第三節(jié) 冪數(shù)列剖析及真題點撥
一、平方數(shù)列及其變式
平方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的平方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差、等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1,4,9,16,25,36……
典型平方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列(自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等)的平方。
平方數(shù)列變式：這一數(shù)列不是簡單的平方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除某一常數(shù)”變化的數(shù)列。
例題1.(2008年中央第45題)
14,20,54,76，( )
A.104 B.116
C.126 D.144
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律：14＝32＋5,20＝52－5,54＝72＋5,76＝92－5，未知項應(yīng)為112＋5，即為126。故選C。
例題2.(2008年北京市(應(yīng)屆)第2題)
2,3,10,15,26，( )
A.32 B.35
C.38 D.42
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。該數(shù)列規(guī)律為：2＝12＋1,3＝22－1,10＝32＋1,15＝42－1,26＝52＋1，所以其下一項應(yīng)為62－1＝35。故選B。
例題3.(2007年浙江省第9題)
( ),35,63,80,99,143
A.24 B.15
C.8 D.1
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。原數(shù)列可以變形為( )，62－1,82－1,92－1,102－1,122－1，由此可知該數(shù)列各項是合數(shù)的平方減去1，那么( )＝42－1＝15。故選B。
例題4.(2007年甘肅省第5題)
6,7,11,20，( )
A.33 B.34
C.35 D.36
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。該題題干中的后項與前項之差分別為7－6＝1,11－7＝4,20－11＝9，可見這1、4、9是自然數(shù)列1、2、3的平方，下個數(shù)應(yīng)為16，即4的平方，所以( )內(nèi)之?dāng)?shù)是16＋20＝36。故選D。
例題5.(2007年廣東省第3題)
3,2,11,14，( )
A.17 B.19
C.24 D.27
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：n2＋(－1)n＋1×2＝an(n為自然數(shù))，即12＋2＝3,22－2＝2,32＋2＝11,42－2＝14，所以( )內(nèi)之?dāng)?shù)是52＋2＝27。故選D。
二、立方數(shù)列及其變式
立方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的立方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差、等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1,8,27,64,125……典型立方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列(自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等)的立方。
立方數(shù)列的變式是指在立方數(shù)列的基礎(chǔ)上進(jìn)行某種變化后得到的新數(shù)列，這種變化通常是指“加減乘除某一常數(shù)”的變化。
例題1.(2007年中央第45題)
0,2,10,30，( )
A.68 B.74
C.60 D.70
【解析】該數(shù)列為立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：(n－1)3＋(n－1)＝an(n為自然數(shù))，原數(shù)列可變形為03＋0＝0,13＋1＝2,23＋2＝10,33＋3＝30，因此，未知項為43＋4＝68。故選A。
例題2.(2006年中央(一類)第33題，(一類)第28題)
－2，－8,0,64，( )
A.－64 B.128
C.156 D.250
【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：an＝(n－3)×n3(n為自然數(shù))，即－2＝(1－3)×13，－8＝(2－3)×23,0＝(3－3)×33,64＝(4－3)×43，由此可知，未知項為(5－3)×53＝250。故選D。
例題3.(2007年江蘇省(A類)第8題)
－2，－1,6,25,62，( )
A.105 B.123
C.161 D.181
【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：－2＝03－2，－1＝13－2,6＝23－2,25＝33－2,62＝43－2，所以下一項為：53－2＝123。故選B。
例題4.(2007年浙江省第5題)
0,9,26,65，( ),217
A.106 B.118
C.124 D.132
【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。原數(shù)列可以變形為13－1,23＋1,33－1,43＋1，( ),63＋1，由此規(guī)律( )＝53－1＝124。故選C。
例題5.(2007年黑龍江省(A類)第2題)
8,27,64，( ),216
A.125 B.100
C.160 D.121
【解析】該數(shù)列是典型的立方數(shù)列。規(guī)律為：23,33,43，( )，63，未知項為53＝125。故選A。
例題6.(2006年江蘇省(A類)第2題)
4,11,30,67，( )
A.121 B.128
C.130 D.135
【解析】該數(shù)列是一個立方數(shù)列的變式。a1＝4＝13＋3，a2＝11＝23＋3；a3＝30＝33＋3；a4＝67＝43＋3；依此規(guī)律a5＝53＋3＝128。故選B。
