主持人：2007年研究生入學(xué)考試的大幕已經(jīng)落下，中國人民大學(xué)出版社、中國一考網(wǎng)特別邀請(qǐng)黃先開老師和曹顯兵老師為廣大網(wǎng)友詳細(xì)點(diǎn)評(píng)2007年考研數(shù)學(xué)真題和答案。歡迎兩位老師。
主持人：首先請(qǐng)黃老師和曹老師點(diǎn)評(píng)一下和曹老師點(diǎn)評(píng)一下對(duì)07年數(shù)學(xué)考題的整體印象。
黃老師：大家好，很高興有這么一個(gè)機(jī)會(huì)和大家來交流一下我們今年考研數(shù)學(xué)的一些相關(guān)的情況，我先把高等數(shù)學(xué)這一部分相關(guān)內(nèi)容給大家做一個(gè)整體印象的介紹，然后再請(qǐng)曹老師對(duì)我們今年的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容給大家做一個(gè)介紹。
今年考試完了以后，實(shí)際上我們接觸到了很多同學(xué)，包括我們?cè)诰W(wǎng)上的同學(xué)。很多網(wǎng)友對(duì)整個(gè)今年試題的整體印象是分兩個(gè)極端的，一部分同學(xué)感覺今年的試題很難，甚至是有史以來難的，但是也有相當(dāng)一部分同學(xué)認(rèn)為我們今年的試題是比較簡單的。今年我們考研數(shù)學(xué)這一塊題到底是難還是不難，其實(shí)難和不難我認(rèn)為是相對(duì)的，對(duì)高等數(shù)學(xué)的這一部分內(nèi)容來看，我自己的判斷應(yīng)該比去年應(yīng)該是難一些，特別是在選擇題的部分，應(yīng)該說我們今年選擇題高等數(shù)學(xué)這一部分的這幾個(gè)題我認(rèn)為出的還是比較有水平的。那么作為我們考研數(shù)學(xué)這一塊，他為什么要這樣出題呢？其實(shí)作為整個(gè)我們數(shù)學(xué)這一部分的內(nèi)容，我們平常授課的時(shí)候也好、再輔導(dǎo)書里也談到了兩個(gè)方面，一個(gè)方面就是要考察大家對(duì)基本概念、基本理論、基本方法的掌握情況，那另一方面作為我們這種選拔性的考試，還希望能夠考察大家靈活去運(yùn)用知識(shí)的能力，我認(rèn)為我們今年這樣一個(gè)考研數(shù)學(xué)的試題可以說把這樣兩個(gè)方面都比較好的結(jié)合起來了，所以就是說復(fù)習(xí)的確確實(shí)實(shí)比較扎實(shí)，基本概念、基本理論、基本方法掌握的非常好，又能夠靈活的去運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)，那可能我們做起來的時(shí)候，感覺這個(gè)題不會(huì)有多難，但是如果我們?cè)龠@樣兩個(gè)方面不是很好的、真正的做到，那有可能我們?cè)谧鲱}的時(shí)候確實(shí)會(huì)感到有一些難度。因此我們各位網(wǎng)友也好、我們今年考過的同學(xué)也好，有這么兩個(gè)極端的反映其實(shí)我認(rèn)為也是比較正常的。今年我們的考研數(shù)學(xué)特別是高等數(shù)學(xué)部分總體上看我認(rèn)為有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：第一，知識(shí)的覆蓋面比較廣。可以說考試大綱要求我們掌握的主要知識(shí)點(diǎn)，都在這個(gè)試卷里面反映出來了。第二個(gè)特點(diǎn)就是計(jì)算量大。跟往年比較，我們今年的不管是選擇題還是計(jì)算題，計(jì)算量跟往年作比較應(yīng)該說要大一些。第三方面，試題的靈活性，特別是幾個(gè)選擇題， 很好地考查了我們靈活應(yīng)用知識(shí)的能力。以上是我們對(duì)今年高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的判斷和整體的印象。我想下面我們先請(qǐng)曹老師來講一下線性代數(shù)和一些具體問題跟各位網(wǎng)友做一個(gè)具體的分析。
曹老師(中國人民大學(xué)出版社考研數(shù)學(xué)書主編)：大家好，非常高興我和大家分享一下我們07年考試的特點(diǎn)。07年考試給我的一個(gè)總的印象應(yīng)該來說整個(gè)試卷的難度比06年有略微的上升，但是對(duì)于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)部分來說，應(yīng)該說難度差不多、持平。它主要考查的是基本概念、重要的概型，可以說是大家比較熟悉的題型。比方說，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)變量函數(shù)的分布，比方說舉。這都是大家在平常復(fù)習(xí)的時(shí)候見的比較多的。但是有的同學(xué)做起來感覺不好，那就是因?yàn)橛?jì)算量比往年要大一些。但是同學(xué)們開始看到題時(shí)，感覺比較容易，做完以后又感覺不是很理想。所以我想，今年的這次考試呢平常復(fù)習(xí)比較扎實(shí)，能夠把每個(gè)步驟都做到位，那么做這樣的題應(yīng)該來說能夠取得比較好的成績。當(dāng)然，在線性代數(shù)里面，對(duì)這個(gè)秩的考查，對(duì)這個(gè)線性方程組的考查，對(duì)它的特征值它的特征向量的考查，它是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合起來了。如果你只是對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)熟悉了，那么做起來還不是很順。正如我們所了解到的情況來看，今年的總的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)難度應(yīng)該和去年相當(dāng)、持平。等會(huì)兒我在就一些具體的提問做一些分析。
主持人：黃老師、曹老師，很多網(wǎng)友對(duì)今年的試題有些爭議，現(xiàn)在網(wǎng)上公布的有些答案還是相互矛盾的，請(qǐng)談?wù)勀銈儗?duì)這些題目的看法。
黃老師：好的。剛才我也說了，有幾個(gè)題今年出得比較靈活一些。所以，我們?cè)诰W(wǎng)站上也看到了一些同學(xué)對(duì)試題有爭議，甚至個(gè)別給出的答案差別還比較大。我自己認(rèn)為在今年的高數(shù)里頭有這樣幾個(gè)題可能是大家比較關(guān)心的。在數(shù)學(xué)一里面，大家比較關(guān)心的是第2個(gè)小題，也就是求漸近線。這個(gè)題數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也考，當(dāng)然我們這個(gè)數(shù)學(xué)二也把這個(gè)題著重講一下。對(duì)于這個(gè)求漸近線，大家知道我們一般地求這個(gè)漸近線，第一步，是垂直漸近線，作為一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，我們這個(gè)垂直漸近線，其實(shí)就是找這個(gè)沒有定義點(diǎn)，大家都比較熟悉。第二步，我們要考慮水平漸近線，在很多教材里面也談到，如果有水平漸近線，那么就沒有斜漸近線，或者說我們就不用考慮斜漸近線，可是今年這個(gè)題的特點(diǎn)是什么呢，垂直漸近線，一般來講，大家都不會(huì)有問題，關(guān)鍵是水平漸近線，其實(shí)在這個(gè)地方，我們平常學(xué)過也好，還是我們這個(gè)輔導(dǎo)書里面也講到，考慮水平漸近線，首先我們看 X 趨向于無窮大的時(shí)候， 對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限 是不是還存在，那么如果不存在，那么是不是就沒有水平漸近線了呢？這個(gè)時(shí)候我們要區(qū)分 x 趨向于負(fù)無窮大 x 趨向于正無窮大，來進(jìn)行討論。所以說，今年這個(gè)題，靈活性就體現(xiàn)在這里。大家可以發(fā)現(xiàn)，由于指數(shù)函數(shù)ex 當(dāng)x趨向于無窮大的時(shí)候是一個(gè)典型的極限不存在的情況，平常我們一再強(qiáng)調(diào)，遇到這個(gè)問題的時(shí)候，好，馬上我要分 x 趨向于負(fù)無窮大 x 趨向于正無窮大來討論，結(jié)果呢， x 趨向于負(fù)無窮大的時(shí)候，極限是存在的，也就是說在小于零的這一側(cè)，有水平漸近線，那 x 趨向于正無窮大的時(shí)候，極限是不存在的，那在這一側(cè)，我們還應(yīng)該討論，在這一側(cè)有沒有斜漸近線，因此這個(gè)題做下來以后，有一條垂直漸近線，在小于零的這一側(cè)有一條水平漸近線，在大于零的這一側(cè)，有一條斜漸近線，因此漸近線有三條，也就是說第四個(gè)選擇項(xiàng)是我們的正確答案。從這個(gè)題也提示我們，做這種題的時(shí)候，特別是我們平常在復(fù)習(xí)這種題的時(shí)候，一定要把做題的步驟，做題的思路，遇到什么情況我們應(yīng)該怎么去討論，必須是真正的理解了，搞明白了，否則可能做這種題會(huì)有些困難。
