主持人：2007年研究生入學(xué)考試的大幕已經(jīng)落下，中國人民大學(xué)出版社、中國一考網(wǎng)特別邀請黃先開老師和曹顯兵老師為廣大網(wǎng)友詳細點評2007年考研數(shù)學(xué)真題和答案。歡迎兩位老師。
主持人：首先請黃老師和曹老師點評一下和曹老師點評一下對07年數(shù)學(xué)考題的整體印象。
黃老師：大家好，很高興有這么一個機會和大家來交流一下我們今年考研數(shù)學(xué)的一些相關(guān)的情況，我先把高等數(shù)學(xué)這一部分相關(guān)內(nèi)容給大家做一個整體印象的介紹，然后再請曹老師對我們今年的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容給大家做一個介紹。
今年考試完了以后，實際上我們接觸到了很多同學(xué)，包括我們在網(wǎng)上的同學(xué)。很多網(wǎng)友對整個今年試題的整體印象是分兩個極端的，一部分同學(xué)感覺今年的試題很難，甚至是有史以來難的，但是也有相當(dāng)一部分同學(xué)認為我們今年的試題是比較簡單的。今年我們考研數(shù)學(xué)這一塊題到底是難還是不難，其實難和不難我認為是相對的，對高等數(shù)學(xué)的這一部分內(nèi)容來看，我自己的判斷應(yīng)該比去年應(yīng)該是難一些，特別是在選擇題的部分，應(yīng)該說我們今年選擇題高等數(shù)學(xué)這一部分的這幾個題我認為出的還是比較有水平的。那么作為我們考研數(shù)學(xué)這一塊，他為什么要這樣出題呢？其實作為整個我們數(shù)學(xué)這一部分的內(nèi)容，我們平常授課的時候也好、再輔導(dǎo)書里也談到了兩個方面，一個方面就是要考察大家對基本概念、基本理論、基本方法的掌握情況，那另一方面作為我們這種選拔性的考試，還希望能夠考察大家靈活去運用知識的能力，我認為我們今年這樣一個考研數(shù)學(xué)的試題可以說把這樣兩個方面都比較好的結(jié)合起來了，所以就是說復(fù)習(xí)的確確實實比較扎實，基本概念、基本理論、基本方法掌握的非常好，又能夠靈活的去運用相關(guān)的知識，那可能我們做起來的時候，感覺這個題不會有多難，但是如果我們再這樣兩個方面不是很好的、真正的做到，那有可能我們在做題的時候確實會感到有一些難度。因此我們各位網(wǎng)友也好、我們今年考過的同學(xué)也好，有這么兩個極端的反映其實我認為也是比較正常的。今年我們的考研數(shù)學(xué)特別是高等數(shù)學(xué)部分總體上看我認為有這樣幾個特點：第一，知識的覆蓋面比較廣?？梢哉f考試大綱要求我們掌握的主要知識點，都在這個試卷里面反映出來了。第二個特點就是計算量大。跟往年比較，我們今年的不管是選擇題還是計算題，計算量跟往年作比較應(yīng)該說要大一些。第三方面，試題的靈活性，特別是幾個選擇題， 很好地考查了我們靈活應(yīng)用知識的能力。以上是我們對今年高等數(shù)學(xué)的一個基本的判斷和整體的印象。我想下面我們先請曹老師來講一下線性代數(shù)和一些具體問題跟各位網(wǎng)友做一個具體的分析。
曹老師(中國人民大學(xué)出版社考研數(shù)學(xué)書主編)：大家好，非常高興我和大家分享一下我們07年考試的特點。07年考試給我的一個總的印象應(yīng)該來說整個試卷的難度比06年有略微的上升，但是對于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計部分來說，應(yīng)該說難度差不多、持平。它主要考查的是基本概念、重要的概型，可以說是大家比較熟悉的題型。比方說，獨立重復(fù)試驗、隨機變量函數(shù)的分布，比方說舉。這都是大家在平常復(fù)習(xí)的時候見的比較多的。但是有的同學(xué)做起來感覺不好，那就是因為計算量比往年要大一些。但是同學(xué)們開始看到題時，感覺比較容易，做完以后又感覺不是很理想。所以我想，今年的這次考試呢平常復(fù)習(xí)比較扎實，能夠把每個步驟都做到位，那么做這樣的題應(yīng)該來說能夠取得比較好的成績。當(dāng)然，在線性代數(shù)里面，對這個秩的考查，對這個線性方程組的考查，對它的特征值它的特征向量的考查，它是多個知識點綜合起來了。如果你只是對單個知識點熟悉了，那么做起來還不是很順。正如我們所了解到的情況來看，今年的總的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計難度應(yīng)該和去年相當(dāng)、持平。等會兒我在就一些具體的提問做一些分析。
主持人：黃老師、曹老師，很多網(wǎng)友對今年的試題有些爭議，現(xiàn)在網(wǎng)上公布的有些答案還是相互矛盾的，請談?wù)勀銈儗@些題目的看法。
黃老師：好的。剛才我也說了，有幾個題今年出得比較靈活一些。所以，我們在網(wǎng)站上也看到了一些同學(xué)對試題有爭議，甚至個別給出的答案差別還比較大。我自己認為在今年的高數(shù)里頭有這樣幾個題可能是大家比較關(guān)心的。在數(shù)學(xué)一里面，大家比較關(guān)心的是第2個小題，也就是求漸近線。這個題數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也考，當(dāng)然我們這個數(shù)學(xué)二也把這個題著重講一下。對于這個求漸近線，大家知道我們一般地求這個漸近線，第一步，是垂直漸近線，作為一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，我們這個垂直漸近線，其實就是找這個沒有定義點，大家都比較熟悉。第二步，我們要考慮水平漸近線，在很多教材里面也談到，如果有水平漸近線，那么就沒有斜漸近線，或者說我們就不用考慮斜漸近線，可是今年這個題的特點是什么呢，垂直漸近線，一般來講，大家都不會有問題，關(guān)鍵是水平漸近線，其實在這個地方，我們平常學(xué)過也好，還是我們這個輔導(dǎo)書里面也講到，考慮水平漸近線，首先我們看 X 趨向于無窮大的時候， 對應(yīng)的函數(shù)極限 是不是還存在，那么如果不存在，那么是不是就沒有水平漸近線了呢？這個時候我們要區(qū)分 x 趨向于負無窮大 x 趨向于正無窮大，來進行討論。所以說，今年這個題，靈活性就體現(xiàn)在這里。大家可以發(fā)現(xiàn)，由于指數(shù)函數(shù)ex 當(dāng)x趨向于無窮大的時候是一個典型的極限不存在的情況，平常我們一再強調(diào)，遇到這個問題的時候，好，馬上我要分 x 趨向于負無窮大 x 趨向于正無窮大來討論，結(jié)果呢， x 趨向于負無窮大的時候，極限是存在的，也就是說在小于零的這一側(cè)，有水平漸近線，那 x 趨向于正無窮大的時候，極限是不存在的，那在這一側(cè)，我們還應(yīng)該討論，在這一側(cè)有沒有斜漸近線，因此這個題做下來以后，有一條垂直漸近線，在小于零的這一側(cè)有一條水平漸近線，在大于零的這一側(cè)，有一條斜漸近線，因此漸近線有三條，也就是說第四個選擇項是我們的正確答案。從這個題也提示我們，做這種題的時候，特別是我們平常在復(fù)習(xí)這種題的時候，一定要把做題的步驟，做題的思路，遇到什么情況我們應(yīng)該怎么去討論，必須是真正的理解了，搞明白了，否則可能做這種題會有些困難。
