四、橢圓曲線上的加法
上一節(jié)，我們已經(jīng)看到了橢圓曲線的圖象，但點(diǎn)與點(diǎn)之間好象沒有什么聯(lián)系。我們能不能建立一個(gè)類似于在實(shí)數(shù)軸上加法的運(yùn)算法則呢？天才的數(shù)學(xué)家找到了這一運(yùn)算法則
自從近世紀(jì)代數(shù)學(xué)引入了群、環(huán)、域的概念，使得代數(shù)運(yùn)算達(dá)到了高度的統(tǒng)一。比如數(shù)學(xué)家總結(jié)了普通加法的主要特征，提出了加群（也叫交換群，或Abel（阿貝爾）群），在加群的眼中。實(shí)數(shù)的加法和橢圓曲線的上的加法沒有什么區(qū)別。這也許就是數(shù)學(xué)抽象把：）。關(guān)于群以及加群的具體概念請(qǐng)參考近世代數(shù)方面的數(shù)學(xué)書。
運(yùn)算法則：任意取橢圓曲線上兩點(diǎn)P、Q （若P、Q兩點(diǎn)重合，則做P點(diǎn)的切線）做直線交于橢圓曲線的另一點(diǎn)R’，過R’做y軸的平行線交于R。我們規(guī)定P+Q=R。
法則詳解：
▲這里的+不是實(shí)數(shù)中普通的加法，而是從普通加法中抽象出來的加法，他具備普通加法的一些性質(zhì)，但具體的運(yùn)算法則顯然與普通加法不同。
▲根據(jù)這個(gè)法則，可以知道橢圓曲線無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O∞與橢圓曲線上一點(diǎn)P的連線交于P’，過P’作y軸的平行線交于P，所以有 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) O∞+ P = P 。這樣，無窮遠(yuǎn)點(diǎn) O∞的作用與普通加法中零的作用相當(dāng)（0+2=2），我們把無窮遠(yuǎn)點(diǎn) O∞ 稱為 零元。同時(shí)我們把P’稱為P的負(fù)元（簡稱，負(fù)P；記作，-P）。
▲根據(jù)這個(gè)法則，可以得到如下結(jié)論 ：如果橢圓曲線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，處于同一條直線上，那么他們的和等于零元，即A+B+C= O∞
上一節(jié)，我們已經(jīng)看到了橢圓曲線的圖象，但點(diǎn)與點(diǎn)之間好象沒有什么聯(lián)系。我們能不能建立一個(gè)類似于在實(shí)數(shù)軸上加法的運(yùn)算法則呢？天才的數(shù)學(xué)家找到了這一運(yùn)算法則
自從近世紀(jì)代數(shù)學(xué)引入了群、環(huán)、域的概念，使得代數(shù)運(yùn)算達(dá)到了高度的統(tǒng)一。比如數(shù)學(xué)家總結(jié)了普通加法的主要特征，提出了加群（也叫交換群，或Abel（阿貝爾）群），在加群的眼中。實(shí)數(shù)的加法和橢圓曲線的上的加法沒有什么區(qū)別。這也許就是數(shù)學(xué)抽象把：）。關(guān)于群以及加群的具體概念請(qǐng)參考近世代數(shù)方面的數(shù)學(xué)書。
運(yùn)算法則：任意取橢圓曲線上兩點(diǎn)P、Q （若P、Q兩點(diǎn)重合，則做P點(diǎn)的切線）做直線交于橢圓曲線的另一點(diǎn)R’，過R’做y軸的平行線交于R。我們規(guī)定P+Q=R。
法則詳解：
▲這里的+不是實(shí)數(shù)中普通的加法，而是從普通加法中抽象出來的加法，他具備普通加法的一些性質(zhì)，但具體的運(yùn)算法則顯然與普通加法不同。
▲根據(jù)這個(gè)法則，可以知道橢圓曲線無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O∞與橢圓曲線上一點(diǎn)P的連線交于P’，過P’作y軸的平行線交于P，所以有 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) O∞+ P = P 。這樣，無窮遠(yuǎn)點(diǎn) O∞的作用與普通加法中零的作用相當(dāng)（0+2=2），我們把無窮遠(yuǎn)點(diǎn) O∞ 稱為 零元。同時(shí)我們把P’稱為P的負(fù)元（簡稱，負(fù)P；記作，-P）。
▲根據(jù)這個(gè)法則，可以得到如下結(jié)論 ：如果橢圓曲線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，處于同一條直線上，那么他們的和等于零元，即A+B+C= O∞