第一章 排列題
所謂排列問題,指的是元素之間有明顯的前后順序關系,問題要求根據(jù)已知條件對各元素做出排列或者確定其中某些元素的位置。
一、單行排列題
單行排列題是為基礎的一類排列題,其定義為元素僅出現(xiàn),位置排成一條直線,且元素和位置一一對應。其解題思路是先從確定條件入手,再用連續(xù)條件,接下來用先后條件,后用推導條件,并把這些條件與題目中的附加條件(若有的話)相結合進行解題。
習題一
條件表達:
(1)J<H(H的課在J之后)
(2)S<U(U的課在S之后)
(3)S=G+3(S的課在G之后的第三天上)
(4)J=1/3(J的課不是在第一天就是在第三天)
條件分析:
根據(jù)條件(2)和條件(3)可得G+4≤U≤6,也即G只能占據(jù)1號或2號位置,而U只能占據(jù)5號或6號位置,S只能占據(jù)4號和5號位置。6個學生的占位情況可分三種情況加以討論:(1)J=1;(2)J=3,G=1;(3)J=3,G=2。這三種情況下這六個學生上課的順序如下表所示:
1
2
3
4
5
6
(1)
J
G
T/H
H/T
S
U
(2)
G
T
J
S
H/U
U/H
(3)
T
G
J
H
S
U
二、雙行排列或多行排列
雙行或多行排列:每個元素僅出現(xiàn),位置排成兩條或兩條以上的直線。在雙行排列中,由于多了一條直線,所以相鄰元素可能會有上、下、左、右四個元素,并會引入諸如兩個元素在同一行,同一列等新條件,端點位置和中心位置的概念也會發(fā)生變化。
習題二
條件表達:
以c,l和f分別代表氣候,位置和友好程度,則以上條件可以表示如下:
(1)每一個位置上只有一個元素出現(xiàn)
(2)c:T=3,S=4
(3)l:Q=2,R=3,P=4
(4)f:T<P,Q=4,S=5
(5)R(C)<R(f)(表示R在氣候一項所獲得的排名比在友好程度一項上所獲得的排名靠前)
(6)Q(c)≠Q(mào)(1)≠Q(mào)(f)
條件分析:本題也可以算作是一個多次的單排列題。根據(jù)以上條件把確定性元素填入下表:
1
2
3
4
5
氣候c
T
S
位置l
Q
R
P
友好f
T
R/P
P/R
Q
S
根據(jù)條件(6)可知Q(c)=1/5;根據(jù)條件(5)可知R(c)<R(f)可知R(f)≠1,再根據(jù)T(f)<P(f)可知,T(f)=1,R(f)=2/3,P(f)=3/2,R(c)=1/2。(這里“/”的意思是“或”)
三、多次排列
多次排列:參加排列的元素個數(shù)小于位置數(shù),從而造成某些元素占據(jù)兩個或兩個以上位置的排列。與其他排列的不同之處在于它并不注重哪一個元素位于哪一個位置上,相反它更強調某個元素排了幾次。在多次排列中,除了排列的一般條件之外,還應特別注意每個位置上所能容納的元素個數(shù)以及元素之間的互斥,互容關系等。數(shù)字分析是解答這類題的關鍵。
習題三
條件分析:
10個元素放在5個位置上,每個位置上2個元素,這10個元素分別是4R,2S,2T,1U和1V。將2R=3以及V=5分別填入下表:
1
2
3
4
5
R/S
R/S
R
R
R/S
V
R/S
此時10個元素中只有3個的位置已經(jīng)確定,還有7個元素——2R、2S、2T和1U的位置無法確定。根據(jù)R和S不能在同一周內(nèi)可知2R和2S必定要分布到4個不同的星期內(nèi),也即除了第三周之外的其他四個周的每一個周中不上演R的作品就必定要上演S的作品。把分析的結果填入上面的表格中后就可以利用這些條件開始解題了。
四、環(huán)形排列
環(huán)形排列:它是基本排列的一種變形,其不同之處在于它把位置的首端和尾端連接了起來,從而形成了一種沒有端點且呈環(huán)狀的排列。通常又把環(huán)形排列稱為“方桌排列”或“圓桌排列”。這種排列明顯的特征是其位置中失去了端點位置,從而使元素相鄰的條件更易達到。反之,對元素不相鄰的條件則更難滿足??忌诮膺@類題時要注意以下三點:
(1)首尾相連 (2)左右概念 (3)相對概念
由于位置構成了一條閉合回路,形成排列時的先后、上下以及左右的位置關系通常情況下都是相對的,與考生所畫的圖的表達方式有關,這一點是考生在解這類題時必須時刻注意的問題。
習題四
條件分析:根據(jù)條件(1),(2),(3)和(4)可推知兩個紅色長凳一定不能相鄰,從而可以推知T在東南角時,U一定在西北角。凳子在公園四周的分布情況可用一個3行3列的表格來表示。把已知條件代入可以得到下表:
U
J
K/L
L/K
T
5.正確答案是(D)。Z在Y的正北邊時,八個長凳的放置情況就完全確定了,如下表如示:
U
J
L
Z
K
Y
X
T
7.正確答案是(C)。當Y位于L的南面和T的北面時,Y只能位于西面的中間位置,而L只能位于東北角。此時八個長凳的分布情況可以分兩種情況來考慮:(1)X和T相鄰;(2)X和T不相鄰。這兩種情況下這八個元素的占位情況如下表所示:
U
J
L
Y
K
Z/X
X/Z
T
根據(jù)表格中的信息可知T和X并不一定相鄰。