在數(shù)學(xué)一里面，從這位網(wǎng)友反映的情況來看，應(yīng)該說大家爭執(zhí)比較多的是選擇題第4小題， 這個題，我們數(shù)學(xué)二、三、四也都考到這個題，其實對于這個題，如果我們對歷年試題比較熟悉，可以發(fā)現(xiàn)在01年數(shù)學(xué)一，考過一道可以說相當(dāng)類似的題，但是當(dāng)時這個題，得分率是相當(dāng)?shù)偷?，它涉及到我們對于這個概念的理解。在這個題里頭，實際上告訴我們極限是存在的，然后要我們進行相關(guān)的推理，這種題，在我們輔導(dǎo)書里面，在我們平時授課中，專門把這種題總結(jié)出來了，這就是高等數(shù)學(xué)中的典型的所謂隱含條件，見到這種條件，馬上想到我們可以引出什么樣的結(jié)論來，有這個基礎(chǔ)了，那這個題答案是很明顯的，可以找得到的。我剛才說的已經(jīng)總結(jié)歸納出來了，我們可以很輕松地把正確答案找到。如果沒有這種基礎(chǔ)，那么我們也完全可以用構(gòu)造反例的方式，來分析和判斷，所以在這個題里頭，我認為第一個答案和第二個答案，由于分母的極限為零，分子是一個連續(xù)函數(shù)，所以分子的極限一定是存在的，而且肯定是 零 的，所以第一個和第二個是正確的命題，沒有問題。但這個題要我們找的是不正確的命題。這道題出現(xiàn)爭執(zhí)的是第三個和第四個，其實，第三個，如果這個極限是存在的，那么它在這一點的導(dǎo)數(shù)值是存在的。第四個，如果說極限是存在的，在這一點的導(dǎo)數(shù)值也是存在零的。那么象這種題，我們能夠通過一個(一點導(dǎo)數(shù)不存在的例子在)X的絕對值，你把它代進去，其實我們也可以輕松的找到第四個實際上是一個不正確的命題。以上是在高等數(shù)學(xué)一里面爭執(zhí)比較多的兩個題。在數(shù)學(xué)二里面，有的同學(xué)也提出了一個有爭執(zhí)的問題，主要就是數(shù)學(xué)二選擇題的第7小題，有的地方是第三個是正確答案，也有的地方是第四個是正確答案。大家知道，我們多元函數(shù)的微分學(xué)里面，對于這個多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微，這四個概念里面，它們之間的聯(lián)系和差別，可以作為一個常識性的知識。這個題，問我們的是，什么時候這個函數(shù)在這個點是可微，那我們有一個書上的定理，大家知道，那就是，如果在這一點的一階偏導(dǎo)數(shù)，是一個連續(xù)的函數(shù)，那它在這點上是可微的，那我們可以發(fā)現(xiàn)，第一個和第二個，僅僅是告訴我們，在這一點是連續(xù)，告訴我們偏導(dǎo)數(shù)是存在的，要推出可微，這個是做不到的，所以這兩個大家一般都不會選。問題是三、四兩個選項，而之所以有部分同學(xué)認為第四個是正確答案，是因為把第四個的這兩個條件理解成了偏導(dǎo)數(shù)在這點是連續(xù)的，其實大家仔細看一下第四個答案就會發(fā)現(xiàn)，它的這個極限條件是f’對x求偏導(dǎo)，右邊是X和0，如果右邊是X和Y，那就表明這個偏導(dǎo)數(shù)在(0，0)這個點是連續(xù)的，但實際上，由于它已經(jīng)限定了這個 y 是 0 ，所以不能得出偏導(dǎo)函數(shù)在(0,0)這個點是連續(xù)的這個結(jié)論。因此第四個也不是 充分條件。而第三個，利用這個條件，我們可以推導(dǎo)出兩個極限偏導(dǎo)數(shù)都是等于零的，從而按照極限微分的定理，可以證明它這個極限微分在這點是存在的，因此這個是正確答案。還有的涉及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的問題，我們請曹老師做一個介紹。
曹老師：好，我下面就線性代數(shù)和概率統(tǒng)計里面有疑問的地方做一些介紹。線性代數(shù)數(shù)學(xué)一的第8小題。線性代數(shù)對今年所有的考生都是一樣的，這個會是一個趨勢。這個線性代數(shù)第8小題考的是一個相似和合同的關(guān)系的判斷。這對于我們數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)四的同學(xué)來說，是首次考查這方面內(nèi)容。這是概念性很強的題，對我們來說是很有難度的，但是對于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三來說，這個題應(yīng)該還是比較簡單的，大家看，兩個矩陣的是否相似的話，要肯定它，對我們來說要困難一些，但是要否定它，那就利用它那些性質(zhì)有一條不滿足它就可以了。這樣我們可以看出，這兩個矩陣A和B，它們的跡 ，也就是它們的對角線的元素的和是不相等的。我們根據(jù)相似的矩陣，它們的積相等，我們馬上可以否定A和B是不相似的，但可不可以利用它們的秩不相等來否定呢？如果它們的值不相等，也可以否定它們是相似的，而且可以否定合同(但他們的秩是相等的)。所以說，否定這個相似性是不難的。那么它們到底合不合同呢？大家知道，相似與合同，它們之間沒有因果的關(guān)系，在邏輯上是沒有因果關(guān)系的，不要以為，相似的一定是合同的，或者說合同的一定是相似的。所以說，不相似的矩陣它們有可能是合同的也有可能是不合同的，那怎么來判斷呢，這個時候我們來看，我們教材里面有這么一個結(jié)論，我們來對一下:兩個矩陣合同的充要條件是它們的秩相等，而且它們的正慣性指數(shù)相等，所以這個時候就要求特征值了，對B來說，就是 1，1，0 ，對A來說，就是3，3，0，它們的特征值是不同的，但正的特征值的個數(shù)是相同的，也就是說正關(guān)系指數(shù)是相同的，這樣它們就合同，那么這個題的正確答案應(yīng)該是選B的。
另外是關(guān)于統(tǒng)計的題，那就是數(shù)學(xué)一第9小題，數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也是第9小題，某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)的射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率是P，它提出了此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。這個題不仔細推敲的話，在語意上會引起誤解。這個題表達的含義應(yīng)該是，第2次命中目標(biāo)是第4次，前3次射擊還有是命中目標(biāo)的。所以我個人認為象這樣表述的話，這個題可能就簡單多了，那就是說，我們做一個獨立重復(fù)試驗，直到把目標(biāo)命中2次為止，那么做了4次試驗，這個可能性是多少？換句話還可以這么說，第2次打中目標(biāo)，發(fā)生在第4次的可能性是多少？那么是第4次打中了目標(biāo)，前面3次還有1次，那么應(yīng)該是第三個答案C。這是典型的查考我們的獨立重復(fù)試驗，這是同學(xué)們要重點掌握的一個。
主持人：兩位老師，能不能對今年的試題再做一下具體的補充？
黃老師：各位網(wǎng)友，我可能還要做一點說明，就是說大家拿到的試題從數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四，可能從題的順序上都不是完全一致的，所以你也不要輕易的否定我這個答案的正確性，如果你拿到的試題和我們點評的不完全一樣，可能會有些偏差。后面我們有一個完整的試題介紹，所以我們點評的話，也是在這樣一個試題的基礎(chǔ)上來做點評的，如果你拿到這個試題和我們這個是不完全一樣的，可能會有一些偏差，那么對今年具體的題，如果我們一個一個去分析也沒有那么多的時間，但是在高等數(shù)學(xué)這一部分，我想有一些題是值得我們仔細去分析和考慮的。為社么這樣說呢？因為高等數(shù)學(xué)這一部分，特別是我自己感覺選擇題這一部分，今年的試題還是比較有特點的，比如說我們高等數(shù)學(xué)選擇題的第一題，這個題形式上看我們數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四都考的好像是一個題，但是我們仔細的去分析這個題，其實我們數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四有一點點差別，這個差別也體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)一在高等數(shù)學(xué)這一部分里比數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四要求的略微高一些，其實我們數(shù)學(xué)一選擇題的第一題，看到有一個網(wǎng)友說這個題十幾分鐘還沒有把它綜合出來，那問題出在什么地方呢？其實在這里四個答案我們要去找他的(根號X)這樣一個等價無窮小量，在這四個答案里，可以說第一個、第三個、第四個答案都可以很輕松的找到等價無窮小量，由于這三個和我們需要的(根號X)都不是等價無窮小量，那我們利用排除的方法，馬上就可以得到第二個是正確答案，但是如果我們做這個題的時候是把思路放在找第二個的等價無窮小量，當(dāng)然如果這個題把答案設(shè)計在第四個，前面三個我都做出來了，和(根號X)不是等價無窮小量，那很多同學(xué)都會想到第四個是正確答案。