在數(shù)學(xué)一里面，從這位網(wǎng)友反映的情況來看，應(yīng)該說大家爭執(zhí)比較多的是選擇題第4小題， 這個(gè)題，我們數(shù)學(xué)二、三、四也都考到這個(gè)題，其實(shí)對(duì)于這個(gè)題，如果我們對(duì)歷年試題比較熟悉，可以發(fā)現(xiàn)在01年數(shù)學(xué)一，考過一道可以說相當(dāng)類似的題，但是當(dāng)時(shí)這個(gè)題，得分率是相當(dāng)?shù)偷?，它涉及到我們?duì)于這個(gè)概念的理解。在這個(gè)題里頭，實(shí)際上告訴我們極限是存在的，然后要我們進(jìn)行相關(guān)的推理，這種題，在我們輔導(dǎo)書里面，在我們平時(shí)授課中，專門把這種題總結(jié)出來了，這就是高等數(shù)學(xué)中的典型的所謂隱含條件，見到這種條件，馬上想到我們可以引出什么樣的結(jié)論來，有這個(gè)基礎(chǔ)了，那這個(gè)題答案是很明顯的，可以找得到的。我剛才說的已經(jīng)總結(jié)歸納出來了，我們可以很輕松地把正確答案找到。如果沒有這種基礎(chǔ)，那么我們也完全可以用構(gòu)造反例的方式，來分析和判斷，所以在這個(gè)題里頭，我認(rèn)為第一個(gè)答案和第二個(gè)答案，由于分母的極限為零，分子是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，所以分子的極限一定是存在的，而且肯定是 零 的，所以第一個(gè)和第二個(gè)是正確的命題，沒有問題。但這個(gè)題要我們找的是不正確的命題。這道題出現(xiàn)爭執(zhí)的是第三個(gè)和第四個(gè)，其實(shí)，第三個(gè)，如果這個(gè)極限是存在的，那么它在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是存在的。第四個(gè)，如果說極限是存在的，在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值也是存在零的。那么象這種題，我們能夠通過一個(gè)(一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的例子在)X的絕對(duì)值，你把它代進(jìn)去，其實(shí)我們也可以輕松的找到第四個(gè)實(shí)際上是一個(gè)不正確的命題。以上是在高等數(shù)學(xué)一里面爭執(zhí)比較多的兩個(gè)題。在數(shù)學(xué)二里面，有的同學(xué)也提出了一個(gè)有爭執(zhí)的問題，主要就是數(shù)學(xué)二選擇題的第7小題，有的地方是第三個(gè)是正確答案，也有的地方是第四個(gè)是正確答案。大家知道，我們多元函數(shù)的微分學(xué)里面，對(duì)于這個(gè)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微，這四個(gè)概念里面，它們之間的聯(lián)系和差別，可以作為一個(gè)常識(shí)性的知識(shí)。這個(gè)題，問我們的是，什么時(shí)候這個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)是可微，那我們有一個(gè)書上的定理，大家知道，那就是，如果在這一點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，那它在這點(diǎn)上是可微的，那我們可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)和第二個(gè)，僅僅是告訴我們，在這一點(diǎn)是連續(xù)，告訴我們偏導(dǎo)數(shù)是存在的，要推出可微，這個(gè)是做不到的，所以這兩個(gè)大家一般都不會(huì)選。問題是三、四兩個(gè)選項(xiàng)，而之所以有部分同學(xué)認(rèn)為第四個(gè)是正確答案，是因?yàn)榘训谒膫€(gè)的這兩個(gè)條件理解成了偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)是連續(xù)的，其實(shí)大家仔細(xì)看一下第四個(gè)答案就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的這個(gè)極限條件是f’對(duì)x求偏導(dǎo)，右邊是X和0，如果右邊是X和Y，那就表明這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在(0，0)這個(gè)點(diǎn)是連續(xù)的，但實(shí)際上，由于它已經(jīng)限定了這個(gè) y 是 0 ，所以不能得出偏導(dǎo)函數(shù)在(0,0)這個(gè)點(diǎn)是連續(xù)的這個(gè)結(jié)論。因此第四個(gè)也不是 充分條件。而第三個(gè)，利用這個(gè)條件，我們可以推導(dǎo)出兩個(gè)極限偏導(dǎo)數(shù)都是等于零的，從而按照極限微分的定理，可以證明它這個(gè)極限微分在這點(diǎn)是存在的，因此這個(gè)是正確答案。還有的涉及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的問題，我們請(qǐng)曹老師做一個(gè)介紹。
曹老師：好，我下面就線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)里面有疑問的地方做一些介紹。線性代數(shù)數(shù)學(xué)一的第8小題。線性代數(shù)對(duì)今年所有的考生都是一樣的，這個(gè)會(huì)是一個(gè)趨勢。這個(gè)線性代數(shù)第8小題考的是一個(gè)相似和合同的關(guān)系的判斷。這對(duì)于我們數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)四的同學(xué)來說，是首次考查這方面內(nèi)容。這是概念性很強(qiáng)的題，對(duì)我們來說是很有難度的，但是對(duì)于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三來說，這個(gè)題應(yīng)該還是比較簡單的，大家看，兩個(gè)矩陣的是否相似的話，要肯定它，對(duì)我們來說要困難一些，但是要否定它，那就利用它那些性質(zhì)有一條不滿足它就可以了。這樣我們可以看出，這兩個(gè)矩陣A和B，它們的跡 ，也就是它們的對(duì)角線的元素的和是不相等的。我們根據(jù)相似的矩陣，它們的積相等，我們馬上可以否定A和B是不相似的，但可不可以利用它們的秩不相等來否定呢？如果它們的值不相等，也可以否定它們是相似的，而且可以否定合同(但他們的秩是相等的)。所以說，否定這個(gè)相似性是不難的。那么它們到底合不合同呢？大家知道，相似與合同，它們之間沒有因果的關(guān)系，在邏輯上是沒有因果關(guān)系的，不要以為，相似的一定是合同的，或者說合同的一定是相似的。所以說，不相似的矩陣它們有可能是合同的也有可能是不合同的，那怎么來判斷呢，這個(gè)時(shí)候我們來看，我們教材里面有這么一個(gè)結(jié)論，我們來對(duì)一下:兩個(gè)矩陣合同的充要條件是它們的秩相等，而且它們的正慣性指數(shù)相等，所以這個(gè)時(shí)候就要求特征值了，對(duì)B來說，就是 1，1，0 ，對(duì)A來說，就是3，3，0，它們的特征值是不同的，但正的特征值的個(gè)數(shù)是相同的，也就是說正關(guān)系指數(shù)是相同的，這樣它們就合同，那么這個(gè)題的正確答案應(yīng)該是選B的。
另外是關(guān)于統(tǒng)計(jì)的題，那就是數(shù)學(xué)一第9小題，數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也是第9小題，某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)的射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率是P，它提出了此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。這個(gè)題不仔細(xì)推敲的話，在語意上會(huì)引起誤解。這個(gè)題表達(dá)的含義應(yīng)該是，第2次命中目標(biāo)是第4次，前3次射擊還有是命中目標(biāo)的。所以我個(gè)人認(rèn)為象這樣表述的話，這個(gè)題可能就簡單多了，那就是說，我們做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，直到把目標(biāo)命中2次為止，那么做了4次試驗(yàn)，這個(gè)可能性是多少？換句話還可以這么說，第2次打中目標(biāo)，發(fā)生在第4次的可能性是多少？那么是第4次打中了目標(biāo)，前面3次還有1次，那么應(yīng)該是第三個(gè)答案C。這是典型的查考我們的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這是同學(xué)們要重點(diǎn)掌握的一個(gè)。
主持人：兩位老師，能不能對(duì)今年的試題再做一下具體的補(bǔ)充？
黃老師：各位網(wǎng)友，我可能還要做一點(diǎn)說明，就是說大家拿到的試題從數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四，可能從題的順序上都不是完全一致的，所以你也不要輕易的否定我這個(gè)答案的正確性，如果你拿到的試題和我們點(diǎn)評(píng)的不完全一樣，可能會(huì)有些偏差。后面我們有一個(gè)完整的試題介紹，所以我們點(diǎn)評(píng)的話，也是在這樣一個(gè)試題的基礎(chǔ)上來做點(diǎn)評(píng)的，如果你拿到這個(gè)試題和我們這個(gè)是不完全一樣的，可能會(huì)有一些偏差，那么對(duì)今年具體的題，如果我們一個(gè)一個(gè)去分析也沒有那么多的時(shí)間，但是在高等數(shù)學(xué)這一部分，我想有一些題是值得我們仔細(xì)去分析和考慮的。為社么這樣說呢？因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)這一部分，特別是我自己感覺選擇題這一部分，今年的試題還是比較有特點(diǎn)的，比如說我們高等數(shù)學(xué)選擇題的第一題，這個(gè)題形式上看我們數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四都考的好像是一個(gè)題，但是我們仔細(xì)的去分析這個(gè)題，其實(shí)我們數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四有一點(diǎn)點(diǎn)差別，這個(gè)差別也體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)一在高等數(shù)學(xué)這一部分里比數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四要求的略微高一些，其實(shí)我們數(shù)學(xué)一選擇題的第一題，看到有一個(gè)網(wǎng)友說這個(gè)題十幾分鐘還沒有把它綜合出來，那問題出在什么地方呢？