4．行程問(wèn)題的相關(guān)例題
例1 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級(jí)有：
A．80級(jí) B．100級(jí) C．120級(jí) D．140級(jí) （2005年中央真題）
解析；這是一個(gè)典型的行程問(wèn)題的變型，總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)”，速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為X，則可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得 X=0.5 也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)數(shù)=（2+0.5）×40=100
所以，答案為B。
例2 甲、乙、丙三人沿著400米環(huán)形跑道進(jìn)行800米跑比賽，當(dāng)甲跑1圈時(shí)，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他們各自跑步的速度始終不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲在丙前面：
A．85米 B．90米 C．100米 D．105米 （2005年中央真題）
解析：此題的解題關(guān)鍵是要跳出微觀，在宏觀上進(jìn)行解題。依據(jù)行程問(wèn)題的公式，在時(shí)間相同的情況下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比為8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以當(dāng)乙跑了2圈（800米）時(shí)，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正確答案為C。
例3 某船第一次順流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中順流航行12千米，逆流航行7千米，結(jié)果兩次所用的時(shí)間相等，假設(shè)船本身速度及水流速度保持不變，則順?biāo)倥c逆水船速之比是：
A．2.5：1 B．3：1 C．3.5：1 D．4：1 （2005年中央真題）
解析：典型流水問(wèn)題。如果設(shè)逆水速度為V，設(shè)順?biāo)俣仁悄嫠俣鹊腒倍，則可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
將V約掉，解得K=3
所以，正確答案為B。
例4 姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來(lái)跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來(lái)。問(wèn)小狗共跑了多少米?
A．600米 B．800米 C．1200米 D．1600米 （2003年中央A類(lèi)）
解析：此題將追及問(wèn)題和一般路程問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，是一道經(jīng)典習(xí)題。
首先求姐姐多少時(shí)間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
所以，正確答案為A。
例5 某校下午2點(diǎn)整派車(chē)去某廠接勞模作報(bào)告，往返需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來(lái)，途中遇到接他的車(chē)，便坐上車(chē)去學(xué)校，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問(wèn)汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的幾倍?
A．5倍 B．6倍 C．7倍 D．8倍 （2003年中央B類(lèi)）
解析， 如果接勞模往返需1小時(shí)，而實(shí)際上汽車(chē)2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來(lái)，這說(shuō)明遇到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度（時(shí)間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分）走的距離和汽車(chē)所行的距離（2點(diǎn)到2點(diǎn)15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí)，汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程
5/4A=1/4AX
解得 X=5
所以，正確答案為A。
例6 一輛汽車(chē)油箱中的汽油可供它在高速公路上行駛462公里或者在城市道路上行駛336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行駛6公里，問(wèn)每公升汽油可供該汽車(chē)在城市道路上行駛多少公里?
A．16 B．21 C．22 D．27 （2003年中央B類(lèi)）
解析：基本路程問(wèn)題，采用方程法，設(shè)每公升汽油可供該汽車(chē)在城市道路上行駛X公里，則可列如下方程
462÷X=336÷（X-6）
解得X=22
所以，正確答案為C。
注：此題亦可用速度差和路程差的關(guān)系來(lái)求解，速度將更快，詳解過(guò)程本書(shū)略。
例7 甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0．1米，那么，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 （2000年中央真題）
解析，此題為典型的速度和問(wèn)題，為方便理解可設(shè)甲的速度為X米/分，乙的速度為Y米/分，則依題意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分）
從而解得 X=78 Y=72
由Y=72，可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點(diǎn)的最短距離為176米。
例8 列火車(chē)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行36千米，乙車(chē)每小時(shí)行54千米。兩車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)，甲車(chē)上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗時(shí)開(kāi)始到乙車(chē)車(chē)尾經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗共用了14秒，求乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)。
解析：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車(chē)的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車(chē)的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）。本題中，甲車(chē)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車(chē)乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車(chē)的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車(chē)車(chē)頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)甲車(chē)乘客的車(chē)窗這一時(shí)刻起，乙車(chē)車(chē)頭和甲車(chē)乘客開(kāi)始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客之間的距離都增大（10+15）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車(chē)頭與乘客之間的距離為（10+15）×14＝350（米）。又因?yàn)榧总?chē)乘客最后看到的是乙車(chē)車(chē)尾，所以，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度，即：乙車(chē)車(chē)長(zhǎng)就等于甲、乙兩車(chē)在14秒內(nèi)所走的路程之和。
解：（10+15）×14
＝350（米）
最后得，乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為350米。
例9 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車(chē)，乙步行，在行走過(guò)程中，甲的車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)用了1小時(shí)。在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車(chē)已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?