但是，偏偏這個地方它把它放在第二個，那么第二個我要去找它的等價無窮小量，其實按照我們現(xiàn)在這種已有的知識可能對一部分同學(xué)來講是很有難度的，那要不你就把這個問題變成來是什么呢？來看一下這個函數(shù)和(根號X)相除以后，我來求極限，能不能保證這個極限等于一，當(dāng)然這樣去求極限的話，計算量也是比較大的，所以從這里大家可以發(fā)現(xiàn)這個正確答案的位置，包括這個題，四個答案里放的順序不一樣，可能對這個題的難易程度影響也是相當(dāng)大的，這是第一個。那么在我們數(shù)學(xué)一里，其實值得說的還有選擇題的第三個小題，也是我們的第三個題。第三個題由于我們的數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四都考這個題，其實這個題的核心問題是定積分的幾何意義，平常我們學(xué)習(xí)的時候，考慮的比較多的被積函數(shù)是一個非負的函數(shù)，那在這個相應(yīng)區(qū)間上的一個積分，也就是表示曲邊梯形的一個面積，但是如果這樣一個被積函數(shù)是一個異號的函數(shù)，不見得是大于零還是小于零，那在這種情況下我們定幾分的幾何意義涉及到一個符號問題，所以這一點我們在分析的時候是值得注意的，這個題我認為還是出的很不錯的，特別是在設(shè)計這樣一個答案的時候，有一個大F-2，我們考數(shù)學(xué)二的同學(xué)，數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四實際上還涉及到一個大F-3,也就是我們積分性是從0～-2，那么這里上限比下限小，因此考慮到幾何背景的時候大家一定要注意要交換一下上下限，那前面就要出現(xiàn)一個負號，注意到這一點的話，這個題我們還是能夠很輕松的利用這個半圓的面積找到我們所需要的正確答案，那么在今年的試題里，象數(shù)學(xué)一選擇題的第五個題，我認為這個題難度還是比較高的，這個題我們考數(shù)學(xué)二實際上也考了，它涉及到這個數(shù)列的收斂性，其實這個數(shù)列的收斂性僅僅告訴我們，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零的，由這樣一個函數(shù)引出的數(shù)列，要判定它的斂散性，那收斂的斂散性可能讓我們想到用定義去判定，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來分析和討論，但是在這個地方它是一個抽象的形式，我直接要去證明它是收斂的還是發(fā)散的，我認為在實際考試的時候，對相當(dāng)一部分同學(xué)來講，應(yīng)該說是都會有難度的，那么遇到這種問題的時候，平時在我們輔導(dǎo)過程中間，在我們講義里其實我們也都談到了一種做題的技巧，那就是說你給的是一個一般的函數(shù)，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零，如果我們是找一個具體的函數(shù)，那么二階導(dǎo)函數(shù)也是大于零，滿足你這個題的條件，那么我們來看一看我們得到的這個數(shù)列斂還是發(fā)散的，通過這種據(jù)反例、通過排除的方法其實我們也會找到答案的，那么這個題的難度還是比較大的。數(shù)學(xué)一里第六個題，是涉及到曲線積分，我認為命的也是相當(dāng)不錯的，平常我們做題的時候相比較而言，作為一個抽象的函數(shù)去求積分，遇到的比較少一些，其實這個題的核心問題，也就是我們在平時講課時強調(diào)的，只要時線面積分的問題，第一個思想就是要一個線面帶到我們這個被減函數(shù)里面去，由于條件告訴你 ,所以其實你把這個條件一代進去，其實我們這四個積分還是非常簡單的，所以從這些題里我想大家還是可以看出來我們今年的這個題一方面考的我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，但是我自己認為也考到了我們?nèi)绾蔚撵`活去運用知識的一個問題，把這兩個方面可以比較好的結(jié)合起來了，至于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計我想請曹老師給大家做一個點評。
曹老師：各位，剛才黃老師講的高等數(shù)學(xué)微積分里面一些重點難點題做了一個介紹，那么從黃老師做的這個介紹里面大家可以看出，我們今年高等數(shù)學(xué)題應(yīng)該是比較難的，比去年難度提高了，那么也使我們數(shù)學(xué)的整體難度提高了，由于標(biāo)準(zhǔn)的參考答案還沒有公布，為了方便網(wǎng)友對照，我和黃老師冒昧對這個試卷做了一個詳細的解答，包括填空題和選擇題，我們就放在這個附件，同學(xué)們可以作為參考，因為數(shù)學(xué)不看寫的東西，可能僅聽我們說的話，網(wǎng)友可能聽的也不是很明白、很清楚，如果這里面有錯誤的話，都由我們兩個人來負責(zé)承擔(dān)。
下面我講線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的題做一個大致的介紹，因為今年線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的大題我說一下，線性代數(shù)考了一個有公共解的問題，這個問題以前是考過的，考的是齊次方程組，兩個齊次方程組，那么今年的題是有些變化的，那么就是一個齊次方程組和一個非齊次方程組，但是想到公共解就是這兩個方程組共同的解，如果你能馬上想到把它們聯(lián)立起來，得到一個非齊次方程組，那么說，只要這個非齊次方程組有解的話，那就是它們有公共的解，那這個題就好做了，那么一個非齊次方程組有解的充分必要條件就是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，那么這個題做起來就比較順利了，這個題把A求出來有2個值，一個是1，一個是2，都能使這個方程組有公共的解，那么A＝1的時候，A=2的時候，一個是有無窮的公共解，一個是有的一個公共解，這的題的命題思路我想還是非常好的，能考察我們方程組這一章的復(fù)習(xí)情況，詳細的解答你們可以看看附件，再一個就是在概率統(tǒng)計的小題里考了一個幾何概型，這個幾何概型在數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四來說，加入考試大綱已經(jīng)有好幾年了，但是單獨出題今年是首次考，這個題應(yīng)該說是不難，平常我在講課當(dāng)中，也包括我和黃老師主編的由人大出版社出版的這個書里面也一個幾乎一摸一樣的題，也是(0，1)區(qū)間里任取兩個數(shù)，在這個幾何概型的題里面，這個題應(yīng)該說還是比較簡單的，那么對于大題來說的話，那就是考察了二維隨機變量，二維隨機變量不管哪一年都是考試的重點，那么今年考了兩個知識點，一個是計算二維隨機變量滿足一個不等式的概率，一個是計算二維隨機變量函數(shù)的分布，對于第一部分來說，計算量不大，考生做起來還是比較順利的，對于第二部分來說，方法肯定是掌握了的，考察的是你有沒有耐性，有沒有細心能夠把這個題做到后一步，這個題的計算量稍微的偏大，這是求X+Y的，那么有的同學(xué)可能習(xí)慣去使用卷積公式來做，實際上這個題用分布函數(shù)法做起來，就能比較順利的把它作出來，分四種情況，有兩種情況實際是一看就知道的，就是兩種特殊的情況，必然事件的概率和不可能事件的概率，一個等于1，一個等于0。這個分布函數(shù)，說明真正要計算的只有兩種情況，涉及到冪函數(shù)的積分，這個項比較多，計算的時候一定要仔細，另外就是統(tǒng)計的題，統(tǒng)計題是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三考的，統(tǒng)計題還是常規(guī)的求矩估計，是連續(xù)性隨機變量，就矩估計的題，那么是大家非常熟悉的，一個參數(shù)把數(shù)學(xué)期望求出來，求期望就是求積分，令它等于樣本均值，解方程就可以了，后就是我們評價標(biāo)準(zhǔn)里面，我一直強調(diào)的，重要的一個就是無偏性，三個標(biāo)準(zhǔn)，無偏性、有效性、一致性，這個一致性統(tǒng)考了二十一年，就只考過一個小題，說明它不是復(fù)習(xí)的重點，也不是考試的重點，無偏性考察的是期望或者說是隨機變量函數(shù)的期望，能夠達到綜合考察不同章節(jié)的知識點的目的，那么這個題對這一個無偏性的考察，考察了期望方差的計算，那么這個計算量比以往的計算兩要稍微大一點點，那么還有數(shù)學(xué)四的一個大題，因為數(shù)學(xué)四不考統(tǒng)計，所以他還考了一個概率的問題，也是考的二維隨機變量，這個考的是離散性，那么這個題嚴格的說有點超綱一樣，U和V分別都是X和Y的函數(shù)，我們要求的是U和V的聯(lián)合分布率，這個在考試大綱里雖然沒有做明確的要求，但是這個題只要我們理解了什么是離散性隨機變量的聯(lián)合分布律，按照定義還是可以求出來的，而且計算量要比前面的題要少的多，今年線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的題除了個別計算量偏大的題，都還是比較基本的，同學(xué)們把基本概念、基本性質(zhì)、基本定理搞清楚了，就能夠比較順利的做出來，那么我就說這么多。