一、平方數(shù)列及其變式
平方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的平方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差、等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1,4,9,16,25,36……
典型平方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列(自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等)的平方。
平方數(shù)列變式：這一數(shù)列不是簡單的平方數(shù)列，而是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行“加減乘除某一常數(shù)”變化的數(shù)列。
例題1.(2008年中央第45題)
14,20,54,76，( )
A.104 B.116
C.126 D.144
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律：14＝32＋5,20＝52－5,54＝72＋5,76＝92－5，未知項應(yīng)為112＋5，即為126。故選C。
例題2.(2008年北京市(應(yīng)屆)第2題)
2,3,10,15,26，( )
A.32 B.35
C.38 D.42
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。該數(shù)列規(guī)律為：2＝12＋1,3＝22－1,10＝32＋1,15＝42－1,26＝52＋1，所以其下一項應(yīng)為62－1＝35。故選B。
例題3.(2007年浙江省第9題)
( ),35,63,80,99,143
A.24 B.15
C.8 D.1
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。原數(shù)列可以變形為( )，62－1,82－1,92－1,102－1,122－1，由此可知該數(shù)列各項是合數(shù)的平方減去1，那么( )＝42－1＝15。故選B。
例題4.(2007年甘肅省第5題)
6,7,11,20，( )
A.33 B.34
C.35 D.36
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。該題題干中的后項與前項之差分別為7－6＝1,11－7＝4,20－11＝9，可見這1、4、9是自然數(shù)列1、2、3的平方，下個數(shù)應(yīng)為16，即4的平方，所以( )內(nèi)之?dāng)?shù)是16＋20＝36。故選D。
例題5.(2007年廣東省第3題)
3,2,11,14，( )
A.17 B.19
C.24 D.27
【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：n2＋(－1)n＋1×2＝an(n為自然數(shù))，即12＋2＝3,22－2＝2,32＋2＝11,42－2＝14，所以( )內(nèi)之?dāng)?shù)是52＋2＝27。故選D。
二、立方數(shù)列及其變式
立方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的立方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差、等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1,8,27,64,125……典型立方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列(自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等)的立方。
立方數(shù)列的變式是指在立方數(shù)列的基礎(chǔ)上進(jìn)行某種變化后得到的新數(shù)列，這種變化通常是指“加減乘除某一常數(shù)”的變化。
例題1.(2007年中央第45題)
0,2,10,30，( )
A.68 B.74
C.60 D.70
【解析】該數(shù)列為立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：(n－1)3＋(n－1)＝an(n為自然數(shù))，原數(shù)列可變形為03＋0＝0,13＋1＝2,23＋2＝10,33＋3＝30，因此，未知項為43＋4＝68。故選A。
例題2.(2006年中央(一類)第33題，(一類)第28題)
－2，－8,0,64，( )
A.－64 B.128
C.156 D.250
【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：an＝(n－3)×n3(n為自然數(shù))，即－2＝(1－3)×13，－8＝(2－3)×23,0＝(3－3)×33,64＝(4－3)×43，由此可知，未知項為(5－3)×53＝250。故選D。
例題3.(2007年江蘇省(A類)第8題)
－2，－1,6,25,62，( )
A.105 B.123
C.161 D.181
【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。其規(guī)律為：－2＝03－2，－1＝13－2,6＝23－2,25＝33－2,62＝43－2，所以下一項為：53－2＝123。故選B。
例題4.(2007年浙江省第5題)
0,9,26,65，( ),217
A.106 B.118
C.124 D.132
【解析】該數(shù)列是立方數(shù)列的變式。原數(shù)列可以變形為13－1,23＋1,33－1,43＋1，( ),63＋1，由此規(guī)律( )＝53－1＝124。故選C。
例題5.(2007年黑龍江省(A類)第2題)
8,27,64，( ),216
A.125 B.100
C.160 D.121
【解析】該數(shù)列是典型的立方數(shù)列。規(guī)律為：23,33,43，( )，63，未知項為53＝125。故選A。
例題6.(2006年江蘇省(A類)第2題)
4,11,30,67，( )
A.121 B.128
C.130 D.135
【解析】該數(shù)列是一個立方數(shù)列的變式。a1＝4＝13＋3，a2＝11＝23＋3；a3＝30＝33＋3；a4＝67＝43＋3；依此規(guī)律a5＝53＋3＝128。故選B。