其實(shí)在這里四個(gè)答案我們要去找他的(根號(hào)X)這樣一個(gè)等價(jià)無窮小量，在這四個(gè)答案里，可以說第一個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)答案都可以很輕松的找到等價(jià)無窮小量，由于這三個(gè)和我們需要的(根號(hào)X)都不是等價(jià)無窮小量，那我們利用排除的方法，馬上就可以得到第二個(gè)是正確答案，但是如果我們做這個(gè)題的時(shí)候是把思路放在找第二個(gè)的等價(jià)無窮小量，當(dāng)然如果這個(gè)題把答案設(shè)計(jì)在第四個(gè)，前面三個(gè)我都做出來了，和(根號(hào)X)不是等價(jià)無窮小量，那很多同學(xué)都會(huì)想到第四個(gè)是正確答案。但是，偏偏這個(gè)地方它把它放在第二個(gè)，那么第二個(gè)我要去找它的等價(jià)無窮小量，其實(shí)按照我們現(xiàn)在這種已有的知識(shí)可能對(duì)一部分同學(xué)來講是很有難度的，那要不你就把這個(gè)問題變成來是什么呢？來看一下這個(gè)函數(shù)和(根號(hào)X)相除以后，我來求極限，能不能保證這個(gè)極限等于一，當(dāng)然這樣去求極限的話，計(jì)算量也是比較大的，所以從這里大家可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)正確答案的位置，包括這個(gè)題，四個(gè)答案里放的順序不一樣，可能對(duì)這個(gè)題的難易程度影響也是相當(dāng)大的，這是第一個(gè)。那么在我們數(shù)學(xué)一里，其實(shí)值得說的還有選擇題的第三個(gè)小題，也是我們的第三個(gè)題。第三個(gè)題由于我們的數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四都考這個(gè)題，其實(shí)這個(gè)題的核心問題是定積分的幾何意義，平常我們學(xué)習(xí)的時(shí)候，考慮的比較多的被積函數(shù)是一個(gè)非負(fù)的函數(shù)，那在這個(gè)相應(yīng)區(qū)間上的一個(gè)積分，也就是表示曲邊梯形的一個(gè)面積，但是如果這樣一個(gè)被積函數(shù)是一個(gè)異號(hào)的函數(shù)，不見得是大于零還是小于零，那在這種情況下我們定幾分的幾何意義涉及到一個(gè)符號(hào)問題，所以這一點(diǎn)我們?cè)诜治龅臅r(shí)候是值得注意的，這個(gè)題我認(rèn)為還是出的很不錯(cuò)的，特別是在設(shè)計(jì)這樣一個(gè)答案的時(shí)候，有一個(gè)大F-2，我們考數(shù)學(xué)二的同學(xué)，數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四實(shí)際上還涉及到一個(gè)大F-3,也就是我們積分性是從0～-2，那么這里上限比下限小，因此考慮到幾何背景的時(shí)候大家一定要注意要交換一下上下限，那前面就要出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào)，注意到這一點(diǎn)的話，這個(gè)題我們還是能夠很輕松的利用這個(gè)半圓的面積找到我們所需要的正確答案，那么在今年的試題里，象數(shù)學(xué)一選擇題的第五個(gè)題，我認(rèn)為這個(gè)題難度還是比較高的，這個(gè)題我們考數(shù)學(xué)二實(shí)際上也考了，它涉及到這個(gè)數(shù)列的收斂性，其實(shí)這個(gè)數(shù)列的收斂性僅僅告訴我們，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零的，由這樣一個(gè)函數(shù)引出的數(shù)列，要判定它的斂散性，那收斂的斂散性可能讓我們想到用定義去判定，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來分析和討論，但是在這個(gè)地方它是一個(gè)抽象的形式，我直接要去證明它是收斂的還是發(fā)散的，我認(rèn)為在實(shí)際考試的時(shí)候，對(duì)相當(dāng)一部分同學(xué)來講，應(yīng)該說是都會(huì)有難度的，那么遇到這種問題的時(shí)候，平時(shí)在我們輔導(dǎo)過程中間，在我們講義里其實(shí)我們也都談到了一種做題的技巧，那就是說你給的是一個(gè)一般的函數(shù)，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零，如果我們是找一個(gè)具體的函數(shù)，那么二階導(dǎo)函數(shù)也是大于零，滿足你這個(gè)題的條件，那么我們來看一看我們得到的這個(gè)數(shù)列斂還是發(fā)散的，通過這種據(jù)反例、通過排除的方法其實(shí)我們也會(huì)找到答案的，那么這個(gè)題的難度還是比較大的。數(shù)學(xué)一里第六個(gè)題，是涉及到曲線積分，我認(rèn)為命的也是相當(dāng)不錯(cuò)的，平常我們做題的時(shí)候相比較而言，作為一個(gè)抽象的函數(shù)去求積分，遇到的比較少一些，其實(shí)這個(gè)題的核心問題，也就是我們?cè)谄綍r(shí)講課時(shí)強(qiáng)調(diào)的，只要時(shí)線面積分的問題，第一個(gè)思想就是要一個(gè)線面帶到我們這個(gè)被減函數(shù)里面去，由于條件告訴你 ,所以其實(shí)你把這個(gè)條件一代進(jìn)去，其實(shí)我們這四個(gè)積分還是非常簡單的，所以從這些題里我想大家還是可以看出來我們今年的這個(gè)題一方面考的我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，但是我自己認(rèn)為也考到了我們?nèi)绾蔚撵`活去運(yùn)用知識(shí)的一個(gè)問題，把這兩個(gè)方面可以比較好的結(jié)合起來了，至于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)我想請(qǐng)曹老師給大家做一個(gè)點(diǎn)評(píng)。
曹老師：各位，剛才黃老師講的高等數(shù)學(xué)微積分里面一些重點(diǎn)難點(diǎn)題做了一個(gè)介紹，那么從黃老師做的這個(gè)介紹里面大家可以看出，我們今年高等數(shù)學(xué)題應(yīng)該是比較難的，比去年難度提高了，那么也使我們數(shù)學(xué)的整體難度提高了，由于標(biāo)準(zhǔn)的參考答案還沒有公布，為了方便網(wǎng)友對(duì)照，我和黃老師冒昧對(duì)這個(gè)試卷做了一個(gè)詳細(xì)的解答，包括填空題和選擇題，我們就放在這個(gè)附件，同學(xué)們可以作為參考，因?yàn)閿?shù)學(xué)不看寫的東西，可能僅聽我們說的話，網(wǎng)友可能聽的也不是很明白、很清楚，如果這里面有錯(cuò)誤的話，都由我們兩個(gè)人來負(fù)責(zé)承擔(dān)。
下面我講線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的題做一個(gè)大致的介紹，因?yàn)榻衲昃€性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的大題我說一下，線性代數(shù)考了一個(gè)有公共解的問題，這個(gè)問題以前是考過的，考的是齊次方程組，兩個(gè)齊次方程組，那么今年的題是有些變化的，那么就是一個(gè)齊次方程組和一個(gè)非齊次方程組，但是想到公共解就是這兩個(gè)方程組共同的解，如果你能馬上想到把它們聯(lián)立起來，得到一個(gè)非齊次方程組，那么說，只要這個(gè)非齊次方程組有解的話，那就是它們有公共的解，那這個(gè)題就好做了，那么一個(gè)非齊次方程組有解的充分必要條件就是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，那么這個(gè)題做起來就比較順利了，這個(gè)題把A求出來有2個(gè)值，一個(gè)是1，一個(gè)是2，都能使這個(gè)方程組有公共的解，那么A＝1的時(shí)候，A=2的時(shí)候，一個(gè)是有無窮的公共解，一個(gè)是有的一個(gè)公共解，這的題的命題思路我想還是非常好的，能考察我們方程組這一章的復(fù)習(xí)情況，詳細(xì)的解答你們可以看看附件，再一個(gè)就是在概率統(tǒng)計(jì)的小題里考了一個(gè)幾何概型，這個(gè)幾何概型在數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四來說，加入考試大綱已經(jīng)有好幾年了，但是單獨(dú)出題今年是首次考，這個(gè)題應(yīng)該說是不難，平常我在講課當(dāng)中，也包括我和黃老師主編的由人大出版社出版的這個(gè)書里面也一個(gè)幾乎一摸一樣的題，也是(0，1)區(qū)間里任取兩個(gè)數(shù)，在這個(gè)幾何概型的題里面，這個(gè)題應(yīng)該說還是比較簡單的，那么對(duì)于大題來說的話，那就是考察了二維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量不管哪一年都是考試的重點(diǎn)，那么今年考了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一個(gè)是計(jì)算二維隨機(jī)變量滿足一個(gè)不等式的概率，一個(gè)是計(jì)算二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，對(duì)于第一部分來說，計(jì)算量不大，考生做起來還是比較順利的，對(duì)于第二部分來說，方法肯定是掌握了的，考察的是你有沒有耐性，有沒有細(xì)心能夠把這個(gè)題做到后一步，這個(gè)題的計(jì)算量稍微的偏大，這是求X+Y的，那么有的同學(xué)可能習(xí)慣去使用卷積公式來做，實(shí)際上這個(gè)題用分布函數(shù)法做起來，就能比較順利的把它作出來，分四種情況，有兩種情況實(shí)際是一看就知道的，就是兩種特殊的情況，必然事件的概率和不可能事件的概率，一個(gè)等于1，一個(gè)等于0。