主持人：后請兩位老師針對年年考研數(shù)學(xué)試題的命題趨勢，為08年考生講一講應(yīng)該如何安排考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。
黃老師：很多同學(xué)都特別關(guān)心，今年好像考的比去年難一點，明年會不會簡單一點，其實通過我們這么多年的考試命題以后，我自己認為總的這個趨勢，波動是越來越小，因為我們命題的這個核心東西，是考察我們兩個層次的問題，一個是考基本概念、基本理論、基本方法，再一個就是考察大家應(yīng)用知識的能力，所以我認為我們的復(fù)習(xí)的準(zhǔn)備也應(yīng)該從這樣兩個方面去針對性的復(fù)習(xí)，對于這個基礎(chǔ)層面的問題，我自己還是建議以我們的教材或者以我們比較通用的教材作為標(biāo)準(zhǔn)，比如說我們高等數(shù)學(xué)，大家可能用的多是同濟大學(xué)的這個教材，所以以這種基礎(chǔ)的教材，前面按照考試大綱的要求系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，這是我們復(fù)習(xí)的第一個方面，但是我們考試里不僅僅是考察我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，還涉及到我們靈活用用知識的能力問題，所以這種能力問題是怎么去考的？我想僅僅是依靠教材可能很難把它這種考試命題的特點歸納總結(jié)出來，因此我建議要了解考試是怎么考的，所以我們歷年考試的真題作為準(zhǔn)備去參加研究生考試的同學(xué)這是必備的，那么這個真題里，它只是一個題在這里，所以大家選這個真題的時候也應(yīng)該考慮到能不能通過這個真題的分析幫助我們真正的歸納總結(jié)這樣一些題型出來，針對每一個問題我們應(yīng)該如何去分析和討論在分析討論過程中間，有沒有一些可能的變化情況，這些變化情況到現(xiàn)在為止，考到了哪一些，那一些就是我們下一步復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的，這樣的話每一部分你都能夠這樣去歸納、總結(jié)或通過這種相關(guān)的輔導(dǎo)書，幫助你歸納總結(jié)出來了，那么我們這個復(fù)習(xí)就更有針對性。
除了歷年真題，我們建議大家一定要去看的就是通過靈活運用知識如何把這種知識歸納總結(jié)，其實這就是一般我們輔導(dǎo)的時候，復(fù)習(xí)講義里我們來幫助大家做這種事情，所以一般來講我們都是建議在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的前提條件下，象這種歷年考試的真題是應(yīng)該必備的，還有就是可以針對性的我們這種考研復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)的講義或者復(fù)習(xí)指南等等。就是有針對性的用它幫你歸納總結(jié)出來，可以節(jié)省大家的時間，但是在后期有這樣的一些為基礎(chǔ)，我自己認為數(shù)學(xué)不通過一定的題量很難把握這種知識的，所以我們希望大家通過找一些典型的題做一些訓(xùn)練，通過這種題的練習(xí)來反饋我們知識把握的情況怎么樣，這樣更好的來把握這些相關(guān)的知識。每個同學(xué)的復(fù)習(xí)情況都不完全一樣，但是我們說復(fù)習(xí)一定要養(yǎng)成一個好的習(xí)慣，我們拿到的這些數(shù)學(xué)題一定要有始有終把它算出來，這是一種計算能力的訓(xùn)練，其實這種訓(xùn)練象今年這種考試可能很容易看的出來，這個計算量還是相當(dāng)大的，所以沒有平常這樣一個基練，在實際考試的時候在這么一個短的時間里，這么大的一個計算量，你可能是很難想象的。但是，平常我一直養(yǎng)成這種好習(xí)慣以后，我們再來去應(yīng)對這種考試的話，應(yīng)該說沒有什么特殊的困難，當(dāng)然，這里還包括一些其他的考慮，例如我們線性代數(shù)的復(fù)習(xí)和概率統(tǒng)計這一塊應(yīng)該怎么復(fù)習(xí)我想大家也會聽一聽曹老師的建議。來源：www.examda.com
曹老師：網(wǎng)友們好，我非常贊成黃老師復(fù)習(xí)的建議，那么我做一個補充吧。由于黃老師在考研數(shù)學(xué)多年的經(jīng)驗，成千上萬的學(xué)生聽他的課，他也和大量的學(xué)生打過交道，這些都是寶貴的經(jīng)驗，也很具有參考價值。
總的來說可以分為這么幾個階段：第一個階段，是一個基礎(chǔ)的階段，用一個比較通用的，好一點的教材，這個階段可以稱為打基礎(chǔ)階段，這個階段的長短應(yīng)該根據(jù)不同同學(xué)的情況，基礎(chǔ)好一點的同學(xué)，這個時間可以短一點，基礎(chǔ)差一點的同學(xué)，這個階段可以長一點，但是我要提醒大家，這個基礎(chǔ)階段時間不能太長，不能到了十月、十一月份還在打基礎(chǔ)，那這樣的話，復(fù)習(xí)的效率就太低了，我建議基礎(chǔ)再差的同學(xué)也要再五、六月份把這個教材的打基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的階段做完。
第二個階段，黃老師就是說同學(xué)們，你們是要參加研究生考試的，你不是純粹的去研究數(shù)學(xué)的，那你就直奔你自己的目標(biāo)，數(shù)學(xué)考什么樣的題、難度是什么樣子，所以我認為這個階段是一個強化提高的階段，那么以看什么書為主呢？那就是歷年的真題，也就是按照題型分類，題型的按考試大綱章節(jié)這么分類的，這種歷年真題是對你有幫助的，再就是針對考研的這種考試參考書，作為復(fù)習(xí)，教材和參考書是有差異的，教材是不跨章節(jié)的，也就是你在看第六章的時候，例題也好，習(xí)題也好，不可能用到第六章以后的知識，但是考研的題的話，他是講的同學(xué)們上完課程，都學(xué)完了才來考試的，所以僅看教材的話就有些不足，難以提高自己參加考試的水平，參考書對于考研這個層次的數(shù)學(xué)來說哪些是重點，那些是難點它都做了歸納總結(jié)，同學(xué)們要多花時間，徹底復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)透徹的，這個上面都會講清楚，因為你自己去把握它的話呢，要困難一些，這就是我想為什么要看參考書，你是要參加碩士研究生的考試，不是說你去從事數(shù)學(xué)工作，比如說你是研究數(shù)學(xué)的，那這個書是不要看的。
第三個階段的話，你通過強化階段的復(fù)習(xí)，已經(jīng)達到了一個相當(dāng)高的水平，那么怎么樣保持這個水平呢？通過做適當(dāng)?shù)念}，比如歷年真題或是做模擬題，這個叫做總復(fù)習(xí)，或者說是沖刺的階段。這個階段什么時候開始是同學(xué)們關(guān)心的，我認為這個階段不要開始的太早了，一般是第二年一月份的考試，你不能從六月份就開始沖刺了，這個時候沖刺的效果就不好，可以在十月份以后，甚至十一月份以后來準(zhǔn)備你這個沖刺的階段，這就是剛才黃老師說的。按照習(xí)題集、練習(xí)題、綜合練習(xí)題或者是歷年真題，成套的題來做，也不要在很短的時間內(nèi)做完它，要分散開來做，這樣能夠使你的數(shù)學(xué)水平保持在一個佳的狀態(tài)，我們就說這么多。