解析：設(shè)乙的速度為X，則甲的速度為2X，并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí)。
例10 某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，若該列車(chē)比另一列長(zhǎng)150米。時(shí)速為72千米的列車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)需要幾秒鐘?
解析：首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車(chē)通過(guò)隧道指的是從車(chē)頭進(jìn)入隧道算起到車(chē)尾離開(kāi)隧道為止。因此，這個(gè)過(guò)程中列車(chē)所走的路程等于車(chē)長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)指的是從兩個(gè)列車(chē)的車(chē)頭相遇算起到他們的車(chē)尾分開(kāi)為止，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)以車(chē)頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這兩個(gè)列車(chē)在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車(chē)長(zhǎng)之和。因此，錯(cuò)車(chē)時(shí)間就等于車(chē)長(zhǎng)之和除以速度之和。
設(shè)某列火車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為X，則根據(jù)速度相等可列如下方程：
（250+X）÷25=（210+X）÷23
解得X=250
火車(chē)的速度為20米/秒 72公里/時(shí)=20米/秒
錯(cuò)車(chē)時(shí)間為（250+150）÷（20+20）=10
所以，錯(cuò)車(chē)時(shí)間為10秒。
例1 商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級(jí)有：
A．80級(jí) B．100級(jí) C．120級(jí) D．140級(jí) （2005年中央真題）
解析；這是一個(gè)典型的行程問(wèn)題的變型，總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)”，速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為X，則可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得 X=0.5 也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)數(shù)=（2+0.5）×40=100
所以，答案為B。
例2 甲、乙、丙三人沿著400米環(huán)形跑道進(jìn)行800米跑比賽，當(dāng)甲跑1圈時(shí)，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他們各自跑步的速度始終不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲在丙前面：
A．85米 B．90米 C．100米 D．105米 （2005年中央真題）
解析：此題的解題關(guān)鍵是要跳出微觀，在宏觀上進(jìn)行解題。依據(jù)行程問(wèn)題的公式，在時(shí)間相同的情況下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比為8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以當(dāng)乙跑了2圈（800米）時(shí)，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正確答案為C。
例3 某船第一次順流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中順流航行12千米，逆流航行7千米，結(jié)果兩次所用的時(shí)間相等，假設(shè)船本身速度及水流速度保持不變，則順?biāo)倥c逆水船速之比是：
A．2.5：1 B．3：1 C．3.5：1 D．4：1 （2005年中央真題）
解析：典型流水問(wèn)題。如果設(shè)逆水速度為V，設(shè)順?biāo)俣仁悄嫠俣鹊腒倍，則可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
將V約掉，解得K=3
所以，正確答案為B。
例4 姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來(lái)跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來(lái)。問(wèn)小狗共跑了多少米?
A．600米 B．800米 C．1200米 D．1600米 （2003年中央A類(lèi)）
解析：此題將追及問(wèn)題和一般路程問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，是一道經(jīng)典習(xí)題。
首先求姐姐多少時(shí)間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗一直處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
所以，正確答案為A。
例5 某校下午2點(diǎn)整派車(chē)去某廠接勞模作報(bào)告，往返需1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整就離廠步行向?qū)W校走來(lái)，途中遇到接他的車(chē)，便坐上車(chē)去學(xué)校，于下午2點(diǎn)30分到達(dá)。問(wèn)汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的幾倍?