這個(gè)分布函數(shù)，說明真正要計(jì)算的只有兩種情況，涉及到冪函數(shù)的積分，這個(gè)項(xiàng)比較多，計(jì)算的時(shí)候一定要仔細(xì)，另外就是統(tǒng)計(jì)的題，統(tǒng)計(jì)題是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三考的，統(tǒng)計(jì)題還是常規(guī)的求矩估計(jì)，是連續(xù)性隨機(jī)變量，就矩估計(jì)的題，那么是大家非常熟悉的，一個(gè)參數(shù)把數(shù)學(xué)期望求出來，求期望就是求積分，令它等于樣本均值，解方程就可以了，后就是我們?cè)u(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)里面，我一直強(qiáng)調(diào)的，重要的一個(gè)就是無偏性，三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，無偏性、有效性、一致性，這個(gè)一致性統(tǒng)考了二十一年，就只考過一個(gè)小題，說明它不是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，也不是考試的重點(diǎn)，無偏性考察的是期望或者說是隨機(jī)變量函數(shù)的期望，能夠達(dá)到綜合考察不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)的目的，那么這個(gè)題對(duì)這一個(gè)無偏性的考察，考察了期望方差的計(jì)算，那么這個(gè)計(jì)算量比以往的計(jì)算兩要稍微大一點(diǎn)點(diǎn)，那么還有數(shù)學(xué)四的一個(gè)大題，因?yàn)閿?shù)學(xué)四不考統(tǒng)計(jì)，所以他還考了一個(gè)概率的問題，也是考的二維隨機(jī)變量，這個(gè)考的是離散性，那么這個(gè)題嚴(yán)格的說有點(diǎn)超綱一樣，U和V分別都是X和Y的函數(shù)，我們要求的是U和V的聯(lián)合分布率，這個(gè)在考試大綱里雖然沒有做明確的要求，但是這個(gè)題只要我們理解了什么是離散性隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，按照定義還是可以求出來的，而且計(jì)算量要比前面的題要少的多，今年線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的題除了個(gè)別計(jì)算量偏大的題，都還是比較基本的，同學(xué)們把基本概念、基本性質(zhì)、基本定理搞清楚了，就能夠比較順利的做出來，那么我就說這么多。
主持人：后請(qǐng)兩位老師針對(duì)年年考研數(shù)學(xué)試題的命題趨勢，為08年考生講一講應(yīng)該如何安排考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。
黃老師：很多同學(xué)都特別關(guān)心，今年好像考的比去年難一點(diǎn)，明年會(huì)不會(huì)簡單一點(diǎn)，其實(shí)通過我們這么多年的考試命題以后，我自己認(rèn)為總的這個(gè)趨勢，波動(dòng)是越來越小，因?yàn)槲覀兠}的這個(gè)核心東西，是考察我們兩個(gè)層次的問題，一個(gè)是考基本概念、基本理論、基本方法，再一個(gè)就是考察大家應(yīng)用知識(shí)的能力，所以我認(rèn)為我們的復(fù)習(xí)的準(zhǔn)備也應(yīng)該從這樣兩個(gè)方面去針對(duì)性的復(fù)習(xí)，對(duì)于這個(gè)基礎(chǔ)層面的問題，我自己還是建議以我們的教材或者以我們比較通用的教材作為標(biāo)準(zhǔn)，比如說我們高等數(shù)學(xué)，大家可能用的多是同濟(jì)大學(xué)的這個(gè)教材，所以以這種基礎(chǔ)的教材，前面按照考試大綱的要求系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，這是我們復(fù)習(xí)的第一個(gè)方面，但是我們考試?yán)锊粌H僅是考察我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，還涉及到我們靈活用用知識(shí)的能力問題，所以這種能力問題是怎么去考的？我想僅僅是依靠教材可能很難把它這種考試命題的特點(diǎn)歸納總結(jié)出來，因此我建議要了解考試是怎么考的，所以我們歷年考試的真題作為準(zhǔn)備去參加研究生考試的同學(xué)這是必備的，那么這個(gè)真題里，它只是一個(gè)題在這里，所以大家選這個(gè)真題的時(shí)候也應(yīng)該考慮到能不能通過這個(gè)真題的分析幫助我們真正的歸納總結(jié)這樣一些題型出來，針對(duì)每一個(gè)問題我們應(yīng)該如何去分析和討論在分析討論過程中間，有沒有一些可能的變化情況，這些變化情況到現(xiàn)在為止，考到了哪一些，那一些就是我們下一步復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的，這樣的話每一部分你都能夠這樣去歸納、總結(jié)或通過這種相關(guān)的輔導(dǎo)書，幫助你歸納總結(jié)出來了，那么我們這個(gè)復(fù)習(xí)就更有針對(duì)性。
除了歷年真題，我們建議大家一定要去看的就是通過靈活運(yùn)用知識(shí)如何把這種知識(shí)歸納總結(jié)，其實(shí)這就是一般我們輔導(dǎo)的時(shí)候，復(fù)習(xí)講義里我們來幫助大家做這種事情，所以一般來講我們都是建議在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的前提條件下，象這種歷年考試的真題是應(yīng)該必備的，還有就是可以針對(duì)性的我們這種考研復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)的講義或者復(fù)習(xí)指南等等。就是有針對(duì)性的用它幫你歸納總結(jié)出來，可以節(jié)省大家的時(shí)間，但是在后期有這樣的一些為基礎(chǔ)，我自己認(rèn)為數(shù)學(xué)不通過一定的題量很難把握這種知識(shí)的，所以我們希望大家通過找一些典型的題做一些訓(xùn)練，通過這種題的練習(xí)來反饋我們知識(shí)把握的情況怎么樣，這樣更好的來把握這些相關(guān)的知識(shí)。每個(gè)同學(xué)的復(fù)習(xí)情況都不完全一樣，但是我們說復(fù)習(xí)一定要養(yǎng)成一個(gè)好的習(xí)慣，我們拿到的這些數(shù)學(xué)題一定要有始有終把它算出來，這是一種計(jì)算能力的訓(xùn)練，其實(shí)這種訓(xùn)練象今年這種考試可能很容易看的出來，這個(gè)計(jì)算量還是相當(dāng)大的，所以沒有平常這樣一個(gè)基練，在實(shí)際考試的時(shí)候在這么一個(gè)短的時(shí)間里，這么大的一個(gè)計(jì)算量，你可能是很難想象的。但是，平常我一直養(yǎng)成這種好習(xí)慣以后，我們?cè)賮砣?yīng)對(duì)這種考試的話，應(yīng)該說沒有什么特殊的困難，當(dāng)然，這里還包括一些其他的考慮，例如我們線性代數(shù)的復(fù)習(xí)和概率統(tǒng)計(jì)這一塊應(yīng)該怎么復(fù)習(xí)我想大家也會(huì)聽一聽曹老師的建議。來源：www.examda.com
曹老師：網(wǎng)友們好，我非常贊成黃老師復(fù)習(xí)的建議，那么我做一個(gè)補(bǔ)充吧。由于黃老師在考研數(shù)學(xué)多年的經(jīng)驗(yàn)，成千上萬的學(xué)生聽他的課，他也和大量的學(xué)生打過交道，這些都是寶貴的經(jīng)驗(yàn)，也很具有參考價(jià)值。
總的來說可以分為這么幾個(gè)階段：第一個(gè)階段，是一個(gè)基礎(chǔ)的階段，用一個(gè)比較通用的，好一點(diǎn)的教材，這個(gè)階段可以稱為打基礎(chǔ)階段，這個(gè)階段的長短應(yīng)該根據(jù)不同同學(xué)的情況，基礎(chǔ)好一點(diǎn)的同學(xué)，這個(gè)時(shí)間可以短一點(diǎn)，基礎(chǔ)差一點(diǎn)的同學(xué)，這個(gè)階段可以長一點(diǎn)，但是我要提醒大家，這個(gè)基礎(chǔ)階段時(shí)間不能太長，不能到了十月、十一月份還在打基礎(chǔ)，那這樣的話，復(fù)習(xí)的效率就太低了，我建議基礎(chǔ)再差的同學(xué)也要再五、六月份把這個(gè)教材的打基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的階段做完。
第二個(gè)階段，黃老師就是說同學(xué)們，你們是要參加研究生考試的，你不是純粹的去研究數(shù)學(xué)的，那你就直奔你自己的目標(biāo)，數(shù)學(xué)考什么樣的題、難度是什么樣子，所以我認(rèn)為這個(gè)階段是一個(gè)強(qiáng)化提高的階段，那么以看什么書為主呢？那就是歷年的真題，也就是按照題型分類，題型的按考試大綱章節(jié)這么分類的，這種歷年真題是對(duì)你有幫助的，再就是針對(duì)考研的這種考試參考書，作為復(fù)習(xí)，教材和參考書是有差異的，教材是不跨章節(jié)的，也就是你在看第六章的時(shí)候，例題也好，習(xí)題也好，不可能用到第六章以后的知識(shí)，但是考研的題的話，他是講的同學(xué)們上完課程，都學(xué)完了才來考試的，所以僅看教材的話就有些不足，難以提高自己參加考試的水平，參考書對(duì)于考研這個(gè)層次的數(shù)學(xué)來說哪些是重點(diǎn)，那些是難點(diǎn)它都做了歸納總結(jié)，同學(xué)們要多花時(shí)間，徹底復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)透徹的，這個(gè)上面都會(huì)講清楚，因?yàn)槟阕约喝グ盐账脑捘兀щy一些，這就是我想為什么要看參考書，你是要參加碩士研究生的考試，不是說你去從事數(shù)學(xué)工作，比如說你是研究數(shù)學(xué)的，那這個(gè)書是不要看的。
第三個(gè)階段的話，你通過強(qiáng)化階段的復(fù)習(xí)，已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)相當(dāng)高的水平，那么怎么樣保持這個(gè)水平呢？通過做適當(dāng)?shù)念}，比如歷年真題或是做模擬題，這個(gè)叫做總復(fù)習(xí)，或者說是沖刺的階段。這個(gè)階段什么時(shí)候開始是同學(xué)們關(guān)心的，我認(rèn)為這個(gè)階段不要開始的太早了，一般是第二年一月份的考試，你不能從六月份就開始沖刺了，這個(gè)時(shí)候沖刺的效果就不好，可以在十月份以后，甚至十一月份以后來準(zhǔn)備你這個(gè)沖刺的階段，這就是剛才黃老師說的。按照習(xí)題集、練習(xí)題、綜合練習(xí)題或者是歷年真題，成套的題來做，也不要在很短的時(shí)間內(nèi)做完它，要分散開來做，這樣能夠使你的數(shù)學(xué)水平保持在一個(gè)佳的狀態(tài)，我們就說這么多。
