第一章 行列式
一、重點(diǎn)
1、理解：行列式的定義，余子式，代數(shù)余子式。
2、掌握：行列式的基本性質(zhì)及推論。
3、運(yùn)用：運(yùn)用行列式的性質(zhì)及計(jì)算方法計(jì)算行列式，用克萊姆法則求解方程組。
二、難點(diǎn)
行列式在解線(xiàn)性方程組、矩陣求逆、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、求矩陣的特征值等方面的應(yīng)用。
三、重要公式
1、若A為n階方陣，則│kA│= kn│A│
2、若A、B均為n階方陣，則│AB│=│A│。│B│
3、若A為n階方陣，則│A*│=│A│n-1
若A為n階可逆陣，則│A-1│=│A│-1
4、若A為n階方陣，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、題型及解題思路
1、有關(guān)行列式概念與性質(zhì)的命題
2、行列式的計(jì)算（方法）
1）利用定義
2）按某行（列）展開(kāi)使行列式降階
3）利用行列式的性質(zhì)
①各行（列）加到同一行（列）上去，適用于各列（行）諸元素之和相等的情況。
②各行（列）加或減同一行（列）的倍數(shù)，化簡(jiǎn)行列式或化為上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加減，化簡(jiǎn)行列式。
④把行列式拆成幾個(gè)行列式的和差。
4）遞推法，適用于規(guī)律性強(qiáng)且零元素較多的行列式
5）數(shù)學(xué)歸納法，多用于證明
3、運(yùn)用克萊姆法則求解線(xiàn)性方程組
若D =│A│≠0，則Ax=b有解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系數(shù)換成常數(shù)項(xiàng)。
注意：克萊姆法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組。
4、運(yùn)用系數(shù)行列式│A│判別方程組解的問(wèn)題
1）當(dāng)│A│＝0時(shí)，齊次方程組Ax＝0有非零解；非齊次方程組Ax＝b不是解（可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解）
2）當(dāng)│A│≠0時(shí)，齊次方程組Ax＝0僅有零解；非齊次方程組Ax＝b有解，此解可由克萊姆法則求出。
一、重點(diǎn)
1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角矩陣，對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣）
2、掌握：
1）矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律
2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法
3）矩陣的初等變換方法
二、難點(diǎn)
1、矩陣的求逆矩陣的初等變換
2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系
三、重要公式及難點(diǎn)解析
1、線(xiàn)性運(yùn)算
1）交換律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別
2、逆矩陣
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩陣轉(zhuǎn)置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k為任意實(shí)數(shù)）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴隨矩陣
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，則r （A*）=n
若r（A）=n-1，則r （A*）=1
若r（A） 5）若A可逆，則（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等變換（三種）
1）對(duì)調(diào)二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素
注意：用初等變換①求秩，行、列變換可混用
②求逆陣，只能用行或列變換
③求線(xiàn)性方程組的解，只能用行變換
6、初等矩陣
1）由單位陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得的矩陣
2）初等陣P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次與P同樣的行（列）變換
3）初等陣均可逆，且其逆為同類(lèi)型的初等陣
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩陣方程
1）含有未知矩陣的等式
2）矩陣方程有解的充要條件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量線(xiàn)性表示
<==>r（A）=r（A┆B）
四、題型及解題思路
1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題
2、矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）
3、矩陣可逆的判定
n階方陣A可逆<==>存在n階方陣B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（行）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b總有解
<==>A的特征值全不為零
4、矩陣求逆
1）定義法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴隨陣法：A-1=（1/│A│）A*
注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫(xiě)在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏（-1）i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。
3）初等變換法：對(duì)（A┆I）只用行變換化為（I┆A-1）
4）分塊矩陣法
5、解矩陣方程AX=B
1）若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等變換法直接求出X
（A┆B）初等行變換（I┆X）
3）若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對(duì)每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。
一、重點(diǎn)
1、理解：向量、向量運(yùn)算以及向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出，極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的概念，線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質(zhì)，基礎(chǔ)解系的概念。
2、掌握：向量的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，矩陣秩的計(jì)算，齊次、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)。
3、運(yùn)用：線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定，線(xiàn)性方程組解的判斷，齊次、非齊次線(xiàn)性方程組的解法。