A．5倍 B．6倍 C．7倍 D．8倍 （2003年中央B類(lèi)）
解析， 如果接勞模往返需1小時(shí)，而實(shí)際上汽車(chē)2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來(lái)，這說(shuō)明遇到勞模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度（時(shí)間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分）走的距離和汽車(chē)所行的距離（2點(diǎn)到2點(diǎn)15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí)，汽車(chē)的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程
5/4A=1/4AX
解得 X=5
所以，正確答案為A。
例6 一輛汽車(chē)油箱中的汽油可供它在高速公路上行駛462公里或者在城市道路上行駛336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行駛6公里，問(wèn)每公升汽油可供該汽車(chē)在城市道路上行駛多少公里?
A．16 B．21 C．22 D．27 （2003年中央B類(lèi)）
解析：基本路程問(wèn)題，采用方程法，設(shè)每公升汽油可供該汽車(chē)在城市道路上行駛X公里，則可列如下方程
462÷X=336÷（X-6）
解得X=22
所以，正確答案為C。
注：此題亦可用速度差和路程差的關(guān)系來(lái)求解，速度將更快，詳解過(guò)程本書(shū)略。
例7 甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0．1米，那么，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 （2000年中央真題）
解析，此題為典型的速度和問(wèn)題，為方便理解可設(shè)甲的速度為X米/分，乙的速度為Y米/分，則依題意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分）
從而解得 X=78 Y=72
由Y=72，可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點(diǎn)的最短距離為176米。
例8 列火車(chē)相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行36千米，乙車(chē)每小時(shí)行54千米。兩車(chē)錯(cuò)車(chē)時(shí)，甲車(chē)上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗時(shí)開(kāi)始到乙車(chē)車(chē)尾經(jīng)過(guò)他的車(chē)窗共用了14秒，求乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)。
解析：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車(chē)的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車(chē)的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）。本題中，甲車(chē)的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車(chē)乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車(chē)的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車(chē)車(chē)頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可：從乙車(chē)車(chē)頭經(jīng)過(guò)甲車(chē)乘客的車(chē)窗這一時(shí)刻起，乙車(chē)車(chē)頭和甲車(chē)乘客開(kāi)始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客之間的距離都增大（10+15）米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車(chē)頭與乘客之間的距離為（10+15）×14＝350（米）。又因?yàn)榧总?chē)乘客最后看到的是乙車(chē)車(chē)尾，所以，乙車(chē)車(chē)頭與甲車(chē)乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車(chē)車(chē)身的長(zhǎng)度，即：乙車(chē)車(chē)長(zhǎng)就等于甲、乙兩車(chē)在14秒內(nèi)所走的路程之和。
解：（10+15）×14
＝350（米）
最后得，乙車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為350米。
例9 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車(chē)，乙步行，在行走過(guò)程中，甲的車(chē)發(fā)生故障，修車(chē)用了1小時(shí)。在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車(chē)已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?
解析：設(shè)乙的速度為X，則甲的速度為2X，并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí)。
例10 某列車(chē)通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，若該列車(chē)比另一列長(zhǎng)150米。時(shí)速為72千米的列車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)需要幾秒鐘?
解析：首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車(chē)通過(guò)隧道指的是從車(chē)頭進(jìn)入隧道算起到車(chē)尾離開(kāi)隧道為止。因此，這個(gè)過(guò)程中列車(chē)所走的路程等于車(chē)長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車(chē)相遇，錯(cuò)車(chē)而過(guò)指的是從兩個(gè)列車(chē)的車(chē)頭相遇算起到他們的車(chē)尾分開(kāi)為止，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)以車(chē)頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這兩個(gè)列車(chē)在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車(chē)長(zhǎng)之和。因此，錯(cuò)車(chē)時(shí)間就等于車(chē)長(zhǎng)之和除以速度之和。
設(shè)某列火車(chē)的車(chē)長(zhǎng)為X，則根據(jù)速度相等可列如下方程：
（250+X）÷25=（210+X）÷23
解得X=250
火車(chē)的速度為20米/秒 72公里/時(shí)=20米/秒
錯(cuò)車(chē)時(shí)間為（250+150）÷（20+20）=10
所以，錯(cuò)車(chē)時(shí)間為10秒。