七、和、差倍問題
核心要點提示：
和、差倍問題是已知大小兩個數(shù)的和（或差）與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的值。
（和+差）÷2=較大數(shù)
（和－差）÷2=較小數(shù)
較大數(shù)一差＝較小數(shù)
這一題型應作為一個基本常識掌握，以加快解題的速度。
例1：甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本?
解析：設乙班的圖書本數(shù)為l份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當于乙班圖書本數(shù)的4倍。還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù)。用下圖表示它們的關(guān)系：
解：乙班：160÷（3十1）＝40（本）
甲班：40×3＝120（本）
或160—40＝120（本）
答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。
例2 549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和。如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等。求4個數(shù)各是多少?
解析 采用方程法，設相等的數(shù)為x，則甲為x—2，乙為x+2，丙為x÷2，丁為2x，則可列方程：x—2+x+2+x÷2+2x=549，x=122。
那么甲為122—2=120，乙為122+2=124，丙為122÷2=61，丁為2×122=244。
例3 河東小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，現(xiàn)知道五、六年級共有25幅畫，求其它年級的畫共有多少幅?
解法1 由“其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的”可知五年級比六年級多16-15=1（幅）畫，又知“五、六年級共有25幅畫”，根據(jù)和差問題的數(shù)量關(guān)系可知五年級有（25+1）÷2=13（幅）畫，因此，其它年級的畫共有16-13=3（幅）。
依據(jù)題意做如下圖示：
六年級
五年級
四年級
三年級
二年級
一年級
16幅畫不是六年級的，即黑色部分的人數(shù)總和16人
六年級
五年級
四年級
三年級
二年級
一年級
15幅畫不是五年級的，即黑色部分的人數(shù)總和15人
黑色部分一做差即可求出五年級比六年級多1人，
解法2 設六年級有 幅畫，那么五年級有x+（16－15），則可列方程：
x +（16－15）+x=25，
x=12
即六年級有12幅畫，五年級有x+（16－15）=13幅畫。
例4 有50名學生參加聯(lián)歡會，第一個到會的女生同每個男生握過手，第二個到會的女生只差1個男生沒握過手，第三個到會的女生只差2個男生沒握過手，如此等等，最后一個到會的女生和7個男生握過手，那么這50名學生中有幾名男生?
解法1 從題目中已經(jīng)知道參加聯(lián)歡會的男生和女生共有50名。因此，如果能知道男生人數(shù)與女生人數(shù)的差，即可按和差問題的數(shù)量關(guān)系求出男生有多少人。
為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過來，從后往前看。也就是說：最后一個到會的女生同7個男生握過手；倒數(shù)第二個到會的女生同8個男生握過手；倒數(shù)第三個到會的女生同9個男生握過手，如此等等，第一個到會（即倒數(shù)最后一個）的女生同全部男生握過手。由此，立即可知，男生人數(shù)比女生的人數(shù)多6個人。因此，男生人數(shù)為
（50+6）÷2=28（人）
解法2 設女生人數(shù)為x人，則男生人數(shù)為（6+x）人，則可列方程：
x +6+x=50，
x=22（人）
核心要點提示：
和、差倍問題是已知大小兩個數(shù)的和（或差）與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的值。
（和+差）÷2=較大數(shù)
（和－差）÷2=較小數(shù)
較大數(shù)一差＝較小數(shù)
這一題型應作為一個基本常識掌握，以加快解題的速度。
例1：甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本?
解析：設乙班的圖書本數(shù)為l份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當于乙班圖書本數(shù)的4倍。還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù)。用下圖表示它們的關(guān)系：
解：乙班：160÷（3十1）＝40（本）
甲班：40×3＝120（本）
或160—40＝120（本）
答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。
例2 549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和。如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個數(shù)相等。求4個數(shù)各是多少?
解析 采用方程法，設相等的數(shù)為x，則甲為x—2，乙為x+2，丙為x÷2，丁為2x，則可列方程：x—2+x+2+x÷2+2x=549，x=122。
那么甲為122—2=120，乙為122+2=124，丙為122÷2=61，丁為2×122=244。
例3 河東小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的，現(xiàn)知道五、六年級共有25幅畫，求其它年級的畫共有多少幅?
解法1 由“其中有16幅畫不是六年級的，有15幅畫不是五年級的”可知五年級比六年級多16-15=1（幅）畫，又知“五、六年級共有25幅畫”，根據(jù)和差問題的數(shù)量關(guān)系可知五年級有（25+1）÷2=13（幅）畫，因此，其它年級的畫共有16-13=3（幅）。
依據(jù)題意做如下圖示：
六年級
五年級
四年級
三年級
二年級
一年級
16幅畫不是六年級的，即黑色部分的人數(shù)總和16人
六年級
五年級
四年級
三年級
二年級
一年級
15幅畫不是五年級的，即黑色部分的人數(shù)總和15人
黑色部分一做差即可求出五年級比六年級多1人，
解法2 設六年級有 幅畫，那么五年級有x+（16－15），則可列方程：
x +（16－15）+x=25，
x=12
即六年級有12幅畫，五年級有x+（16－15）=13幅畫。
例4 有50名學生參加聯(lián)歡會，第一個到會的女生同每個男生握過手，第二個到會的女生只差1個男生沒握過手，第三個到會的女生只差2個男生沒握過手，如此等等，最后一個到會的女生和7個男生握過手，那么這50名學生中有幾名男生?
解法1 從題目中已經(jīng)知道參加聯(lián)歡會的男生和女生共有50名。因此，如果能知道男生人數(shù)與女生人數(shù)的差，即可按和差問題的數(shù)量關(guān)系求出男生有多少人。
為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過來，從后往前看。也就是說：最后一個到會的女生同7個男生握過手；倒數(shù)第二個到會的女生同8個男生握過手；倒數(shù)第三個到會的女生同9個男生握過手，如此等等，第一個到會（即倒數(shù)最后一個）的女生同全部男生握過手。由此，立即可知，男生人數(shù)比女生的人數(shù)多6個人。因此，男生人數(shù)為
（50+6）÷2=28（人）
解法2 設女生人數(shù)為x人，則男生人數(shù)為（6+x）人，則可列方程：
x +6+x=50，
x=22（人）