第二節(jié) 數(shù)字應(yīng)用題剖析及真題點(diǎn)撥
一、整除運(yùn)算
(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。
(2)若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
(3)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。
(4) 若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。
(5)若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
(6)若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
(7)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。
(8)若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。
(9)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。
(10)若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
(11)若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過(guò)程不同的是：倍數(shù)不是2而是1。
(12)若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
(13)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。
(14)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。
(15)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。
(16)若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
(17)若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
(18)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。
例題1.(2008年山東省第9題)
有a，b，c，d四條直線，依次在a線上寫1，在b線上寫2，在c線上寫3，在d線上寫4，然后在a線上寫5，在c線和d線上寫數(shù)字6,7,8，……，按這樣的周期循環(huán)下去，問(wèn)數(shù)字2 008寫在哪條線上？( )
A.a線 B.b線
C.c線 D.d線
【解析】本題實(shí)質(zhì)考查2 008除以4的余數(shù)問(wèn)題，可知其可被整除，所以2 008應(yīng)寫在d線上。故選D。
例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第11題)
一個(gè)兩位數(shù)除以一個(gè)一位數(shù)，商仍是兩位數(shù)，余數(shù)是8。問(wèn)：被除數(shù)、除數(shù)、商以及余數(shù)之和是多少？( )
A.98 B.107
C.114 D.125
【解析】由“余數(shù)是8”可知，除數(shù)只能是9，由于被除數(shù)是兩位數(shù)，商也是兩位數(shù)，則商只能取10，則被除數(shù)為9×10＋8＝98，因此，98＋9＋10＋8＝125。故選D。
例題3.(2007年浙江省第13題)
小張?jiān)谧鲆坏莱〞r(shí)，誤將除數(shù)45看成54，結(jié)果得到的商是3，余數(shù)是7。問(wèn)正確的商和余數(shù)之和是( )。
A.11 B.18
C.26 D.37
【解析】此題的關(guān)鍵是被除數(shù)是不變的。由題干條件可首先求出：被除數(shù)＝54×3＋7＝169，那么正確的商和余數(shù)應(yīng)由169÷45可得商為3余34，它們之和為37。故選D。
例題4.(2007年福建省第34題)
一批武警戰(zhàn)士平均分成若干小組值勤。如果每4人一組，恰好余1人。如果每5人一組，恰好也余1人，如果每6人一組，恰好還是余1人。這批武警戰(zhàn)士至少有( )人。
A.121 B.101
C.81 D.61
【解析】根據(jù)題意，這批武警戰(zhàn)士的人數(shù)減1，能夠被4、5、6整除。又題目要求“至少有多少人”，即要求4、5、6的最小公倍數(shù)，再加1，得61。故選D。
例題5.(2007年中央第60題)
有一食品店某天購(gòu)進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購(gòu)進(jìn)了( )公斤面包。
A.44 B.45
C.50 D.52
【解析】本題是整除運(yùn)算題目。由題意可知，6箱食品共重102公斤，設(shè)賣出的一箱面包為x公斤，又由于剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，所以(102－x)應(yīng)是3的倍數(shù)，并且(102－x)÷3應(yīng)是其余5箱中一箱的重量或幾箱重量的和。只有當(dāng)x＝27時(shí)符合條件，此時(shí)共有面包27＋(102－27)÷3＝52公斤。故選D。
例題6.(2006年中央(一類)第50題，(二類)第34題)
一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有( )。
A.5個(gè) B.6個(gè)
C.7個(gè) D.8個(gè)
【解析】本題要運(yùn)用整除運(yùn)算。根據(jù)“除以5余2”，可知該數(shù)的尾數(shù)為2或7；而根據(jù)“除以4余3”，可知其尾數(shù)只能為7，根據(jù)“除以9余7”，該數(shù)可以表示為9x＋7，其中x的范圍為11至110；其中尾數(shù)為7的有9y＋7，其中y的范圍為20至110，經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)y為30、50、70、90、110時(shí)，該三位數(shù)仍不能符合“除以4余3”的條件，即只有當(dāng)y為20、40、60、80、100時(shí)，該三位數(shù)才滿足三個(gè)條件，因此共有5個(gè)三位數(shù)。故選A。