所謂排列問題,指的是元素之間有明顯的前后順序關系,問題要求根據(jù)已知條件對各元素做出排列或者確定其中某些元素的位置。
一、單行排列題
單行排列題是為基礎的一類排列題,其定義為元素僅出現(xiàn),位置排成一條直線,且元素和位置一一對應。其解題思路是先從確定條件入手,再用連續(xù)條件,接下來用先后條件,后用推導條件,并把這些條件與題目中的附加條件(若有的話)相結合進行解題。
習題一
條件表達:
(1)J<H(H的課在J之后)
(2)S<U(U的課在S之后)
(3)S=G+3(S的課在G之后的第三天上)
(4)J=1/3(J的課不是在第一天就是在第三天)
條件分析:
根據(jù)條件(2)和條件(3)可得G+4≤U≤6,也即G只能占據(jù)1號或2號位置,而U只能占據(jù)5號或6號位置,S只能占據(jù)4號和5號位置。6個學生的占位情況可分三種情況加以討論:(1)J=1;(2)J=3,G=1;(3)J=3,G=2。這三種情況下這六個學生上課的順序如下表所示:
1
2
3
4
5
6
(1)
J
G
T/H
H/T
S
U
(2)
G
T
J
S
H/U
U/H
(3)
T
G
J
H
S
U
二、雙行排列或多行排列
雙行或多行排列:每個元素僅出現(xiàn),位置排成兩條或兩條以上的直線。在雙行排列中,由于多了一條直線,所以相鄰元素可能會有上、下、左、右四個元素,并會引入諸如兩個元素在同一行,同一列等新條件,端點位置和中心位置的概念也會發(fā)生變化。
習題二
條件表達:
以c,l和f分別代表氣候,位置和友好程度,則以上條件可以表示如下:
(1)每一個位置上只有一個元素出現(xiàn)
(2)c:T=3,S=4
(3)l:Q=2,R=3,P=4
(4)f:T<P,Q=4,S=5
(5)R(C)<R(f)(表示R在氣候一項所獲得的排名比在友好程度一項上所獲得的排名靠前)
(6)Q(c)≠Q(mào)(1)≠Q(mào)(f)
條件分析:本題也可以算作是一個多次的單排列題。根據(jù)以上條件把確定性元素填入下表:
1
2
3
4
5
氣候c
T
S
位置l
Q
R
P
友好f
T
R/P
P/R
Q
S
根據(jù)條件(6)可知Q(c)=1/5;根據(jù)條件(5)可知R(c)<R(f)可知R(f)≠1,再根據(jù)T(f)<P(f)可知,T(f)=1,R(f)=2/3,P(f)=3/2,R(c)=1/2。(這里“/”的意思是“或”)
三、多次排列
多次排列:參加排列的元素個數(shù)小于位置數(shù),從而造成某些元素占據(jù)兩個或兩個以上位置的排列。與其他排列的不同之處在于它并不注重哪一個元素位于哪一個位置上,相反它更強調某個元素排了幾次。在多次排列中,除了排列的一般條件之外,還應特別注意每個位置上所能容納的元素個數(shù)以及元素之間的互斥,互容關系等。數(shù)字分析是解答這類題的關鍵。
習題三
條件分析:
10個元素放在5個位置上,每個位置上2個元素,這10個元素分別是4R,2S,2T,1U和1V。將2R=3以及V=5分別填入下表:
1
2
3
4
5
R/S
R/S
R
R
R/S
V
R/S
此時10個元素中只有3個的位置已經(jīng)確定,還有7個元素——2R、2S、2T和1U的位置無法確定。根據(jù)R和S不能在同一周內(nèi)可知2R和2S必定要分布到4個不同的星期內(nèi),也即除了第三周之外的其他四個周的每一個周中不上演R的作品就必定要上演S的作品。把分析的結果填入上面的表格中后就可以利用這些條件開始解題了。
四、環(huán)形排列
環(huán)形排列:它是基本排列的一種變形,其不同之處在于它把位置的首端和尾端連接了起來,從而形成了一種沒有端點且呈環(huán)狀的排列。通常又把環(huán)形排列稱為“方桌排列”或“圓桌排列”。這種排列明顯的特征是其位置中失去了端點位置,從而使元素相鄰的條件更易達到。反之,對元素不相鄰的條件則更難滿足??忌诮膺@類題時要注意以下三點:
(1)首尾相連 (2)左右概念 (3)相對概念
由于位置構成了一條閉合回路,形成排列時的先后、上下以及左右的位置關系通常情況下都是相對的,與考生所畫的圖的表達方式有關,這一點是考生在解這類題時必須時刻注意的問題。
習題四
條件分析:根據(jù)條件(1),(2),(3)和(4)可推知兩個紅色長凳一定不能相鄰,從而可以推知T在東南角時,U一定在西北角。凳子在公園四周的分布情況可用一個3行3列的表格來表示。把已知條件代入可以得到下表:
U
J
K/L
L/K
T
5.正確答案是(D)。Z在Y的正北邊時,八個長凳的放置情況就完全確定了,如下表如示:
U
J
L
Z
K
Y
X
T
7.正確答案是(C)。當Y位于L的南面和T的北面時,Y只能位于西面的中間位置,而L只能位于東北角。此時八個長凳的分布情況可以分兩種情況來考慮:(1)X和T相鄰;(2)X和T不相鄰。這兩種情況下這八個元素的占位情況如下表所示:
U
J
L
Y
K
Z/X
X/Z
T
根據(jù)表格中的信息可知T和X并不一定相鄰。