二、難點(diǎn)
線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。方程組與向量組線(xiàn)性表示及秩之間的聯(lián)系。
三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析
1、 n維向量的概念與運(yùn)算
1） 概念
2） 運(yùn)算
若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T
①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T
②數(shù)乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T
③內(nèi)積：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα
2、線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出
3、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)
1）概念
2）線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件
①線(xiàn)性相關(guān)
α1，α2，…，αs線(xiàn)性相關(guān)
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的個(gè)數(shù)）
<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1個(gè)向量線(xiàn)性表出
特別的：n個(gè)n維向量線(xiàn)性相關(guān)<==>│α1α2…αn│＝0
n+1個(gè)n維向量一定線(xiàn)性相關(guān)
②線(xiàn)性無(wú)關(guān)
α1，α2，…，αs線(xiàn)性無(wú)關(guān)
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的個(gè)數(shù)）
<==>每一個(gè)向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1個(gè)向量線(xiàn)性表出
③重要結(jié)論
A、階梯形向量組一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)
B、若α1，α2，…，αs線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則它的任一個(gè)部分組αi1，αi2，…，αi t必線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它的任一延伸組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
C、兩兩正交，非零的向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
4、向量組的秩與矩陣的秩
1）極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的概念
2）向量組的秩
3）矩陣的秩
①r（A）＝r（AT）
②r（A+B）≤r（A）＋r（B）
③r（kA）＝r（A），k≠0
④r（AB）≤min（r（A），r（B））
⑤如A可逆，則r（AB）＝r（B）；如B可逆，則r（AB）＝r（A）
⑥A是m×n陣，B是n×p陣，如AB＝0，則r（A）＋r（B）≤n
4）向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系
①r（A）＝A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）＝A的列秩（矩陣A的列向量組的秩）
②經(jīng)初等變換矩陣、向量組的秩均不變
③若向量組（Ⅰ）可由（Ⅱ）線(xiàn)性表出，則r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特別的，等價(jià)的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價(jià)。
5、基礎(chǔ)解系的概念及求法
1）概念
2）求法
對(duì)A作初等行變換化為階梯形矩陣，稱(chēng)每個(gè)非零行中第一個(gè)非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r（A）個(gè)主元），那么剩于的其他未知數(shù)就是自由變量（共有n- r（A）個(gè)），對(duì)自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎(chǔ)解系。
6、齊次方程組有非零解的判定
1）設(shè)A是m×n矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是r（A）＜n，亦即A的列向量線(xiàn)性相關(guān)。
2）若A為n階矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是│A│＝0
3）Ax＝0有非零解的充分條件是m＜n，即方程個(gè)數(shù)＜未知數(shù)個(gè)數(shù)
7、非齊次線(xiàn)性方程組有解的判定
1）設(shè)A是m×n矩陣，Ax＝b有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）
2）設(shè)A是m×n矩陣，方程組Ax＝b
①有解<==> r（A）＝r（A增）＝n
②有無(wú)窮多解<==> r（A）＝r（A增） ③無(wú)解<==> r（A）+1=r（A增）
8、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)
如n元線(xiàn)性方程組Ax＝b有解，設(shè)，η2，…，ηt是相應(yīng)齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系，ξ是Ax＝b的一個(gè)解，則k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，則ξ1-ξ2是Ax＝0的解
2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，則ξ+kη仍是Ax＝b的解
3）若Ax＝b有解，則Ax＝0只有零解；反之，當(dāng)Ax＝0只有零解時(shí)，Ax＝b沒(méi)有無(wú)窮多解（可能無(wú)解，也可能只有解）
四、題型及解題思路
1、有關(guān)n維向量概念與性質(zhì)的命題
2、向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算
3、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的證明
1）定義法
設(shè)k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后對(duì)上式做恒等變形（要向已知條件靠攏！）
①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知條件的信息對(duì)上式乘上某個(gè)A
②展開(kāi)整理上式，直接用已知條件轉(zhuǎn)化為齊次線(xiàn)性方程組，最后通過(guò)分析論證k1，k2，…，ks的取值，得出所需結(jié)論。
2）用秩（等于向量個(gè)數(shù)）
3）齊次方程組只有零解
4）反證法
4、求給定向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組
多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過(guò)初等變換來(lái)求解。