二、數(shù)列問(wèn)題
例題1.(2008年中央第48題)
{an}是一個(gè)等差數(shù)列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，則數(shù)列前13項(xiàng)之和是( )。
A.32 B.36
C.156 D.182
【解析】這是一道考查數(shù)列問(wèn)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算題，應(yīng)注意解題技巧。要熟悉等差數(shù)列的特性，在本題中，{an}為等差數(shù)列，則S13＝13×a7，且a10－a3＝a11－a4＝4，那么a7＝a10－a3＋8＝12，則S13＝12×13＝156。故選C。
例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第12題)
10個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是以1開(kāi)始的10個(gè)連續(xù)奇數(shù)和的2.5倍，其中的偶數(shù)是多少？( )
A.34 B.38
C.40 D.42
【解析】本題考查奇數(shù)列和偶數(shù)列的求和，可采用方程式求解。以1開(kāi)始的10個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為(1＋1＋2×9)×10÷2＝100，則10個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和為100×2.5＝250。設(shè)的偶數(shù)為x，則(x＋x－2×9)×10÷2＝250，解得x＝34。故選A。
例題3.(2007年北京市(應(yīng)屆)第13題)
某車間從3月2日開(kāi)始每天調(diào)入1人。已知每人每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，該車間從3月1日至3月21日共生產(chǎn)840件產(chǎn)品，該車間原有多少名工人？( )
A.20 B.30
C.35 D.40
【解析】由于自3月2日起每天調(diào)入1人，所以人數(shù)成等差數(shù)列，而每人每天生產(chǎn)1件產(chǎn)品，所以這21天每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)也成等差數(shù)列。設(shè)車間原有工人n名，根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式可知：21＝末項(xiàng)－n1＋1，解得末項(xiàng)＝n＋20，再根據(jù)求和公式：和＝[n＋(n＋20)]×212＝840，解得n＝30。故選B。
一、整除運(yùn)算
(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。
(2)若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
(3)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。
(4) 若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。
(5)若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
(6)若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
(7)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。
(8)若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。
(9)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。
(10)若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
(11)若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過(guò)程不同的是：倍數(shù)不是2而是1。
(12)若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
(13)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。
(14)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。
(15)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。
(16)若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
(17)若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
(18)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除。
例題1.(2008年山東省第9題)
有a，b，c，d四條直線，依次在a線上寫1，在b線上寫2，在c線上寫3，在d線上寫4，然后在a線上寫5，在c線和d線上寫數(shù)字6,7,8，……，按這樣的周期循環(huán)下去，問(wèn)數(shù)字2 008寫在哪條線上？( )
A.a線 B.b線
C.c線 D.d線
【解析】本題實(shí)質(zhì)考查2 008除以4的余數(shù)問(wèn)題，可知其可被整除，所以2 008應(yīng)寫在d線上。故選D。
例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第11題)
