4．行程問題的相關(guān)例題
例1 商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒向上走3個梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯級有：
A．80級 B．100級 C．120級 D．140級 （2005年中央真題）
解析；這是一個典型的行程問題的變型，總路程為“扶梯靜止時可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個單位向上運動的級數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時的速度為X，則可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得 X=0.5 也即扶梯靜止時可看到的扶梯級數(shù)=（2+0.5）×40=100
所以，答案為B。
例2 甲、乙、丙三人沿著400米環(huán)形跑道進行800米跑比賽，當(dāng)甲跑1圈時，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他們各自跑步的速度始終不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點時，甲在丙前面：
A．85米 B．90米 C．100米 D．105米 （2005年中央真題）
解析：此題的解題關(guān)鍵是要跳出微觀，在宏觀上進行解題。依據(jù)行程問題的公式，在時間相同的情況下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比為8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以當(dāng)乙跑了2圈（800米）時，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正確答案為C。
例3 某船第一次順流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中順流航行12千米，逆流航行7千米，結(jié)果兩次所用的時間相等，假設(shè)船本身速度及水流速度保持不變，則順?biāo)倥c逆水船速之比是：
A．2.5：1 B．3：1 C．3.5：1 D．4：1 （2005年中央真題）
解析：典型流水問題。如果設(shè)逆水速度為V，設(shè)順?biāo)俣仁悄嫠俣鹊腒倍，則可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
將V約掉，解得K=3
所以，正確答案為B。
例4 姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米?
A．600米 B．800米 C．1200米 D．1600米 （2003年中央A類）
解析：此題將追及問題和一般路程問題結(jié)合起來，是一道經(jīng)典習(xí)題。
首先求姐姐多少時間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗一直處于運動狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
所以，正確答案為A。
例5 某校下午2點整派車去某廠接勞模作報告，往返需1小時。該勞模在下午1點整就離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午2點30分到達(dá)。問汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍?
A．5倍 B．6倍 C．7倍 D．8倍 （2003年中央B類）
解析， 如果接勞模往返需1小時，而實際上汽車2點出發(fā)，30分鐘便回來，這說明遇到勞模的地點在中點，也即勞模以步行速度（時間從1點到2點15分）走的距離和汽車所行的距離（2點到2點15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程
5/4A=1/4AX
解得 X=5
所以，正確答案為A。
例6 一輛汽車油箱中的汽油可供它在高速公路上行駛462公里或者在城市道路上行駛336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行駛6公里，問每公升汽油可供該汽車在城市道路上行駛多少公里?
A．16 B．21 C．22 D．27 （2003年中央B類）
解析：基本路程問題，采用方程法，設(shè)每公升汽油可供該汽車在城市道路上行駛X公里，則可列如下方程
462÷X=336÷（X-6）
解得X=22
所以，正確答案為C。
注：此題亦可用速度差和路程差的關(guān)系來求解，速度將更快，詳解過程本書略。
例7 甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0．1米，那么，兩人第三次相遇的地點與A點沿跑道上的最短距離是
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 （2000年中央真題）
解析，此題為典型的速度和問題，為方便理解可設(shè)甲的速度為X米/分，乙的速度為Y米/分，則依題意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分）
從而解得 X=78 Y=72
由Y=72，可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點的最短距離為176米。
例8 列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米。兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長。
解析：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）。本題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動則可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10+15）米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為（10+15）×14＝350（米）。又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和。
解：（10+15）×14
＝350（米）
最后得，乙車的車長為350米。
例9 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時。在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?
解析：設(shè)乙的速度為X，則甲的速度為2X，并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時。
例10 某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車比另一列長150米。時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘?