5、求矩陣的秩
常用初等變換法。
6、求解齊次線(xiàn)性方程組與非齊次線(xiàn)性方程組
一、重點(diǎn)
1、理解：行列式的定義，余子式，代數(shù)余子式。
2、掌握：行列式的基本性質(zhì)及推論。
3、運(yùn)用：運(yùn)用行列式的性質(zhì)及計(jì)算方法計(jì)算行列式，用克萊姆法則求解方程組。
二、難點(diǎn)
行列式在解線(xiàn)性方程組、矩陣求逆、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、求矩陣的特征值等方面的應(yīng)用。
三、重要公式
1、若A為n階方陣，則│kA│= kn│A│
2、若A、B均為n階方陣，則│AB│=│A│。│B│
3、若A為n階方陣，則│A*│=│A│n-1
若A為n階可逆陣，則│A-1│=│A│-1
4、若A為n階方陣，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、題型及解題思路
1、有關(guān)行列式概念與性質(zhì)的命題
2、行列式的計(jì)算（方法）
1）利用定義
2）按某行（列）展開(kāi)使行列式降階
3）利用行列式的性質(zhì)
①各行（列）加到同一行（列）上去，適用于各列（行）諸元素之和相等的情況。
②各行（列）加或減同一行（列）的倍數(shù)，化簡(jiǎn)行列式或化為上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加減，化簡(jiǎn)行列式。
④把行列式拆成幾個(gè)行列式的和差。
4）遞推法，適用于規(guī)律性強(qiáng)且零元素較多的行列式
5）數(shù)學(xué)歸納法，多用于證明
3、運(yùn)用克萊姆法則求解線(xiàn)性方程組
若D =│A│≠0，則Ax=b有解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系數(shù)換成常數(shù)項(xiàng)。
注意：克萊姆法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組。
4、運(yùn)用系數(shù)行列式│A│判別方程組解的問(wèn)題
1）當(dāng)│A│＝0時(shí)，齊次方程組Ax＝0有非零解；非齊次方程組Ax＝b不是解（可能無(wú)解，也可能有無(wú)窮多解）
2）當(dāng)│A│≠0時(shí)，齊次方程組Ax＝0僅有零解；非齊次方程組Ax＝b有解，此解可由克萊姆法則求出。
一、重點(diǎn)
1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角矩陣，對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣）
2、掌握：
1）矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律
2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法
3）矩陣的初等變換方法
二、難點(diǎn)
1、矩陣的求逆矩陣的初等變換
2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系
三、重要公式及難點(diǎn)解析
1、線(xiàn)性運(yùn)算
1）交換律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別
2、逆矩陣
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩陣轉(zhuǎn)置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k為任意實(shí)數(shù)）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴隨矩陣
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，則r （A*）=n
若r（A）=n-1，則r （A*）=1
若r（A）
5、初等變換（三種）
1）對(duì)調(diào)二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素
注意：用初等變換①求秩，行、列變換可混用
②求逆陣，只能用行或列變換
③求線(xiàn)性方程組的解，只能用行變換
6、初等矩陣
1）由單位陣經(jīng)過(guò)一次初等變換所得的矩陣
2）初等陣P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次與P同樣的行（列）變換
3）初等陣均可逆，且其逆為同類(lèi)型的初等陣
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩陣方程
1）含有未知矩陣的等式
2）矩陣方程有解的充要條件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量線(xiàn)性表示
<==>r（A）=r（A┆B）
四、題型及解題思路
1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題
2、矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）
3、矩陣可逆的判定
n階方陣A可逆<==>存在n階方陣B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（行）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b總有解
<==>A的特征值全不為零
4、矩陣求逆
1）定義法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴隨陣法：A-1=（1/│A│）A*
注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫(xiě)在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏（-1）i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。
3）初等變換法：對(duì)（A┆I）只用行變換化為（I┆A-1）
4）分塊矩陣法
5、解矩陣方程AX=B
1）若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等變換法直接求出X
（A┆B）初等行變換（I┆X）
3）若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對(duì)每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。
一、重點(diǎn)
1、理解：向量、向量運(yùn)算以及向量的線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出，極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的概念，線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質(zhì)，基礎(chǔ)解系的概念。
2、掌握：向量的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，矩陣秩的計(jì)算，齊次、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)。
3、運(yùn)用：線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定，線(xiàn)性方程組解的判斷，齊次、非齊次線(xiàn)性方程組的解法。
二、難點(diǎn)