主持人：好，感謝兩位老師的精彩評(píng)講。
主持人：首先請(qǐng)黃老師和曹老師點(diǎn)評(píng)一下和曹老師點(diǎn)評(píng)一下對(duì)07年數(shù)學(xué)考題的整體印象。
黃老師：大家好，很高興有這么一個(gè)機(jī)會(huì)和大家來交流一下我們今年考研數(shù)學(xué)的一些相關(guān)的情況，我先把高等數(shù)學(xué)這一部分相關(guān)內(nèi)容給大家做一個(gè)整體印象的介紹，然后再請(qǐng)曹老師對(duì)我們今年的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容給大家做一個(gè)介紹。
今年考試完了以后，實(shí)際上我們接觸到了很多同學(xué)，包括我們?cè)诰W(wǎng)上的同學(xué)。很多網(wǎng)友對(duì)整個(gè)今年試題的整體印象是分兩個(gè)極端的，一部分同學(xué)感覺今年的試題很難，甚至是有史以來難的，但是也有相當(dāng)一部分同學(xué)認(rèn)為我們今年的試題是比較簡單的。今年我們考研數(shù)學(xué)這一塊題到底是難還是不難，其實(shí)難和不難我認(rèn)為是相對(duì)的，對(duì)高等數(shù)學(xué)的這一部分內(nèi)容來看，我自己的判斷應(yīng)該比去年應(yīng)該是難一些，特別是在選擇題的部分，應(yīng)該說我們今年選擇題高等數(shù)學(xué)這一部分的這幾個(gè)題我認(rèn)為出的還是比較有水平的。那么作為我們考研數(shù)學(xué)這一塊，他為什么要這樣出題呢？其實(shí)作為整個(gè)我們數(shù)學(xué)這一部分的內(nèi)容，我們平常授課的時(shí)候也好、再輔導(dǎo)書里也談到了兩個(gè)方面，一個(gè)方面就是要考察大家對(duì)基本概念、基本理論、基本方法的掌握情況，那另一方面作為我們這種選拔性的考試，還希望能夠考察大家靈活去運(yùn)用知識(shí)的能力，我認(rèn)為我們今年這樣一個(gè)考研數(shù)學(xué)的試題可以說把這樣兩個(gè)方面都比較好的結(jié)合起來了，所以就是說復(fù)習(xí)的確確實(shí)實(shí)比較扎實(shí)，基本概念、基本理論、基本方法掌握的非常好，又能夠靈活的去運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)，那可能我們做起來的時(shí)候，感覺這個(gè)題不會(huì)有多難，但是如果我們?cè)龠@樣兩個(gè)方面不是很好的、真正的做到，那有可能我們?cè)谧鲱}的時(shí)候確實(shí)會(huì)感到有一些難度。因此我們各位網(wǎng)友也好、我們今年考過的同學(xué)也好，有這么兩個(gè)極端的反映其實(shí)我認(rèn)為也是比較正常的。今年我們的考研數(shù)學(xué)特別是高等數(shù)學(xué)部分總體上看我認(rèn)為有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：第一，知識(shí)的覆蓋面比較廣。可以說考試大綱要求我們掌握的主要知識(shí)點(diǎn)，都在這個(gè)試卷里面反映出來了。第二個(gè)特點(diǎn)就是計(jì)算量大。跟往年比較，我們今年的不管是選擇題還是計(jì)算題，計(jì)算量跟往年作比較應(yīng)該說要大一些。第三方面，試題的靈活性，特別是幾個(gè)選擇題， 很好地考查了我們靈活應(yīng)用知識(shí)的能力。以上是我們對(duì)今年高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的判斷和整體的印象。我想下面我們先請(qǐng)曹老師來講一下線性代數(shù)和一些具體問題跟各位網(wǎng)友做一個(gè)具體的分析。
曹老師(中國人民大學(xué)出版社考研數(shù)學(xué)書主編)：大家好，非常高興我和大家分享一下我們07年考試的特點(diǎn)。07年考試給我的一個(gè)總的印象應(yīng)該來說整個(gè)試卷的難度比06年有略微的上升，但是對(duì)于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)部分來說，應(yīng)該說難度差不多、持平。它主要考查的是基本概念、重要的概型，可以說是大家比較熟悉的題型。比方說，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)變量函數(shù)的分布，比方說舉。這都是大家在平常復(fù)習(xí)的時(shí)候見的比較多的。但是有的同學(xué)做起來感覺不好，那就是因?yàn)橛?jì)算量比往年要大一些。但是同學(xué)們開始看到題時(shí)，感覺比較容易，做完以后又感覺不是很理想。所以我想，今年的這次考試呢平常復(fù)習(xí)比較扎實(shí)，能夠把每個(gè)步驟都做到位，那么做這樣的題應(yīng)該來說能夠取得比較好的成績。當(dāng)然，在線性代數(shù)里面，對(duì)這個(gè)秩的考查，對(duì)這個(gè)線性方程組的考查，對(duì)它的特征值它的特征向量的考查，它是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合起來了。如果你只是對(duì)單個(gè)知識(shí)點(diǎn)熟悉了，那么做起來還不是很順。正如我們所了解到的情況來看，今年的總的線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)難度應(yīng)該和去年相當(dāng)、持平。等會(huì)兒我在就一些具體的提問做一些分析。
主持人：黃老師、曹老師，很多網(wǎng)友對(duì)今年的試題有些爭議，現(xiàn)在網(wǎng)上公布的有些答案還是相互矛盾的，請(qǐng)談?wù)勀銈儗?duì)這些題目的看法。
黃老師：好的。剛才我也說了，有幾個(gè)題今年出得比較靈活一些。所以，我們?cè)诰W(wǎng)站上也看到了一些同學(xué)對(duì)試題有爭議，甚至個(gè)別給出的答案差別還比較大。我自己認(rèn)為在今年的高數(shù)里頭有這樣幾個(gè)題可能是大家比較關(guān)心的。在數(shù)學(xué)一里面，大家比較關(guān)心的是第2個(gè)小題，也就是求漸近線。這個(gè)題數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也考，當(dāng)然我們這個(gè)數(shù)學(xué)二也把這個(gè)題著重講一下。對(duì)于這個(gè)求漸近線，大家知道我們一般地求這個(gè)漸近線，第一步，是垂直漸近線，作為一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，我們這個(gè)垂直漸近線，其實(shí)就是找這個(gè)沒有定義點(diǎn)，大家都比較熟悉。第二步，我們要考慮水平漸近線，在很多教材里面也談到，如果有水平漸近線，那么就沒有斜漸近線，或者說我們就不用考慮斜漸近線，可是今年這個(gè)題的特點(diǎn)是什么呢，垂直漸近線，一般來講，大家都不會(huì)有問題，關(guān)鍵是水平漸近線，其實(shí)在這個(gè)地方，我們平常學(xué)過也好，還是我們這個(gè)輔導(dǎo)書里面也講到，考慮水平漸近線，首先我們看 X 趨向于無窮大的時(shí)候， 對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限 是不是還存在，那么如果不存在，那么是不是就沒有水平漸近線了呢？這個(gè)時(shí)候我們要區(qū)分 x 趨向于負(fù)無窮大 x 趨向于正無窮大，來進(jìn)行討論。所以說，今年這個(gè)題，靈活性就體現(xiàn)在這里。大家可以發(fā)現(xiàn)，由于指數(shù)函數(shù)ex 當(dāng)x趨向于無窮大的時(shí)候是一個(gè)典型的極限不存在的情況，平常我們一再強(qiáng)調(diào)，遇到這個(gè)問題的時(shí)候，好，馬上我要分 x 趨向于負(fù)無窮大 x 趨向于正無窮大來討論，結(jié)果呢， x 趨向于負(fù)無窮大的時(shí)候，極限是存在的，也就是說在小于零的這一側(cè)，有水平漸近線，那 x 趨向于正無窮大的時(shí)候，極限是不存在的，那在這一側(cè)，我們還應(yīng)該討論，在這一側(cè)有沒有斜漸近線，因此這個(gè)題做下來以后，有一條垂直漸近線，在小于零的這一側(cè)有一條水平漸近線，在大于零的這一側(cè)，有一條斜漸近線，因此漸近線有三條，也就是說第四個(gè)選擇項(xiàng)是我們的正確答案。從這個(gè)題也提示我們，做這種題的時(shí)候，特別是我們平常在復(fù)習(xí)這種題的時(shí)候，一定要把做題的步驟，做題的思路，遇到什么情況我們應(yīng)該怎么去討論，必須是真正的理解了，搞明白了，否則可能做這種題會(huì)有些困難。