一個(gè)兩位數(shù)除以一個(gè)一位數(shù)，商仍是兩位數(shù)，余數(shù)是8。問(wèn)：被除數(shù)、除數(shù)、商以及余數(shù)之和是多少？( )
A.98 B.107
C.114 D.125
【解析】由“余數(shù)是8”可知，除數(shù)只能是9，由于被除數(shù)是兩位數(shù)，商也是兩位數(shù)，則商只能取10，則被除數(shù)為9×10＋8＝98，因此，98＋9＋10＋8＝125。故選D。
例題3.(2007年浙江省第13題)
小張?jiān)谧鲆坏莱〞r(shí)，誤將除數(shù)45看成54，結(jié)果得到的商是3，余數(shù)是7。問(wèn)正確的商和余數(shù)之和是( )。
A.11 B.18
C.26 D.37
【解析】此題的關(guān)鍵是被除數(shù)是不變的。由題干條件可首先求出：被除數(shù)＝54×3＋7＝169，那么正確的商和余數(shù)應(yīng)由169÷45可得商為3余34，它們之和為37。故選D。
例題4.(2007年福建省第34題)
一批武警戰(zhàn)士平均分成若干小組值勤。如果每4人一組，恰好余1人。如果每5人一組，恰好也余1人，如果每6人一組，恰好還是余1人。這批武警戰(zhàn)士至少有( )人。
A.121 B.101
C.81 D.61
【解析】根據(jù)題意，這批武警戰(zhàn)士的人數(shù)減1，能夠被4、5、6整除。又題目要求“至少有多少人”，即要求4、5、6的最小公倍數(shù)，再加1，得61。故選D。
例題5.(2007年中央第60題)
有一食品店某天購(gòu)進(jìn)了6箱食品，分別裝著餅干和面包，重量分別為8、9、16、20、22、27公斤。該店當(dāng)天只賣出一箱面包，在剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，則當(dāng)天食品店購(gòu)進(jìn)了( )公斤面包。
A.44 B.45
C.50 D.52
【解析】本題是整除運(yùn)算題目。由題意可知，6箱食品共重102公斤，設(shè)賣出的一箱面包為x公斤，又由于剩下的5箱中餅干的重量是面包的兩倍，所以(102－x)應(yīng)是3的倍數(shù)，并且(102－x)÷3應(yīng)是其余5箱中一箱的重量或幾箱重量的和。只有當(dāng)x＝27時(shí)符合條件，此時(shí)共有面包27＋(102－27)÷3＝52公斤。故選D。
例題6.(2006年中央(一類)第50題，(二類)第34題)
一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有( )。
A.5個(gè) B.6個(gè)
C.7個(gè) D.8個(gè)
【解析】本題要運(yùn)用整除運(yùn)算。根據(jù)“除以5余2”，可知該數(shù)的尾數(shù)為2或7；而根據(jù)“除以4余3”，可知其尾數(shù)只能為7，根據(jù)“除以9余7”，該數(shù)可以表示為9x＋7，其中x的范圍為11至110；其中尾數(shù)為7的有9y＋7，其中y的范圍為20至110，經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)y為30、50、70、90、110時(shí)，該三位數(shù)仍不能符合“除以4余3”的條件，即只有當(dāng)y為20、40、60、80、100時(shí)，該三位數(shù)才滿足三個(gè)條件，因此共有5個(gè)三位數(shù)。故選A。
二、數(shù)列問(wèn)題
例題1.(2008年中央第48題)
{an}是一個(gè)等差數(shù)列，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，則數(shù)列前13項(xiàng)之和是( )。
A.32 B.36
C.156 D.182
【解析】這是一道考查數(shù)列問(wèn)題的數(shù)學(xué)運(yùn)算題，應(yīng)注意解題技巧。要熟悉等差數(shù)列的特性，在本題中，{an}為等差數(shù)列，則S13＝13×a7，且a10－a3＝a11－a4＝4，那么a7＝a10－a3＋8＝12，則S13＝12×13＝156。故選C。
例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第12題)
10個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是以1開(kāi)始的10個(gè)連續(xù)奇數(shù)和的2.5倍，其中的偶數(shù)是多少？( )
A.34 B.38
C.40 D.42
【解析】本題考查奇數(shù)列和偶數(shù)列的求和，可采用方程式求解。以1開(kāi)始的10個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為(1＋1＋2×9)×10÷2＝100，則10個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和為100×2.5＝250。設(shè)的偶數(shù)為x，則(x＋x－2×9)×10÷2＝250，解得x＝34。故選A。
例題3.(2007年北京市(應(yīng)屆)第13題)
某車間從3月2日開(kāi)始每天調(diào)入1人。已知每人每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，該車間從3月1日至3月21日共生產(chǎn)840件產(chǎn)品，該車間原有多少名工人？( )
A.20 B.30
C.35 D.40
【解析】由于自3月2日起每天調(diào)入1人，所以人數(shù)成等差數(shù)列，而每人每天生產(chǎn)1件產(chǎn)品，所以這21天每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)也成等差數(shù)列。設(shè)車間原有工人n名，根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式可知：21＝末項(xiàng)－n1＋1，解得末項(xiàng)＝n＋20，再根據(jù)求和公式：和＝[n＋(n＋20)]×212＝840，解得n＝30。故選B。