主持人：好，感謝兩位老師的精彩評講。
主持人：首先請黃老師和曹老師點評一下和曹老師點評一下對07年數(shù)學(xué)考題的整體印象。
黃老師：大家好，很高興有這么一個機會和大家來交流一下我們今年考研數(shù)學(xué)的一些相關(guān)的情況，我先把高等數(shù)學(xué)這一部分相關(guān)內(nèi)容給大家做一個整體印象的介紹，然后再請曹老師對我們今年的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容給大家做一個介紹。
今年考試完了以后，實際上我們接觸到了很多同學(xué)，包括我們在網(wǎng)上的同學(xué)。很多網(wǎng)友對整個今年試題的整體印象是分兩個極端的，一部分同學(xué)感覺今年的試題很難，甚至是有史以來難的，但是也有相當(dāng)一部分同學(xué)認為我們今年的試題是比較簡單的。今年我們考研數(shù)學(xué)這一塊題到底是難還是不難，其實難和不難我認為是相對的，對高等數(shù)學(xué)的這一部分內(nèi)容來看，我自己的判斷應(yīng)該比去年應(yīng)該是難一些，特別是在選擇題的部分，應(yīng)該說我們今年選擇題高等數(shù)學(xué)這一部分的這幾個題我認為出的還是比較有水平的。那么作為我們考研數(shù)學(xué)這一塊，他為什么要這樣出題呢？其實作為整個我們數(shù)學(xué)這一部分的內(nèi)容，我們平常授課的時候也好、再輔導(dǎo)書里也談到了兩個方面，一個方面就是要考察大家對基本概念、基本理論、基本方法的掌握情況，那另一方面作為我們這種選拔性的考試，還希望能夠考察大家靈活去運用知識的能力，我認為我們今年這樣一個考研數(shù)學(xué)的試題可以說把這樣兩個方面都比較好的結(jié)合起來了，所以就是說復(fù)習(xí)的確確實實比較扎實，基本概念、基本理論、基本方法掌握的非常好，又能夠靈活的去運用相關(guān)的知識，那可能我們做起來的時候，感覺這個題不會有多難，但是如果我們再這樣兩個方面不是很好的、真正的做到，那有可能我們在做題的時候確實會感到有一些難度。因此我們各位網(wǎng)友也好、我們今年考過的同學(xué)也好，有這么兩個極端的反映其實我認為也是比較正常的。今年我們的考研數(shù)學(xué)特別是高等數(shù)學(xué)部分總體上看我認為有這樣幾個特點：第一，知識的覆蓋面比較廣?？梢哉f考試大綱要求我們掌握的主要知識點，都在這個試卷里面反映出來了。第二個特點就是計算量大。跟往年比較，我們今年的不管是選擇題還是計算題，計算量跟往年作比較應(yīng)該說要大一些。第三方面，試題的靈活性，特別是幾個選擇題， 很好地考查了我們靈活應(yīng)用知識的能力。以上是我們對今年高等數(shù)學(xué)的一個基本的判斷和整體的印象。我想下面我們先請曹老師來講一下線性代數(shù)和一些具體問題跟各位網(wǎng)友做一個具體的分析。
曹老師(中國人民大學(xué)出版社考研數(shù)學(xué)書主編)：大家好，非常高興我和大家分享一下我們07年考試的特點。07年考試給我的一個總的印象應(yīng)該來說整個試卷的難度比06年有略微的上升，但是對于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計部分來說，應(yīng)該說難度差不多、持平。它主要考查的是基本概念、重要的概型，可以說是大家比較熟悉的題型。比方說，獨立重復(fù)試驗、隨機變量函數(shù)的分布，比方說舉。這都是大家在平常復(fù)習(xí)的時候見的比較多的。但是有的同學(xué)做起來感覺不好，那就是因為計算量比往年要大一些。但是同學(xué)們開始看到題時，感覺比較容易，做完以后又感覺不是很理想。所以我想，今年的這次考試呢平常復(fù)習(xí)比較扎實，能夠把每個步驟都做到位，那么做這樣的題應(yīng)該來說能夠取得比較好的成績。當(dāng)然，在線性代數(shù)里面，對這個秩的考查，對這個線性方程組的考查，對它的特征值它的特征向量的考查，它是多個知識點綜合起來了。如果你只是對單個知識點熟悉了，那么做起來還不是很順。正如我們所了解到的情況來看，今年的總的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計難度應(yīng)該和去年相當(dāng)、持平。等會兒我在就一些具體的提問做一些分析。
主持人：黃老師、曹老師，很多網(wǎng)友對今年的試題有些爭議，現(xiàn)在網(wǎng)上公布的有些答案還是相互矛盾的，請談?wù)勀銈儗@些題目的看法。
黃老師：好的。剛才我也說了，有幾個題今年出得比較靈活一些。所以，我們在網(wǎng)站上也看到了一些同學(xué)對試題有爭議，甚至個別給出的答案差別還比較大。我自己認為在今年的高數(shù)里頭有這樣幾個題可能是大家比較關(guān)心的。在數(shù)學(xué)一里面，大家比較關(guān)心的是第2個小題，也就是求漸近線。這個題數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也考，當(dāng)然我們這個數(shù)學(xué)二也把這個題著重講一下。對于這個求漸近線，大家知道我們一般地求這個漸近線，第一步，是垂直漸近線，作為一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，我們這個垂直漸近線，其實就是找這個沒有定義點，大家都比較熟悉。第二步，我們要考慮水平漸近線，在很多教材里面也談到，如果有水平漸近線，那么就沒有斜漸近線，或者說我們就不用考慮斜漸近線，可是今年這個題的特點是什么呢，垂直漸近線，一般來講，大家都不會有問題，關(guān)鍵是水平漸近線，其實在這個地方，我們平常學(xué)過也好，還是我們這個輔導(dǎo)書里面也講到，考慮水平漸近線，首先我們看 X 趨向于無窮大的時候， 對應(yīng)的函數(shù)極限 是不是還存在，那么如果不存在，那么是不是就沒有水平漸近線了呢？這個時候我們要區(qū)分 x 趨向于負無窮大 x 趨向于正無窮大，來進行討論。所以說，今年這個題，靈活性就體現(xiàn)在這里。大家可以發(fā)現(xiàn)，由于指數(shù)函數(shù)ex 當(dāng)x趨向于無窮大的時候是一個典型的極限不存在的情況，平常我們一再強調(diào)，遇到這個問題的時候，好，馬上我要分 x 趨向于負無窮大 x 趨向于正無窮大來討論，結(jié)果呢， x 趨向于負無窮大的時候，極限是存在的，也就是說在小于零的這一側(cè)，有水平漸近線，那 x 趨向于正無窮大的時候，極限是不存在的，那在這一側(cè)，我們還應(yīng)該討論，在這一側(cè)有沒有斜漸近線，因此這個題做下來以后，有一條垂直漸近線，在小于零的這一側(cè)有一條水平漸近線，在大于零的這一側(cè)，有一條斜漸近線，因此漸近線有三條，也就是說第四個選擇項是我們的正確答案。從這個題也提示我們，做這種題的時候，特別是我們平常在復(fù)習(xí)這種題的時候，一定要把做題的步驟，做題的思路，遇到什么情況我們應(yīng)該怎么去討論，必須是真正的理解了，搞明白了，否則可能做這種題會有些困難。