在數(shù)學(xué)一里面，從這位網(wǎng)友反映的情況來看，應(yīng)該說大家爭執(zhí)比較多的是選擇題第4小題， 這個(gè)題，我們數(shù)學(xué)二、三、四也都考到這個(gè)題，其實(shí)對(duì)于這個(gè)題，如果我們對(duì)歷年試題比較熟悉，可以發(fā)現(xiàn)在01年數(shù)學(xué)一，考過一道可以說相當(dāng)類似的題，但是當(dāng)時(shí)這個(gè)題，得分率是相當(dāng)?shù)偷?，它涉及到我們?duì)于這個(gè)概念的理解。在這個(gè)題里頭，實(shí)際上告訴我們極限是存在的，然后要我們進(jìn)行相關(guān)的推理，這種題，在我們輔導(dǎo)書里面，在我們平時(shí)授課中，專門把這種題總結(jié)出來了，這就是高等數(shù)學(xué)中的典型的所謂隱含條件，見到這種條件，馬上想到我們可以引出什么樣的結(jié)論來，有這個(gè)基礎(chǔ)了，那這個(gè)題答案是很明顯的，可以找得到的。我剛才說的已經(jīng)總結(jié)歸納出來了，我們可以很輕松地把正確答案找到。如果沒有這種基礎(chǔ)，那么我們也完全可以用構(gòu)造反例的方式，來分析和判斷，所以在這個(gè)題里頭，我認(rèn)為第一個(gè)答案和第二個(gè)答案，由于分母的極限為零，分子是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，所以分子的極限一定是存在的，而且肯定是 零 的，所以第一個(gè)和第二個(gè)是正確的命題，沒有問題。但這個(gè)題要我們找的是不正確的命題。這道題出現(xiàn)爭執(zhí)的是第三個(gè)和第四個(gè)，其實(shí)，第三個(gè)，如果這個(gè)極限是存在的，那么它在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是存在的。第四個(gè)，如果說極限是存在的，在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值也是存在零的。那么象這種題，我們能夠通過一個(gè)(一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在的例子在)X的絕對(duì)值，你把它代進(jìn)去，其實(shí)我們也可以輕松的找到第四個(gè)實(shí)際上是一個(gè)不正確的命題。以上是在高等數(shù)學(xué)一里面爭執(zhí)比較多的兩個(gè)題。在數(shù)學(xué)二里面，有的同學(xué)也提出了一個(gè)有爭執(zhí)的問題，主要就是數(shù)學(xué)二選擇題的第7小題，有的地方是第三個(gè)是正確答案，也有的地方是第四個(gè)是正確答案。大家知道，我們多元函數(shù)的微分學(xué)里面，對(duì)于這個(gè)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)存在、可微，這四個(gè)概念里面，它們之間的聯(lián)系和差別，可以作為一個(gè)常識(shí)性的知識(shí)。這個(gè)題，問我們的是，什么時(shí)候這個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)是可微，那我們有一個(gè)書上的定理，大家知道，那就是，如果在這一點(diǎn)的一階偏導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，那它在這點(diǎn)上是可微的，那我們可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)和第二個(gè)，僅僅是告訴我們，在這一點(diǎn)是連續(xù)，告訴我們偏導(dǎo)數(shù)是存在的，要推出可微，這個(gè)是做不到的，所以這兩個(gè)大家一般都不會(huì)選。問題是三、四兩個(gè)選項(xiàng)，而之所以有部分同學(xué)認(rèn)為第四個(gè)是正確答案，是因?yàn)榘训谒膫€(gè)的這兩個(gè)條件理解成了偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)是連續(xù)的，其實(shí)大家仔細(xì)看一下第四個(gè)答案就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的這個(gè)極限條件是f’對(duì)x求偏導(dǎo)，右邊是X和0，如果右邊是X和Y，那就表明這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在(0，0)這個(gè)點(diǎn)是連續(xù)的，但實(shí)際上，由于它已經(jīng)限定了這個(gè) y 是 0 ，所以不能得出偏導(dǎo)函數(shù)在(0,0)這個(gè)點(diǎn)是連續(xù)的這個(gè)結(jié)論。因此第四個(gè)也不是 充分條件。而第三個(gè)，利用這個(gè)條件，我們可以推導(dǎo)出兩個(gè)極限偏導(dǎo)數(shù)都是等于零的，從而按照極限微分的定理，可以證明它這個(gè)極限微分在這點(diǎn)是存在的，因此這個(gè)是正確答案。還有的涉及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的問題，我們請(qǐng)曹老師做一個(gè)介紹。
曹老師：好，我下面就線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)里面有疑問的地方做一些介紹。線性代數(shù)數(shù)學(xué)一的第8小題。線性代數(shù)對(duì)今年所有的考生都是一樣的，這個(gè)會(huì)是一個(gè)趨勢。這個(gè)線性代數(shù)第8小題考的是一個(gè)相似和合同的關(guān)系的判斷。這對(duì)于我們數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)四的同學(xué)來說，是首次考查這方面內(nèi)容。這是概念性很強(qiáng)的題，對(duì)我們來說是很有難度的，但是對(duì)于數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三來說，這個(gè)題應(yīng)該還是比較簡單的，大家看，兩個(gè)矩陣的是否相似的話，要肯定它，對(duì)我們來說要困難一些，但是要否定它，那就利用它那些性質(zhì)有一條不滿足它就可以了。這樣我們可以看出，這兩個(gè)矩陣A和B，它們的跡 ，也就是它們的對(duì)角線的元素的和是不相等的。我們根據(jù)相似的矩陣，它們的積相等，我們馬上可以否定A和B是不相似的，但可不可以利用它們的秩不相等來否定呢？如果它們的值不相等，也可以否定它們是相似的，而且可以否定合同(但他們的秩是相等的)。所以說，否定這個(gè)相似性是不難的。那么它們到底合不合同呢？大家知道，相似與合同，它們之間沒有因果的關(guān)系，在邏輯上是沒有因果關(guān)系的，不要以為，相似的一定是合同的，或者說合同的一定是相似的。所以說，不相似的矩陣它們有可能是合同的也有可能是不合同的，那怎么來判斷呢，這個(gè)時(shí)候我們來看，我們教材里面有這么一個(gè)結(jié)論，我們來對(duì)一下:兩個(gè)矩陣合同的充要條件是它們的秩相等，而且它們的正慣性指數(shù)相等，所以這個(gè)時(shí)候就要求特征值了，對(duì)B來說，就是 1，1，0 ，對(duì)A來說，就是3，3，0，它們的特征值是不同的，但正的特征值的個(gè)數(shù)是相同的，也就是說正關(guān)系指數(shù)是相同的，這樣它們就合同，那么這個(gè)題的正確答案應(yīng)該是選B的。
另外是關(guān)于統(tǒng)計(jì)的題，那就是數(shù)學(xué)一第9小題，數(shù)學(xué)三數(shù)學(xué)四也是第9小題，某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)的射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率是P，它提出了此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。這個(gè)題不仔細(xì)推敲的話，在語意上會(huì)引起誤解。這個(gè)題表達(dá)的含義應(yīng)該是，第2次命中目標(biāo)是第4次，前3次射擊還有是命中目標(biāo)的。所以我個(gè)人認(rèn)為象這樣表述的話，這個(gè)題可能就簡單多了，那就是說，我們做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，直到把目標(biāo)命中2次為止，那么做了4次試驗(yàn)，這個(gè)可能性是多少？換句話還可以這么說，第2次打中目標(biāo)，發(fā)生在第4次的可能性是多少？那么是第4次打中了目標(biāo)，前面3次還有1次，那么應(yīng)該是第三個(gè)答案C。這是典型的查考我們的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這是同學(xué)們要重點(diǎn)掌握的一個(gè)。
主持人：兩位老師，能不能對(duì)今年的試題再做一下具體的補(bǔ)充？
黃老師：各位網(wǎng)友，我可能還要做一點(diǎn)說明，就是說大家拿到的試題從數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四，可能從題的順序上都不是完全一致的，所以你也不要輕易的否定我這個(gè)答案的正確性，如果你拿到的試題和我們點(diǎn)評(píng)的不完全一樣，可能會(huì)有些偏差。后面我們有一個(gè)完整的試題介紹，所以我們點(diǎn)評(píng)的話，也是在這樣一個(gè)試題的基礎(chǔ)上來做點(diǎn)評(píng)的，如果你拿到這個(gè)試題和我們這個(gè)是不完全一樣的，可能會(huì)有一些偏差，那么對(duì)今年具體的題，如果我們一個(gè)一個(gè)去分析也沒有那么多的時(shí)間，但是在高等數(shù)學(xué)這一部分，我想有一些題是值得我們仔細(xì)去分析和考慮的。為社么這樣說呢？因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)這一部分，特別是我自己感覺選擇題這一部分，今年的試題還是比較有特點(diǎn)的，比如說我們高等數(shù)學(xué)選擇題的第一題，這個(gè)題形式上看我們數(shù)學(xué)一到數(shù)學(xué)四都考的好像是一個(gè)題，但是我們仔細(xì)的去分析這個(gè)題，其實(shí)我們數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四有一點(diǎn)點(diǎn)差別，這個(gè)差別也體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)一在高等數(shù)學(xué)這一部分里比數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四要求的略微高一些，其實(shí)我們數(shù)學(xué)一選擇題的第一題，看到有一個(gè)網(wǎng)友說這個(gè)題十幾分鐘還沒有把它綜合出來，那問題出在什么地方呢？其實(shí)在這里四個(gè)答案我們要去找他的(根號(hào)X)這樣一個(gè)等價(jià)無窮小量，在這四個(gè)答案里，可以說第一個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)答案都可以很輕松的找到等價(jià)無窮小量，由于這三個(gè)和我們需要的(根號(hào)X)都不是等價(jià)無窮小量，那我們利用排除的方法，馬上就可以得到第二個(gè)是正確答案，但是如果我們做這個(gè)題的時(shí)候是把思路放在找第二個(gè)的等價(jià)無窮小量，當(dāng)然如果這個(gè)題把答案設(shè)計(jì)在第四個(gè)，前面三個(gè)我都做出來了，和(根號(hào)X)不是等價(jià)無窮小量，那很多同學(xué)都會(huì)想到第四個(gè)是正確答案。