-2中，可供選用。
[例1.4-7] 某溶液中的甲醛濃度服從正態(tài)分布，從中抽取一個樣本量為4的樣本，求得 ，樣本標準差為 ，分別求正態(tài)均值 及標準差 的95%的置信區(qū)間。
解：先求正態(tài)均值 的置信區(qū)間，由于 未知，故采用 分布來求。
， ，又 ， ，查附表1-4得 ，從而正態(tài)均值 的95%的置信區(qū)間為：
再求 的置信區(qū)間。由于 ， ，查附表1-5得： ， ，則正態(tài)標準差 的95%的置信區(qū)間為：
[例1.4-8] 設一個物體的重量 未知，為估計其重量，用天平去稱，所得稱重(測量值)與實際重量間是有誤差的，因此所得的稱重是一個隨機變量，通常服從正態(tài)分布。如果已知稱量的誤差的標準差為0.1克(根據(jù)天平的精度給出)，為使 的95%的置信區(qū)間的長度不超過0.1，那么至少應該稱多少次?
解：這是估計樣本量的問題。在 已知時， 的95%的置信區(qū)間為：
其中 ，置信區(qū)間的長度是：
為使它不超過0.1，可解不等式 ，得 ，即至少應稱16次。
(三)比例p的置信區(qū)間
比例p的嚴格的置信區(qū)間的求法相當繁瑣，這里僅給出大樣本情況下根據(jù)中心極限定理的正態(tài)近似的結果。
設總體 ，樣本為 ，樣本值之和為k，樣本均值為 =k/n，這便是p的點估計，在樣本量n較大時，由于 的近似分布為N(p，p(1-p)/n)，因此p的l- 置信區(qū)間為：
(1.4-2)
其中 是標準正態(tài)分布的 分位數(shù)。
[例1.4-9] 在某電視節(jié)目的收視率調查中，隨機調查了400人，其中100人收看了該節(jié)目，試對該節(jié)目收視率p作置信水平為0.95的區(qū)間估計。
解：n=400， =100/400=0.25，在 =0.05時， ，由此得p的置信水平0.95的置信區(qū)間為：
即[0.2076，0.2924]。
1.熟悉區(qū)間估計 (包括置信水平、且信區(qū)間)的概念
2.熟悉正態(tài)總體均值、方差和標準差的置信區(qū)間的求法
3.了解比率p的置信區(qū)間 (大樣本場合)的求法
二、 內容講解
第四節(jié) 參數(shù)估計(續(xù))
二、區(qū)間估計
(一) 區(qū)間估計的概念
點估計僅僅給出參數(shù)一個具體的估計值，但是沒有給出估計的精度，而區(qū)間估計是用一個區(qū)間來對未知參數(shù)進行估計，區(qū)間估計體現(xiàn)了估計的精度。
設 是總體的一個待估參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為 ，記從總體中獲得樣本量為n的樣本為 ，對給定的 ，確定兩個統(tǒng)計量：
與
若對任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，則稱隨機區(qū)間[ ， ]是 的置信水平為l- 的置信區(qū)間，簡稱[ ， ]是 的l- 的置信區(qū)間， 與 分別稱為 的l- 的置信下限與置信上限。
置信區(qū)間的含義是：所構造的隨機區(qū)間 覆蓋(蓋住)未知參數(shù) 的概率為 。由于這個隨機區(qū)間隨樣本觀測值的不同而不同，它有時覆蓋了參數(shù) ，有時沒有覆蓋 ，但是用這種方法做區(qū)間估計時，100次中大約有100( )個區(qū)間能覆蓋未知參數(shù) 。圖1.4-1中每一條豎線表示由一個樣本量為4的樣本按給定的 與 求得的一個區(qū)間。重復抽取100個樣本，就得到100個這樣的區(qū)間，在( )中，100個區(qū)間有51個包含(覆蓋了)參數(shù)真值=50000，這對50%的置信區(qū)間來說是一個合理的偏離;在( )中，100個區(qū)間有90個包含參數(shù)真值=50000，這與90%的置信區(qū)間一致。
如果P( < )=P( > )= /2，則稱這種置信區(qū)間為等尾置信區(qū)間。
下面著重討論正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間及比例p的置信區(qū)間，它們都是等尾置信區(qū)間。
(二)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間
設總體分布為 ，從中抽取的樣本記為 ，樣本均值為 ，樣本方差為 ,樣本標準差為s。
(1)總體均值 的置信區(qū)間的求法： 的估計一般用樣本均值 ，從 的分布來構造置信區(qū)間。
當總體標準差 已知時，利用正態(tài)分布可得 的l- 置信區(qū)間為：
，
今后也記為 ，其中 是標準正態(tài)分布的 分位數(shù)。
當總體標準差 未知時， 用其估計s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：
其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位數(shù)。
(2)總體方差 與標準差 的置信區(qū)間的求法： 的估計常用樣本方差 ，因此從 的分布來構造置信區(qū)間。
利用 (n-1)分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：
將上式兩邊開平方，可得 的l- 置信區(qū)間為：
以上討論總結如下表1.4-2中，可供選用。
[例1.4-7] 某溶液中的甲醛濃度服從正態(tài)分布，從中抽取一個樣本量為4的樣本，求得 ，樣本標準差為 ，分別求正態(tài)均值 及標準差 的95%的置信區(qū)間。
解：先求正態(tài)均值 的置信區(qū)間，由于 未知，故采用 分布來求。
， ，又 ， ，查附表1-4得 ，從而正態(tài)均值 的95%的置信區(qū)間為：
再求 的置信區(qū)間。由于 ， ，查附表1-5得： ， ，則正態(tài)標準差 的95%的置信區(qū)間為：
[例1.4-8] 設一個物體的重量 未知，為估計其重量，用天平去稱，所得稱重(測量值)與實際重量間是有誤差的，因此所得的稱重是一個隨機變量，通常服從正態(tài)分布。如果已知稱量的誤差的標準差為0.1克(根據(jù)天平的精度給出)，為使 的95%的置信區(qū)間的長度不超過0.1，那么至少應該稱多少次?
解：這是估計樣本量的問題。在 已知時， 的95%的置信區(qū)間為：
其中 ，置信區(qū)間的長度是：
為使它不超過0.1，可解不等式 ，得 ，即至少應稱16次。
(三)比例p的置信區(qū)間
比例p的嚴格的置信區(qū)間的求法相當繁瑣，這里僅給出大樣本情況下根據(jù)中心極限定理的正態(tài)近似的結果。
設總體 ，樣本為 ，樣本值之和為k，樣本均值為 =k/n，這便是p的點估計，在樣本量n較大時，由于 的近似分布為N(p，p(1-p)/n)，因此p的l- 置信區(qū)間為：
(1.4-2)
其中 是標準正態(tài)分布的 分位數(shù)。
[例1.4-9] 在某電視節(jié)目的收視率調查中，隨機調查了400人，其中100人收看了該節(jié)目，試對該節(jié)目收視率p作置信水平為0.95的區(qū)間估計。
解：n=400， =100/400=0.25，在 =0.05時， ，由此得p的置信水平0.95的置信區(qū)間為：
即[0.2076，0.2924]。