在數(shù)學(xué)一里面，從這位網(wǎng)友反映的情況來看，應(yīng)該說大家爭執(zhí)比較多的是選擇題第4小題， 這個題，我們數(shù)學(xué)二、三、四也都考到這個題，其實對于這個題，如果我們對歷年試題比較熟悉，可以發(fā)現(xiàn)在01年數(shù)學(xué)一，考過一道可以說相當(dāng)類似的題，但是當(dāng)時這個題，得分率是相當(dāng)?shù)偷?，它涉及到我們對于這個概念的理解。在這個題里頭，實際上告訴我們極限是存在的，然后要我們進行相關(guān)的推理，這種題，在我們輔導(dǎo)書里面，在我們平時授課中，專門把這種題總結(jié)出來了，這就是高等數(shù)學(xué)中的典型的所謂隱含條件，見到這種條件，馬上想到我們可以引出什么樣的結(jié)論來，有這個基礎(chǔ)了，那這個題答案是很明顯的，可以找得到的。我剛才說的已經(jīng)總結(jié)歸納出來了，我們可以很輕松地把正確答案找到。如果沒有這種基礎(chǔ)，那么我們也完全可以用構(gòu)造反例的方式，來分析和判斷，所以在這個題里頭，我認為第一個答案和第二個答案，由于分母的極限為零，分子是一個連續(xù)函數(shù)，所以分子的極限一定是存在的，而且肯定是 零 的，所以第一個和第二個是正確的命題，沒有問題。但這個題要我們找的是不正確的命題。這道題出現(xiàn)爭執(zhí)的是第三個和第四個，其實，第三個，如果這個極限是存在的，那么它在這一點的導(dǎo)數(shù)值是存在的。第四個，如果說極限是存在的，在這一點的導(dǎo)數(shù)值也是存在零的。那么象這種題，我們能夠通過一個(一點導(dǎo)數(shù)不存在的例子在)X的絕對值，你把它代進去，其實我們也可以輕松的找到第四個實際上是一個不正確的命題。以上是在高等數(shù)學(xué)一里面爭執(zhí)比較多的兩個題。在數(shù)學(xué)二里面，有的同學(xué)也提出了一個有爭執(zhí)的問題，主要就是數(shù)學(xué)二選擇題的第7小題，有的地方是第三個是正確答案，也有的地方是第四個是正確答案。大家知道，我們多元函數(shù)的微分學(xué)里面，對于這個多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微，這四個概念里面，它們之間的聯(lián)系和差別，可以作為一個常識性的知識。這個題，問我們的是，什么時候這個函數(shù)在這個點是可微，那我們有一個書上的定理，大家知道，那就是，如果在這一點的一階偏導(dǎo)數(shù)，是一個連續(xù)的函數(shù)，那它在這點上是可微的，那我們可以發(fā)現(xiàn)，第一個和第二個，僅僅是告訴我們，在這一點是連續(xù)，告訴我們偏導(dǎo)數(shù)是存在的，要推出可微，這個是做不到的，所以這兩個大家一般都不會選。問題是三、四兩個選項，而之所以有部分同學(xué)認為第四個是正確答案，是因為把第四個的這兩個條件理解成了偏導(dǎo)數(shù)在這點是連續(xù)的，其實大家仔細看一下第四個答案就會發(fā)現(xiàn)，它的這個極限條件是f’對x求偏導(dǎo)，右邊是X和0，如果右邊是X和Y，那就表明這個偏導(dǎo)數(shù)在(0，0)這個點是連續(xù)的，但實際上，由于它已經(jīng)限定了這個 y 是 0 ，所以不能得出偏導(dǎo)函數(shù)在(0,0)這個點是連續(xù)的這個結(jié)論。因此第四個也不是 充分條件。而第三個，利用這個條件，我們可以推導(dǎo)出兩個極限偏導(dǎo)數(shù)都是等于零的，從而按照極限微分的定理，可以證明它這個極限微分在這點是存在的，因此這個是正確答案。還有的涉及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的問題，我們請曹老師做一個介紹。
曹老師：好，我下面就線性代數(shù)和概率統(tǒng)計里面有疑問的地方做一些介紹。線性代數(shù)數(shù)學(xué)一的第8小題。線性代數(shù)對今年所有的考生都是一樣的，這個會是一個趨勢。這個線性代數(shù)第8小題考的是一個相似和合同的關(guān)系的判斷。這對于我們數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)四的同學(xué)來說，是首次考查這方面內(nèi)容。這是概念性很強的題，對我們來說是很有難度的，但是對于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三來說，這個題應(yīng)該還是比較簡單的，大家看，兩個矩陣的是否相似的話，要肯定它，對我們來說要困難一些，但是要否定它，那就利用它那些性質(zhì)有一條不滿足它就可以了。這樣我們可以看出，這兩個矩陣A和B，它們的跡 ，也就是它們的對角線的元素的和是不相等的。我們根據(jù)相似的矩陣，它們的積相等，我們馬上可以否定A和B是不相似的，但可不可以利用它們的秩不相等來否定呢？如果它們的值不相等，也可以否定它們是相似的，而且可以否定合同(但他們的秩是相等的)。所以說，否定這個相似性是不難的。那么它們到底合不合同呢？大家知道，相似與合同，它們之間沒有因果的關(guān)系，在邏輯上是沒有因果關(guān)系的，不要以為，相似的一定是合同的，或者說合同的一定是相似的。所以說，不相似的矩陣它們有可能是合同的也有可能是不合同的，那怎么來判斷呢，這個時候我們來看，我們教材里面有這么一個結(jié)論，我們來對一下:兩個矩陣合同的充要條件是它們的秩相等，而且它們的正慣性指數(shù)相等，所以這個時候就要求特征值了，對B來說，就是 1，1，0 ，對A來說，就是3，3，0，它們的特征值是不同的，但正的特征值的個數(shù)是相同的，也就是說正關(guān)系指數(shù)是相同的，這樣它們就合同，那么這個題的正確答案應(yīng)該是選B的。
另外是關(guān)于統(tǒng)計的題，那就是數(shù)學(xué)一第9小題，數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也是第9小題，某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)的射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率是P，它提出了此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。這個題不仔細推敲的話，在語意上會引起誤解。這個題表達的含義應(yīng)該是，第2次命中目標(biāo)是第4次，前3次射擊還有是命中目標(biāo)的。所以我個人認為象這樣表述的話，這個題可能就簡單多了，那就是說，我們做一個獨立重復(fù)試驗，直到把目標(biāo)命中2次為止，那么做了4次試驗，這個可能性是多少？換句話還可以這么說，第2次打中目標(biāo)，發(fā)生在第4次的可能性是多少？那么是第4次打中了目標(biāo)，前面3次還有1次，那么應(yīng)該是第三個答案C。這是典型的查考我們的獨立重復(fù)試驗，這是同學(xué)們要重點掌握的一個。
主持人：兩位老師，能不能對今年的試題再做一下具體的補充？
黃老師：各位網(wǎng)友，我可能還要做一點說明，就是說大家拿到的試題從數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四，可能從題的順序上都不是完全一致的，所以你也不要輕易的否定我這個答案的正確性，如果你拿到的試題和我們點評的不完全一樣，可能會有些偏差。后面我們有一個完整的試題介紹，所以我們點評的話，也是在這樣一個試題的基礎(chǔ)上來做點評的，如果你拿到這個試題和我們這個是不完全一樣的，可能會有一些偏差，那么對今年具體的題，如果我們一個一個去分析也沒有那么多的時間，但是在高等數(shù)學(xué)這一部分，我想有一些題是值得我們仔細去分析和考慮的。為社么這樣說呢？因為高等數(shù)學(xué)這一部分，特別是我自己感覺選擇題這一部分，今年的試題還是比較有特點的，比如說我們高等數(shù)學(xué)選擇題的第一題，這個題形式上看我們數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四都考的好像是一個題，但是我們仔細的去分析這個題，其實我們數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四有一點點差別，這個差別也體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)一在高等數(shù)學(xué)這一部分里比數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四要求的略微高一些，其實我們數(shù)學(xué)一選擇題的第一題，看到有一個網(wǎng)友說這個題十幾分鐘還沒有把它綜合出來，那問題出在什么地方呢？其實在這里四個答案我們要去找他的(根號X)這樣一個等價無窮小量，在這四個答案里，可以說第一個、第三個、第四個答案都可以很輕松的找到等價無窮小量，由于這三個和我們需要的(根號X)都不是等價無窮小量，那我們利用排除的方法，馬上就可以得到第二個是正確答案，但是如果我們做這個題的時候是把思路放在找第二個的等價無窮小量，當(dāng)然如果這個題把答案設(shè)計在第四個，前面三個我都做出來了，和(根號X)不是等價無窮小量，那很多同學(xué)都會想到第四個是正確答案。