線(xiàn)性相關(guān)、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。方程組與向量組線(xiàn)性表示及秩之間的聯(lián)系。
三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析
1、 n維向量的概念與運(yùn)算
1） 概念
2） 運(yùn)算
若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T
①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T
②數(shù)乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T
③內(nèi)積：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα
2、線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表出
3、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)
1）概念
2）線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件
①線(xiàn)性相關(guān)
α1，α2，…，αs線(xiàn)性相關(guān)
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的個(gè)數(shù)）
<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1個(gè)向量線(xiàn)性表出
特別的：n個(gè)n維向量線(xiàn)性相關(guān)<==>│α1α2…αn│＝0
n+1個(gè)n維向量一定線(xiàn)性相關(guān)
②線(xiàn)性無(wú)關(guān)
α1，α2，…，αs線(xiàn)性無(wú)關(guān)
<==>齊次方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解
<==>向量組的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的個(gè)數(shù)）
<==>每一個(gè)向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1個(gè)向量線(xiàn)性表出
③重要結(jié)論
A、階梯形向量組一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)
B、若α1，α2，…，αs線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則它的任一個(gè)部分組αi1，αi2，…，αi t必線(xiàn)性無(wú)關(guān)，它的任一延伸組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
C、兩兩正交，非零的向量組必線(xiàn)性無(wú)關(guān)。
4、向量組的秩與矩陣的秩
1）極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的概念
2）向量組的秩
3）矩陣的秩
①r（A）＝r（AT）
②r（A+B）≤r（A）＋r（B）
③r（kA）＝r（A），k≠0
④r（AB）≤min（r（A），r（B））
⑤如A可逆，則r（AB）＝r（B）；如B可逆，則r（AB）＝r（A）
⑥A是m×n陣，B是n×p陣，如AB＝0，則r（A）＋r（B）≤n
4）向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系
①r（A）＝A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）＝A的列秩（矩陣A的列向量組的秩）
②經(jīng)初等變換矩陣、向量組的秩均不變
③若向量組（Ⅰ）可由（Ⅱ）線(xiàn)性表出，則r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特別的，等價(jià)的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價(jià)。
5、基礎(chǔ)解系的概念及求法
1）概念
2）求法
對(duì)A作初等行變換化為階梯形矩陣，稱(chēng)每個(gè)非零行中第一個(gè)非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r（A）個(gè)主元），那么剩于的其他未知數(shù)就是自由變量（共有n- r（A）個(gè)），對(duì)自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎(chǔ)解系。
6、齊次方程組有非零解的判定
1）設(shè)A是m×n矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是r（A）＜n，亦即A的列向量線(xiàn)性相關(guān)。
2）若A為n階矩陣，Ax＝0有非零解的充要條件是│A│＝0
3）Ax＝0有非零解的充分條件是m＜n，即方程個(gè)數(shù)＜未知數(shù)個(gè)數(shù)
7、非齊次線(xiàn)性方程組有解的判定
1）設(shè)A是m×n矩陣，Ax＝b有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）
2）設(shè)A是m×n矩陣，方程組Ax＝b
①有解<==> r（A）＝r（A增）＝n
②有無(wú)窮多解<==> r（A）＝r（A增）
8、非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)
如n元線(xiàn)性方程組Ax＝b有解，設(shè)，η2，…，ηt是相應(yīng)齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系，ξ是Ax＝b的一個(gè)解，則k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，則ξ1-ξ2是Ax＝0的解
2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，則ξ+kη仍是Ax＝b的解
3）若Ax＝b有解，則Ax＝0只有零解；反之，當(dāng)Ax＝0只有零解時(shí)，Ax＝b沒(méi)有無(wú)窮多解（可能無(wú)解，也可能只有解）
四、題型及解題思路
1、有關(guān)n維向量概念與性質(zhì)的命題
2、向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算
3、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的證明
1）定義法
設(shè)k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后對(duì)上式做恒等變形（要向已知條件靠攏！）
①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知條件的信息對(duì)上式乘上某個(gè)A
②展開(kāi)整理上式，直接用已知條件轉(zhuǎn)化為齊次線(xiàn)性方程組，最后通過(guò)分析論證k1，k2，…，ks的取值，得出所需結(jié)論。
2）用秩（等于向量個(gè)數(shù)）
3）齊次方程組只有零解
4）反證法
4、求給定向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組
多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過(guò)初等變換來(lái)求解。
5、求矩陣的秩
常用初等變換法。
6、求解齊次線(xiàn)性方程組與非齊次線(xiàn)性方程組