解析：首先應(yīng)明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離開隧道為止。因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和。因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和。
設(shè)某列火車的車長為X，則根據(jù)速度相等可列如下方程：
（250+X）÷25=（210+X）÷23
解得X=250
火車的速度為20米/秒 72公里/時=20米/秒
錯車時間為（250+150）÷（20+20）=10
所以，錯車時間為10秒。
例1 商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒向上走3個梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯級有：
A．80級 B．100級 C．120級 D．140級 （2005年中央真題）
解析；這是一個典型的行程問題的變型，總路程為“扶梯靜止時可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個單位向上運動的級數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時的速度為X，則可列方程如下，
（X+2）×40=（X+3/2）×50
解得 X=0.5 也即扶梯靜止時可看到的扶梯級數(shù)=（2+0.5）×40=100
所以，答案為B。
例2 甲、乙、丙三人沿著400米環(huán)形跑道進行800米跑比賽，當(dāng)甲跑1圈時，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。如果他們各自跑步的速度始終不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點時，甲在丙前面：
A．85米 B．90米 C．100米 D．105米 （2005年中央真題）
解析：此題的解題關(guān)鍵是要跳出微觀，在宏觀上進行解題。依據(jù)行程問題的公式，在時間相同的情況下，路程比等速度比，所以可知乙、甲、丙的速度比為8/7圈：1圈：6/7圈=8：7：6，所以當(dāng)乙跑了2圈（800米）時，甲跑了700米，丙跑了600米。
所以，正確答案為C。
例3 某船第一次順流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中順流航行12千米，逆流航行7千米，結(jié)果兩次所用的時間相等，假設(shè)船本身速度及水流速度保持不變，則順?biāo)倥c逆水船速之比是：
A．2.5：1 B．3：1 C．3.5：1 D．4：1 （2005年中央真題）
解析：典型流水問題。如果設(shè)逆水速度為V，設(shè)順?biāo)俣仁悄嫠俣鹊腒倍，則可列如下方程：
21/KV+4/V=12/KV+7/V
將V約掉，解得K=3
所以，正確答案為B。
例4 姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米?
A．600米 B．800米 C．1200米 D．1600米 （2003年中央A類）
解析：此題將追及問題和一般路程問題結(jié)合起來，是一道經(jīng)典習(xí)題。
首先求姐姐多少時間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要80米÷20米/分=4分種即可追上弟弟，在這4種內(nèi)，小狗一直處于運動狀態(tài)，所以小狗跑的路程=150米/分×4分=600米。
所以，正確答案為A。
例5 某校下午2點整派車去某廠接勞模作報告，往返需1小時。該勞模在下午1點整就離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午2點30分到達(dá)。問汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍?
A．5倍 B．6倍 C．7倍 D．8倍 （2003年中央B類）
解析， 如果接勞模往返需1小時，而實際上汽車2點出發(fā)，30分鐘便回來，這說明遇到勞模的地點在中點，也即勞模以步行速度（時間從1點到2點15分）走的距離和汽車所行的距離（2點到2點15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程
5/4A=1/4AX
解得 X=5
所以，正確答案為A。
例6 一輛汽車油箱中的汽油可供它在高速公路上行駛462公里或者在城市道路上行駛336公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行駛6公里，問每公升汽油可供該汽車在城市道路上行駛多少公里?
A．16 B．21 C．22 D．27 （2003年中央B類）
解析：基本路程問題，采用方程法，設(shè)每公升汽油可供該汽車在城市道路上行駛X公里，則可列如下方程
462÷X=336÷（X-6）
解得X=22
所以，正確答案為C。
注：此題亦可用速度差和路程差的關(guān)系來求解，速度將更快，詳解過程本書略。
例7 甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道的一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0．1米，那么，兩人第三次相遇的地點與A點沿跑道上的最短距離是
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 （2000年中央真題）
解析，此題為典型的速度和問題，為方便理解可設(shè)甲的速度為X米/分，乙的速度為Y米/分，則依題意可列方程
8X+8Y=400×3
X-Y=6 （速度差0.1米/秒=6米/分）
從而解得 X=78 Y=72
由Y=72，可知，8分鐘乙跑了576米，顯然此題距起點的最短距離為176米。
例8 列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米。兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長。
解析：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10（米），乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15（米）。本題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動則可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（10+15）米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為（10+15）×14＝350（米）。又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和。
解：（10+15）×14
＝350（米）
最后得，乙車的車長為350米。
例9 甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時。在出發(fā)4小時后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度為乙的2倍，且相遇時甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少?
解析：設(shè)乙的速度為X，則甲的速度為2X，并可列如下方程
3×2X+4X=100
解得X=10
所以，甲的速度為20千米/小時，乙的速度為10千米/小時。
例10 某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒，若該列車比另一列長150米。時速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘?
解析：首先應(yīng)明確幾個概念：列車通過隧道指的是從車頭進入隧道算起到車尾離開隧道為止。因此，這個過程中列車所走的路程等于車長加隧道長；兩車相遇，錯車而過指的是從兩個列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個過程實際上是一個以車頭的相遇點為起點的相背運動問題，這兩個列車在這段時間里所走的路程之和就等于他們的車長之和。因此，錯車時間就等于車長之和除以速度之和。
設(shè)某列火車的車長為X，則根據(jù)速度相等可列如下方程：
（250+X）÷25=（210+X）÷23
解得X=250
火車的速度為20米/秒 72公里/時=20米/秒
錯車時間為（250+150）÷（20+20）=10
所以，錯車時間為10秒。