但是，偏偏這個(gè)地方它把它放在第二個(gè)，那么第二個(gè)我要去找它的等價(jià)無窮小量，其實(shí)按照我們現(xiàn)在這種已有的知識(shí)可能對(duì)一部分同學(xué)來講是很有難度的，那要不你就把這個(gè)問題變成來是什么呢？來看一下這個(gè)函數(shù)和(根號(hào)X)相除以后，我來求極限，能不能保證這個(gè)極限等于一，當(dāng)然這樣去求極限的話，計(jì)算量也是比較大的，所以從這里大家可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)正確答案的位置，包括這個(gè)題，四個(gè)答案里放的順序不一樣，可能對(duì)這個(gè)題的難易程度影響也是相當(dāng)大的，這是第一個(gè)。那么在我們數(shù)學(xué)一里，其實(shí)值得說的還有選擇題的第三個(gè)小題，也是我們的第三個(gè)題。第三個(gè)題由于我們的數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四都考這個(gè)題，其實(shí)這個(gè)題的核心問題是定積分的幾何意義，平常我們學(xué)習(xí)的時(shí)候，考慮的比較多的被積函數(shù)是一個(gè)非負(fù)的函數(shù)，那在這個(gè)相應(yīng)區(qū)間上的一個(gè)積分，也就是表示曲邊梯形的一個(gè)面積，但是如果這樣一個(gè)被積函數(shù)是一個(gè)異號(hào)的函數(shù)，不見得是大于零還是小于零，那在這種情況下我們定幾分的幾何意義涉及到一個(gè)符號(hào)問題，所以這一點(diǎn)我們?cè)诜治龅臅r(shí)候是值得注意的，這個(gè)題我認(rèn)為還是出的很不錯(cuò)的，特別是在設(shè)計(jì)這樣一個(gè)答案的時(shí)候，有一個(gè)大F-2，我們考數(shù)學(xué)二的同學(xué)，數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四實(shí)際上還涉及到一個(gè)大F-3,也就是我們積分性是從0～-2，那么這里上限比下限小，因此考慮到幾何背景的時(shí)候大家一定要注意要交換一下上下限，那前面就要出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào)，注意到這一點(diǎn)的話，這個(gè)題我們還是能夠很輕松的利用這個(gè)半圓的面積找到我們所需要的正確答案，那么在今年的試題里，象數(shù)學(xué)一選擇題的第五個(gè)題，我認(rèn)為這個(gè)題難度還是比較高的，這個(gè)題我們考數(shù)學(xué)二實(shí)際上也考了，它涉及到這個(gè)數(shù)列的收斂性，其實(shí)這個(gè)數(shù)列的收斂性僅僅告訴我們，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零的，由這樣一個(gè)函數(shù)引出的數(shù)列，要判定它的斂散性，那收斂的斂散性可能讓我們想到用定義去判定，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限來分析和討論，但是在這個(gè)地方它是一個(gè)抽象的形式，我直接要去證明它是收斂的還是發(fā)散的，我認(rèn)為在實(shí)際考試的時(shí)候，對(duì)相當(dāng)一部分同學(xué)來講，應(yīng)該說是都會(huì)有難度的，那么遇到這種問題的時(shí)候，平時(shí)在我們輔導(dǎo)過程中間，在我們講義里其實(shí)我們也都談到了一種做題的技巧，那就是說你給的是一個(gè)一般的函數(shù)，二階導(dǎo)函數(shù)是大于零，如果我們是找一個(gè)具體的函數(shù)，那么二階導(dǎo)函數(shù)也是大于零，滿足你這個(gè)題的條件，那么我們來看一看我們得到的這個(gè)數(shù)列斂還是發(fā)散的，通過這種據(jù)反例、通過排除的方法其實(shí)我們也會(huì)找到答案的，那么這個(gè)題的難度還是比較大的。數(shù)學(xué)一里第六個(gè)題，是涉及到曲線積分，我認(rèn)為命的也是相當(dāng)不錯(cuò)的，平常我們做題的時(shí)候相比較而言，作為一個(gè)抽象的函數(shù)去求積分，遇到的比較少一些，其實(shí)這個(gè)題的核心問題，也就是我們?cè)谄綍r(shí)講課時(shí)強(qiáng)調(diào)的，只要時(shí)線面積分的問題，第一個(gè)思想就是要一個(gè)線面帶到我們這個(gè)被減函數(shù)里面去，由于條件告訴你 ,所以其實(shí)你把這個(gè)條件一代進(jìn)去，其實(shí)我們這四個(gè)積分還是非常簡單的，所以從這些題里我想大家還是可以看出來我們今年的這個(gè)題一方面考的我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，但是我自己認(rèn)為也考到了我們?nèi)绾蔚撵`活去運(yùn)用知識(shí)的一個(gè)問題，把這兩個(gè)方面可以比較好的結(jié)合起來了，至于線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)我想請(qǐng)曹老師給大家做一個(gè)點(diǎn)評(píng)。
曹老師：各位，剛才黃老師講的高等數(shù)學(xué)微積分里面一些重點(diǎn)難點(diǎn)題做了一個(gè)介紹，那么從黃老師做的這個(gè)介紹里面大家可以看出，我們今年高等數(shù)學(xué)題應(yīng)該是比較難的，比去年難度提高了，那么也使我們數(shù)學(xué)的整體難度提高了，由于標(biāo)準(zhǔn)的參考答案還沒有公布，為了方便網(wǎng)友對(duì)照，我和黃老師冒昧對(duì)這個(gè)試卷做了一個(gè)詳細(xì)的解答，包括填空題和選擇題，我們就放在這個(gè)附件，同學(xué)們可以作為參考，因?yàn)閿?shù)學(xué)不看寫的東西，可能僅聽我們說的話，網(wǎng)友可能聽的也不是很明白、很清楚，如果這里面有錯(cuò)誤的話，都由我們兩個(gè)人來負(fù)責(zé)承擔(dān)。
下面我講線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的題做一個(gè)大致的介紹，因?yàn)榻衲昃€性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的大題我說一下，線性代數(shù)考了一個(gè)有公共解的問題，這個(gè)問題以前是考過的，考的是齊次方程組，兩個(gè)齊次方程組，那么今年的題是有些變化的，那么就是一個(gè)齊次方程組和一個(gè)非齊次方程組，但是想到公共解就是這兩個(gè)方程組共同的解，如果你能馬上想到把它們聯(lián)立起來，得到一個(gè)非齊次方程組，那么說，只要這個(gè)非齊次方程組有解的話，那就是它們有公共的解，那這個(gè)題就好做了，那么一個(gè)非齊次方程組有解的充分必要條件就是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，那么這個(gè)題做起來就比較順利了，這個(gè)題把A求出來有2個(gè)值，一個(gè)是1，一個(gè)是2，都能使這個(gè)方程組有公共的解，那么A＝1的時(shí)候，A=2的時(shí)候，一個(gè)是有無窮的公共解，一個(gè)是有的一個(gè)公共解，這的題的命題思路我想還是非常好的，能考察我們方程組這一章的復(fù)習(xí)情況，詳細(xì)的解答你們可以看看附件，再一個(gè)就是在概率統(tǒng)計(jì)的小題里考了一個(gè)幾何概型，這個(gè)幾何概型在數(shù)學(xué)三和數(shù)學(xué)四來說，加入考試大綱已經(jīng)有好幾年了，但是單獨(dú)出題今年是首次考，這個(gè)題應(yīng)該說是不難，平常我在講課當(dāng)中，也包括我和黃老師主編的由人大出版社出版的這個(gè)書里面也一個(gè)幾乎一摸一樣的題，也是(0，1)區(qū)間里任取兩個(gè)數(shù)，在這個(gè)幾何概型的題里面，這個(gè)題應(yīng)該說還是比較簡單的，那么對(duì)于大題來說的話，那就是考察了二維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量不管哪一年都是考試的重點(diǎn)，那么今年考了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一個(gè)是計(jì)算二維隨機(jī)變量滿足一個(gè)不等式的概率，一個(gè)是計(jì)算二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，對(duì)于第一部分來說，計(jì)算量不大，考生做起來還是比較順利的，對(duì)于第二部分來說，方法肯定是掌握了的，考察的是你有沒有耐性，有沒有細(xì)心能夠把這個(gè)題做到后一步，這個(gè)題的計(jì)算量稍微的偏大，這是求X+Y的，那么有的同學(xué)可能習(xí)慣去使用卷積公式來做，實(shí)際上這個(gè)題用分布函數(shù)法做起來，就能比較順利的把它作出來，分四種情況，有兩種情況實(shí)際是一看就知道的，就是兩種特殊的情況，必然事件的概率和不可能事件的概率，一個(gè)等于1，一個(gè)等于0。