但是，偏偏這個地方它把它放在第二個，那么第二個我要去找它的等價無窮小量，其實按照我們現(xiàn)在這種已有的知識可能對一部分同學(xué)來講是很有難度的，那要不你就把這個問題變成來是什么呢？來看一下這個函數(shù)和(根號X)相除以后，我來求極限，能不能保證這個極限等于一，當(dāng)然這樣去求極限的話，計算量也是比較大的，所以從這里大家可以發(fā)現(xiàn)這個正確答案的位置，包括這個題，四個答案里放的順序不一樣，可能對這個題的難易程度影響也是相當(dāng)大的，這是第一個。那么在我們數(shù)學(xué)一里，其實值得說的還有選擇題的第三個小題，也是我們的第三個題。第三個題由于我們的數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四都考這個題，其實這個題的核心問題是定積分的幾何意義，平常我們學(xué)習(xí)的時候，考慮的比較多的被積函數(shù)是一個非負的函數(shù)，那在這個相應(yīng)區(qū)間上的一個積分，也就是表示曲邊梯形的一個面積，但是如果這樣一個被積函數(shù)是一個異號的函數(shù)，不見得是大于零還是小于零，那在這種情況下我們定幾分的幾何意義涉及到一個符號問題，所以這一點我們在分析的時候是值得注意的，這個題我認為還是出的很不錯的，特別是在設(shè)計這樣一個答案的時候，有一個大F-2，我們考數(shù)學(xué)二的同學(xué)，數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四實際上還涉及到一個大F-3,也就是我們積分性是從0～-2，那么這里上限比下限小，因此考慮到幾何背景的時候大家一定要注意要交換一下上下限，那前面就要出現(xiàn)一個負號，注意到這一點的話，這個題我們還是能夠很輕松的利用這個半圓的面積找到我們所需要的正確答案，那么在今年的試題里，象數(shù)學(xué)一選擇題的第五個題，我認為這個題難度還是比較高的，這個題我們考數(shù)學(xué)二實際上也考了，它涉及到這個數(shù)列的收斂性，其實這個數(shù)列的收斂性僅僅告訴我們，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零的，由這樣一個函數(shù)引出的數(shù)列，要判定它的斂散性，那收斂的斂散性可能讓我們想到用定義去判定，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來分析和討論，但是在這個地方它是一個抽象的形式，我直接要去證明它是收斂的還是發(fā)散的，我認為在實際考試的時候，對相當(dāng)一部分同學(xué)來講，應(yīng)該說是都會有難度的，那么遇到這種問題的時候，平時在我們輔導(dǎo)過程中間，在我們講義里其實我們也都談到了一種做題的技巧，那就是說你給的是一個一般的函數(shù)，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零，如果我們是找一個具體的函數(shù)，那么二階導(dǎo)函數(shù)也是大于零，滿足你這個題的條件，那么我們來看一看我們得到的這個數(shù)列斂還是發(fā)散的，通過這種據(jù)反例、通過排除的方法其實我們也會找到答案的，那么這個題的難度還是比較大的。數(shù)學(xué)一里第六個題，是涉及到曲線積分，我認為命的也是相當(dāng)不錯的，平常我們做題的時候相比較而言，作為一個抽象的函數(shù)去求積分，遇到的比較少一些，其實這個題的核心問題，也就是我們在平時講課時強調(diào)的，只要時線面積分的問題，第一個思想就是要一個線面帶到我們這個被減函數(shù)里面去，由于條件告訴你 ,所以其實你把這個條件一代進去，其實我們這四個積分還是非常簡單的，所以從這些題里我想大家還是可以看出來我們今年的這個題一方面考的我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，但是我自己認為也考到了我們?nèi)绾蔚撵`活去運用知識的一個問題，把這兩個方面可以比較好的結(jié)合起來了，至于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計我想請曹老師給大家做一個點評。
曹老師：各位，剛才黃老師講的高等數(shù)學(xué)微積分里面一些重點難點題做了一個介紹，那么從黃老師做的這個介紹里面大家可以看出，我們今年高等數(shù)學(xué)題應(yīng)該是比較難的，比去年難度提高了，那么也使我們數(shù)學(xué)的整體難度提高了，由于標(biāo)準(zhǔn)的參考答案還沒有公布，為了方便網(wǎng)友對照，我和黃老師冒昧對這個試卷做了一個詳細的解答，包括填空題和選擇題，我們就放在這個附件，同學(xué)們可以作為參考，因為數(shù)學(xué)不看寫的東西，可能僅聽我們說的話，網(wǎng)友可能聽的也不是很明白、很清楚，如果這里面有錯誤的話，都由我們兩個人來負責(zé)承擔(dān)。
下面我講線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的題做一個大致的介紹，因為今年線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的大題我說一下，線性代數(shù)考了一個有公共解的問題，這個問題以前是考過的，考的是齊次方程組，兩個齊次方程組，那么今年的題是有些變化的，那么就是一個齊次方程組和一個非齊次方程組，但是想到公共解就是這兩個方程組共同的解，如果你能馬上想到把它們聯(lián)立起來，得到一個非齊次方程組，那么說，只要這個非齊次方程組有解的話，那就是它們有公共的解，那這個題就好做了，那么一個非齊次方程組有解的充分必要條件就是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，那么這個題做起來就比較順利了，這個題把A求出來有2個值，一個是1，一個是2，都能使這個方程組有公共的解，那么A＝1的時候，A=2的時候，一個是有無窮的公共解，一個是有的一個公共解，這的題的命題思路我想還是非常好的，能考察我們方程組這一章的復(fù)習(xí)情況，詳細的解答你們可以看看附件，再一個就是在概率統(tǒng)計的小題里考了一個幾何概型，這個幾何概型在數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四來說，加入考試大綱已經(jīng)有好幾年了，但是單獨出題今年是首次考，這個題應(yīng)該說是不難，平常我在講課當(dāng)中，也包括我和黃老師主編的由人大出版社出版的這個書里面也一個幾乎一摸一樣的題，也是(0，1)區(qū)間里任取兩個數(shù)，在這個幾何概型的題里面，這個題應(yīng)該說還是比較簡單的，那么對于大題來說的話，那就是考察了二維隨機變量，二維隨機變量不管哪一年都是考試的重點，那么今年考了兩個知識點，一個是計算二維隨機變量滿足一個不等式的概率，一個是計算二維隨機變量函數(shù)的分布，對于第一部分來說，計算量不大，考生做起來還是比較順利的，對于第二部分來說，方法肯定是掌握了的，考察的是你有沒有耐性，有沒有細心能夠把這個題做到后一步，這個題的計算量稍微的偏大，這是求X+Y的，那么有的同學(xué)可能習(xí)慣去使用卷積公式來做，實際上這個題用分布函數(shù)法做起來，就能比較順利的把它作出來，分四種情況，有兩種情況實際是一看就知道的，就是兩種特殊的情況，必然事件的概率和不可能事件的概率，一個等于1，一個等于0。這個分布函數(shù)，說明真正要計算的只有兩種情況，涉及到冪函數(shù)的積分，這個項比較多，計算的時候一定要仔細，另外就是統(tǒng)計的題，統(tǒng)計題是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三考的，統(tǒng)計題還是常規(guī)的求矩估計，是連續(xù)性隨機變量，就矩估計的題，那么是大家非常熟悉的，一個參數(shù)把數(shù)學(xué)期望求出來，求期望就是求積分，令它等于樣本均值，解方程就可以了，后就是我們評價標(biāo)準(zhǔn)里面，我一直強調(diào)的，重要的一個就是無偏性，三個標(biāo)準(zhǔn)，無偏性、有效性、一致性，這個一致性統(tǒng)考了二十一年，就只考過一個小題，說明它不是復(fù)習(xí)的重點，也不是考試的重點，無偏性考察的是期望或者說是隨機變量函數(shù)的期望，能夠達到綜合考察不同章節(jié)的知識點的目的，那么這個題對這一個無偏性的考察，考察了期望方差的計算，那么這個計算量比以往的計算兩要稍微大一點點，那么還有數(shù)學(xué)四的一個大題，因為數(shù)學(xué)四不考統(tǒng)計，所以他還考了一個概率的問題，也是考的二維隨機變量，這個考的是離散性，那么這個題嚴格的說有點超綱一樣，U和V分別都是X和Y的函數(shù)，我們要求的是U和V的聯(lián)合分布率，這個在考試大綱里雖然沒有做明確的要求，但是這個題只要我們理解了什么是離散性隨機變量的聯(lián)合分布律，按照定義還是可以求出來的，而且計算量要比前面的題要少的多，今年線性代數(shù)和概率統(tǒng)計的題除了個別計算量偏大的題，都還是比較基本的，同學(xué)們把基本概念、基本性質(zhì)、基本定理搞清楚了，就能夠比較順利的做出來，那么我就說這么多。
