六、方陣問題
學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果 行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。
核心公式：
1．方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）
2．方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋1
3．方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2
4．去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
例1 學校學生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學生多少人?
A．256人 B．250人 C．225人 D．196人 （2002年A類真題）
解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。
根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。
方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）
整個方陣共有學生人數(shù)：16×16=256（人）。
所以，正確答案為A。
例2 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？
分析 如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：
去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
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解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。
原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)＝（33+1）÷2＝17
方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17×17=289（人）
例3 小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是：
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 （2005年中央真題）
解析：設(shè)當圍成一個正方形時，每邊有硬幣X枚，此時總的硬幣枚數(shù)為4（X-1），當變成三角形時，則此時的硬幣枚數(shù)為3（X＋5-1），由此可列方和為
4（X-1）=3（X＋5-1）解得
X=16 總的硬幣枚數(shù)為60，則總價值為3元。
所以，正確答案為C。
5、某儀仗隊排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊總?cè)藬?shù)為多少？
學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果 行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。
核心公式：
1．方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）
2．方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋1
3．方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2
4．去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
例1 學校學生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學生多少人?
A．256人 B．250人 C．225人 D．196人 （2002年A類真題）
解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。
根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。
方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）
整個方陣共有學生人數(shù)：16×16=256（人）。
所以，正確答案為A。
例2 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？
分析 如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：
去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
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解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。
原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)＝（33+1）÷2＝17
方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17×17=289（人）
例3 小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是：
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 （2005年中央真題）
解析：設(shè)當圍成一個正方形時，每邊有硬幣X枚，此時總的硬幣枚數(shù)為4（X-1），當變成三角形時，則此時的硬幣枚數(shù)為3（X＋5-1），由此可列方和為
4（X-1）=3（X＋5-1）解得
X=16 總的硬幣枚數(shù)為60，則總價值為3元。
所以，正確答案為C。
5、某儀仗隊排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊總?cè)藬?shù)為多少？