這個(gè)分布函數(shù)，說明真正要計(jì)算的只有兩種情況，涉及到冪函數(shù)的積分，這個(gè)項(xiàng)比較多，計(jì)算的時(shí)候一定要仔細(xì)，另外就是統(tǒng)計(jì)的題，統(tǒng)計(jì)題是數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三考的，統(tǒng)計(jì)題還是常規(guī)的求矩估計(jì)，是連續(xù)性隨機(jī)變量，就矩估計(jì)的題，那么是大家非常熟悉的，一個(gè)參數(shù)把數(shù)學(xué)期望求出來，求期望就是求積分，令它等于樣本均值，解方程就可以了，后就是我們?cè)u(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)里面，我一直強(qiáng)調(diào)的，重要的一個(gè)就是無偏性，三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，無偏性、有效性、一致性，這個(gè)一致性統(tǒng)考了二十一年，就只考過一個(gè)小題，說明它不是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，也不是考試的重點(diǎn)，無偏性考察的是期望或者說是隨機(jī)變量函數(shù)的期望，能夠達(dá)到綜合考察不同章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)的目的，那么這個(gè)題對(duì)這一個(gè)無偏性的考察，考察了期望方差的計(jì)算，那么這個(gè)計(jì)算量比以往的計(jì)算兩要稍微大一點(diǎn)點(diǎn)，那么還有數(shù)學(xué)四的一個(gè)大題，因?yàn)閿?shù)學(xué)四不考統(tǒng)計(jì)，所以他還考了一個(gè)概率的問題，也是考的二維隨機(jī)變量，這個(gè)考的是離散性，那么這個(gè)題嚴(yán)格的說有點(diǎn)超綱一樣，U和V分別都是X和Y的函數(shù)，我們要求的是U和V的聯(lián)合分布率，這個(gè)在考試大綱里雖然沒有做明確的要求，但是這個(gè)題只要我們理解了什么是離散性隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，按照定義還是可以求出來的，而且計(jì)算量要比前面的題要少的多，今年線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的題除了個(gè)別計(jì)算量偏大的題，都還是比較基本的，同學(xué)們把基本概念、基本性質(zhì)、基本定理搞清楚了，就能夠比較順利的做出來，那么我就說這么多。
主持人：后請(qǐng)兩位老師針對(duì)年年考研數(shù)學(xué)試題的命題趨勢，為08年考生講一講應(yīng)該如何安排考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。
黃老師：很多同學(xué)都特別關(guān)心，今年好像考的比去年難一點(diǎn)，明年會(huì)不會(huì)簡單一點(diǎn)，其實(shí)通過我們這么多年的考試命題以后，我自己認(rèn)為總的這個(gè)趨勢，波動(dòng)是越來越小，因?yàn)槲覀兠}的這個(gè)核心東西，是考察我們兩個(gè)層次的問題，一個(gè)是考基本概念、基本理論、基本方法，再一個(gè)就是考察大家應(yīng)用知識(shí)的能力，所以我認(rèn)為我們的復(fù)習(xí)的準(zhǔn)備也應(yīng)該從這樣兩個(gè)方面去針對(duì)性的復(fù)習(xí)，對(duì)于這個(gè)基礎(chǔ)層面的問題，我自己還是建議以我們的教材或者以我們比較通用的教材作為標(biāo)準(zhǔn)，比如說我們高等數(shù)學(xué)，大家可能用的多是同濟(jì)大學(xué)的這個(gè)教材，所以以這種基礎(chǔ)的教材，前面按照考試大綱的要求系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，這是我們復(fù)習(xí)的第一個(gè)方面，但是我們考試?yán)锊粌H僅是考察我們基本概念、基本理論、基本方法的問題，還涉及到我們靈活用用知識(shí)的能力問題，所以這種能力問題是怎么去考的？我想僅僅是依靠教材可能很難把它這種考試命題的特點(diǎn)歸納總結(jié)出來，因此我建議要了解考試是怎么考的，所以我們歷年考試的真題作為準(zhǔn)備去參加研究生考試的同學(xué)這是必備的，那么這個(gè)真題里，它只是一個(gè)題在這里，所以大家選這個(gè)真題的時(shí)候也應(yīng)該考慮到能不能通過這個(gè)真題的分析幫助我們真正的歸納總結(jié)這樣一些題型出來，針對(duì)每一個(gè)問題我們應(yīng)該如何去分析和討論在分析討論過程中間，有沒有一些可能的變化情況，這些變化情況到現(xiàn)在為止，考到了哪一些，那一些就是我們下一步復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的，這樣的話每一部分你都能夠這樣去歸納、總結(jié)或通過這種相關(guān)的輔導(dǎo)書，幫助你歸納總結(jié)出來了，那么我們這個(gè)復(fù)習(xí)就更有針對(duì)性。
除了歷年真題，我們建議大家一定要去看的就是通過靈活運(yùn)用知識(shí)如何把這種知識(shí)歸納總結(jié)，其實(shí)這就是一般我們輔導(dǎo)的時(shí)候，復(fù)習(xí)講義里我們來幫助大家做這種事情，所以一般來講我們都是建議在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的前提條件下，象這種歷年考試的真題是應(yīng)該必備的，還有就是可以針對(duì)性的我們這種考研復(fù)習(xí)、輔導(dǎo)的講義或者復(fù)習(xí)指南等等。就是有針對(duì)性的用它幫你歸納總結(jié)出來，可以節(jié)省大家的時(shí)間，但是在后期有這樣的一些為基礎(chǔ)，我自己認(rèn)為數(shù)學(xué)不通過一定的題量很難把握這種知識(shí)的，所以我們希望大家通過找一些典型的題做一些訓(xùn)練，通過這種題的練習(xí)來反饋我們知識(shí)把握的情況怎么樣，這樣更好的來把握這些相關(guān)的知識(shí)。每個(gè)同學(xué)的復(fù)習(xí)情況都不完全一樣，但是我們說復(fù)習(xí)一定要養(yǎng)成一個(gè)好的習(xí)慣，我們拿到的這些數(shù)學(xué)題一定要有始有終把它算出來，這是一種計(jì)算能力的訓(xùn)練，其實(shí)這種訓(xùn)練象今年這種考試可能很容易看的出來，這個(gè)計(jì)算量還是相當(dāng)大的，所以沒有平常這樣一個(gè)基練，在實(shí)際考試的時(shí)候在這么一個(gè)短的時(shí)間里，這么大的一個(gè)計(jì)算量，你可能是很難想象的。但是，平常我一直養(yǎng)成這種好習(xí)慣以后，我們?cè)賮砣?yīng)對(duì)這種考試的話，應(yīng)該說沒有什么特殊的困難，當(dāng)然，這里還包括一些其他的考慮，例如我們線性代數(shù)的復(fù)習(xí)和概率統(tǒng)計(jì)這一塊應(yīng)該怎么復(fù)習(xí)我想大家也會(huì)聽一聽曹老師的建議。來源：www.examda.com
曹老師：網(wǎng)友們好，我非常贊成黃老師復(fù)習(xí)的建議，那么我做一個(gè)補(bǔ)充吧。由于黃老師在考研數(shù)學(xué)多年的經(jīng)驗(yàn)，成千上萬的學(xué)生聽他的課，他也和大量的學(xué)生打過交道，這些都是寶貴的經(jīng)驗(yàn)，也很具有參考價(jià)值。
總的來說可以分為這么幾個(gè)階段：第一個(gè)階段，是一個(gè)基礎(chǔ)的階段，用一個(gè)比較通用的，好一點(diǎn)的教材，這個(gè)階段可以稱為打基礎(chǔ)階段，這個(gè)階段的長短應(yīng)該根據(jù)不同同學(xué)的情況，基礎(chǔ)好一點(diǎn)的同學(xué)，這個(gè)時(shí)間可以短一點(diǎn)，基礎(chǔ)差一點(diǎn)的同學(xué)，這個(gè)階段可以長一點(diǎn)，但是我要提醒大家，這個(gè)基礎(chǔ)階段時(shí)間不能太長，不能到了十月、十一月份還在打基礎(chǔ)，那這樣的話，復(fù)習(xí)的效率就太低了，我建議基礎(chǔ)再差的同學(xué)也要再五、六月份把這個(gè)教材的打基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的階段做完。
第二個(gè)階段，黃老師就是說同學(xué)們，你們是要參加研究生考試的，你不是純粹的去研究數(shù)學(xué)的，那你就直奔你自己的目標(biāo)，數(shù)學(xué)考什么樣的題、難度是什么樣子，所以我認(rèn)為這個(gè)階段是一個(gè)強(qiáng)化提高的階段，那么以看什么書為主呢？那就是歷年的真題，也就是按照題型分類，題型的按考試大綱章節(jié)這么分類的，這種歷年真題是對(duì)你有幫助的，再就是針對(duì)考研的這種考試參考書，作為復(fù)習(xí)，教材和參考書是有差異的，教材是不跨章節(jié)的，也就是你在看第六章的時(shí)候，例題也好，習(xí)題也好，不可能用到第六章以后的知識(shí)，但是考研的題的話，他是講的同學(xué)們上完課程，都學(xué)完了才來考試的，所以僅看教材的話就有些不足，難以提高自己參加考試的水平，參考書對(duì)于考研這個(gè)層次的數(shù)學(xué)來說哪些是重點(diǎn)，那些是難點(diǎn)它都做了歸納總結(jié)，同學(xué)們要多花時(shí)間，徹底復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)透徹的，這個(gè)上面都會(huì)講清楚，因?yàn)槟阕约喝グ盐账脑捘兀щy一些，這就是我想為什么要看參考書，你是要參加碩士研究生的考試，不是說你去從事數(shù)學(xué)工作，比如說你是研究數(shù)學(xué)的，那這個(gè)書是不要看的。
第三個(gè)階段的話，你通過強(qiáng)化階段的復(fù)習(xí)，已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)相當(dāng)高的水平，那么怎么樣保持這個(gè)水平呢？通過做適當(dāng)?shù)念}，比如歷年真題或是做模擬題，這個(gè)叫做總復(fù)習(xí)，或者說是沖刺的階段。這個(gè)階段什么時(shí)候開始是同學(xué)們關(guān)心的，我認(rèn)為這個(gè)階段不要開始的太早了，一般是第二年一月份的考試，你不能從六月份就開始沖刺了，這個(gè)時(shí)候沖刺的效果就不好，可以在十月份以后，甚至十一月份以后來準(zhǔn)備你這個(gè)沖刺的階段，這就是剛才黃老師說的。按照習(xí)題集、練習(xí)題、綜合練習(xí)題或者是歷年真題，成套的題來做，也不要在很短的時(shí)間內(nèi)做完它，要分散開來做，這樣能夠使你的數(shù)學(xué)水平保持在一個(gè)佳的狀態(tài)，我們就說這么多。
主持人：好，感謝兩位老師的精彩評(píng)講。