主持人：后請兩位老師針對年年考研數(shù)學(xué)試題的命題趨勢，為08年考生講一講應(yīng)該如何安排考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。
黃老師：很多同學(xué)都特別關(guān)心，今年好像考的比去年難一點，明年會不會簡單一點，其實通過我們這么多年的考試命題以后，我自己認為總的這個趨勢，波動是越來越小，因為我們命題的這個核心東西，是考察我們兩個層次的問題，一個是考基本概念、基本理論、基本方法，再一個就是考察大家應(yīng)用知識的能力，所以我認為我們的復(fù)習(xí)的準(zhǔn)備也應(yīng)該從這樣兩個方面去針對性的復(fù)習(xí)，對于這個基礎(chǔ)層面的問題，我自己還是建議以我們的教材或者以我們比較通用的教材作為標(biāo)準(zhǔn)，比如說我們高等數(shù)學(xué)，大家可能用的多是同濟大學(xué)的這個教材，所以以這種基礎(chǔ)的教材，前面按照考試大綱的要求系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，這是我們復(fù)習(xí)的第一個方面，但是我們考試里不僅僅是考察我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，還涉及到我們靈活用用知識的能力問題，所以這種能力問題是怎么去考的？我想僅僅是依靠教材可能很難把它這種考試命題的特點歸納總結(jié)出來，因此我建議要了解考試是怎么考的，所以我們歷年考試的真題作為準(zhǔn)備去參加研究生考試的同學(xué)這是必備的，那么這個真題里，它只是一個題在這里，所以大家選這個真題的時候也應(yīng)該考慮到能不能通過這個真題的分析幫助我們真正的歸納總結(jié)這樣一些題型出來，針對每一個問題我們應(yīng)該如何去分析和討論在分析討論過程中間，有沒有一些可能的變化情況，這些變化情況到現(xiàn)在為止，考到了哪一些，那一些就是我們下一步復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的，這樣的話每一部分你都能夠這樣去歸納、總結(jié)或通過這種相關(guān)的輔導(dǎo)書，幫助你歸納總結(jié)出來了，那么我們這個復(fù)習(xí)就更有針對性。
除了歷年真題，我們建議大家一定要去看的就是通過靈活運用知識如何把這種知識歸納總結(jié)，其實這就是一般我們輔導(dǎo)的時候，復(fù)習(xí)講義里我們來幫助大家做這種事情，所以一般來講我們都是建議在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的前提條件下，象這種歷年考試的真題是應(yīng)該必備的，還有就是可以針對性的我們這種考研復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)的講義或者復(fù)習(xí)指南等等。就是有針對性的用它幫你歸納總結(jié)出來，可以節(jié)省大家的時間，但是在后期有這樣的一些為基礎(chǔ)，我自己認為數(shù)學(xué)不通過一定的題量很難把握這種知識的，所以我們希望大家通過找一些典型的題做一些訓(xùn)練，通過這種題的練習(xí)來反饋我們知識把握的情況怎么樣，這樣更好的來把握這些相關(guān)的知識。每個同學(xué)的復(fù)習(xí)情況都不完全一樣，但是我們說復(fù)習(xí)一定要養(yǎng)成一個好的習(xí)慣，我們拿到的這些數(shù)學(xué)題一定要有始有終把它算出來，這是一種計算能力的訓(xùn)練，其實這種訓(xùn)練象今年這種考試可能很容易看的出來，這個計算量還是相當(dāng)大的，所以沒有平常這樣一個基練，在實際考試的時候在這么一個短的時間里，這么大的一個計算量，你可能是很難想象的。但是，平常我一直養(yǎng)成這種好習(xí)慣以后，我們再來去應(yīng)對這種考試的話，應(yīng)該說沒有什么特殊的困難，當(dāng)然，這里還包括一些其他的考慮，例如我們線性代數(shù)的復(fù)習(xí)和概率統(tǒng)計這一塊應(yīng)該怎么復(fù)習(xí)我想大家也會聽一聽曹老師的建議。來源：www.examda.com
曹老師：網(wǎng)友們好，我非常贊成黃老師復(fù)習(xí)的建議，那么我做一個補充吧。由于黃老師在考研數(shù)學(xué)多年的經(jīng)驗，成千上萬的學(xué)生聽他的課，他也和大量的學(xué)生打過交道，這些都是寶貴的經(jīng)驗，也很具有參考價值。
總的來說可以分為這么幾個階段：第一個階段，是一個基礎(chǔ)的階段，用一個比較通用的，好一點的教材，這個階段可以稱為打基礎(chǔ)階段，這個階段的長短應(yīng)該根據(jù)不同同學(xué)的情況，基礎(chǔ)好一點的同學(xué)，這個時間可以短一點，基礎(chǔ)差一點的同學(xué)，這個階段可以長一點，但是我要提醒大家，這個基礎(chǔ)階段時間不能太長，不能到了十月、十一月份還在打基礎(chǔ)，那這樣的話，復(fù)習(xí)的效率就太低了，我建議基礎(chǔ)再差的同學(xué)也要再五、六月份把這個教材的打基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的階段做完。
第二個階段，黃老師就是說同學(xué)們，你們是要參加研究生考試的，你不是純粹的去研究數(shù)學(xué)的，那你就直奔你自己的目標(biāo)，數(shù)學(xué)考什么樣的題、難度是什么樣子，所以我認為這個階段是一個強化提高的階段，那么以看什么書為主呢？那就是歷年的真題，也就是按照題型分類，題型的按考試大綱章節(jié)這么分類的，這種歷年真題是對你有幫助的，再就是針對考研的這種考試參考書，作為復(fù)習(xí)，教材和參考書是有差異的，教材是不跨章節(jié)的，也就是你在看第六章的時候，例題也好，習(xí)題也好，不可能用到第六章以后的知識，但是考研的題的話，他是講的同學(xué)們上完課程，都學(xué)完了才來考試的，所以僅看教材的話就有些不足，難以提高自己參加考試的水平，參考書對于考研這個層次的數(shù)學(xué)來說哪些是重點，那些是難點它都做了歸納總結(jié)，同學(xué)們要多花時間，徹底復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)透徹的，這個上面都會講清楚，因為你自己去把握它的話呢，要困難一些，這就是我想為什么要看參考書，你是要參加碩士研究生的考試，不是說你去從事數(shù)學(xué)工作，比如說你是研究數(shù)學(xué)的，那這個書是不要看的。
第三個階段的話，你通過強化階段的復(fù)習(xí)，已經(jīng)達到了一個相當(dāng)高的水平，那么怎么樣保持這個水平呢？通過做適當(dāng)?shù)念}，比如歷年真題或是做模擬題，這個叫做總復(fù)習(xí)，或者說是沖刺的階段。這個階段什么時候開始是同學(xué)們關(guān)心的，我認為這個階段不要開始的太早了，一般是第二年一月份的考試，你不能從六月份就開始沖刺了，這個時候沖刺的效果就不好，可以在十月份以后，甚至十一月份以后來準(zhǔn)備你這個沖刺的階段，這就是剛才黃老師說的。按照習(xí)題集、練習(xí)題、綜合練習(xí)題或者是歷年真題，成套的題來做，也不要在很短的時間內(nèi)做完它，要分散開來做，這樣能夠使你的數(shù)學(xué)水平保持在一個佳的狀態(tài)，我們就說這么多。
主持人：好，感謝兩位老師的精彩評講。