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上海高二下數(shù)學(xué)課本篇一
(1)使學(xué)生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
(2)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及解等基本概念;
(3)了解線性規(guī)化問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題;
(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(5)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識，激勵學(xué)生勇于創(chuàng)新.
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
教科書首先通過一個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域.再通過一個具體實(shí)例，介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個基本概念及一種基本解法-圖解法，并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域.
對學(xué)生來說，二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個比較陌生、抽象的概念，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識和認(rèn)知水平難以透徹理解，因此學(xué)習(xí)二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域分為兩個大的層次：
(1)二元一次不等式表示平面區(qū)域.首先通過建立新舊知識的聯(lián)系，自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)二元一次不等式組表示平面區(qū)域.在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上，畫不等式組所表示的平面區(qū)域，找出各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.這是學(xué)生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).
難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答.
對許多學(xué)生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，即不會建模.所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn)，并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用圖解法求出解作為突破這個難點(diǎn)的關(guān)鍵.
對學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系;②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯(lián)想，形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設(shè)計為計算機(jī)輔助教學(xué)，從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解;分析完題后，能夠抓住問題的本質(zhì)特征，從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.另外，利用計算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點(diǎn)解的方法.
三、教法建議
(1)對學(xué)生來說，二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學(xué)生對這一概念的引進(jìn)不感到突然，應(yīng)建立新舊知識的聯(lián)系，以便自然地給出概念
(2)建議將本節(jié)新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證明、歸納)來進(jìn)行，目的是為了分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對舊知識掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動去探求新知，得出結(jié)論.
(3)要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)”，這對培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的.
(5)對作業(yè)、思考題、研究性題的建議：①作業(yè)主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成;③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學(xué)生的思維.
(6)若實(shí)際問題要求的解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解)，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個試驗(yàn)法也可.
(7)在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量，收到的效益;二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇二
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、了解本章的學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及學(xué)習(xí)思想方法2、能敘述隨機(jī)變量的定義
3、能說出隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，4、能夠把一個隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用隨機(jī)變量表示
重點(diǎn)：能夠把一個隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用隨機(jī)變量表示
難點(diǎn)：隨機(jī)事件概念的透徹理解及對隨機(jī)變量引入目的的認(rèn)識：
環(huán)節(jié)一：隨機(jī)變量的定義
1.通過生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象，能夠概括出隨機(jī)變量的定義
2能敘述隨機(jī)變量的定義
3能說出隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
一、閱讀課本33頁問題提出和分析理解，回答下列問題?
1、了解一個隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律具體指的是什么?
2、分析理解中的兩個隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果有什么不同?建立了什么樣的對應(yīng)關(guān)系?
總結(jié)：
3、隨機(jī)變量
(1)定義：
這種對應(yīng)稱為一個隨機(jī)變量。即隨機(jī)變量是從隨機(jī)試驗(yàn)每一個可能的結(jié)果所組成的
到的映射。
(2)表示：隨機(jī)變量常用大寫字母.等表示.
(3)隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
函數(shù)隨機(jī)變量
自變量
因變量
因變量的范圍
相同點(diǎn)都是映射都是映射
環(huán)節(jié)二隨機(jī)變量的應(yīng)用
1、能正確寫出隨機(jī)現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果2、能用隨機(jī)變量的描述隨機(jī)事件
例1：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品?，F(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，其中含有的次品數(shù)為隨機(jī)變量的學(xué)案.這是一個隨機(jī)現(xiàn)象。(1)寫成該隨機(jī)現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;(2)試用隨機(jī)變量來描述上述結(jié)果。
變式：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，這是一個隨機(jī)現(xiàn)象。若y表示取出的3件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，試用隨機(jī)變量描述上述結(jié)果
例2連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣兩次，用x表示這兩次正面朝上的次數(shù)，則x是一個隨機(jī)變
量，分別說明下列集合所代表的隨機(jī)事件：
(1){x=0}(2){x=1}
(3){x<2}(4){x>0}
變式：連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣三次，用x表示這三次正面朝上的次數(shù)，則x是一個隨機(jī)變量，x的可能取值是?并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.
練習(xí)：寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)變量的結(jié)果。
(1)從學(xué)?；丶乙?jīng)過5個紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù);
(2)一個袋中裝有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3只球，被取出的球的號碼數(shù);
小結(jié)(對標(biāo))
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇三
預(yù)習(xí)課本p103～105，思考并完成以下問題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積?向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎?
(2)向量b在a方向上的投影怎么計算?數(shù)量積的幾何意義是什么?
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些?
(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些?
[新知初探]
1.向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b=|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點(diǎn)睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定.
(2)兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式.
2.向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.
[點(diǎn)睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零.
3.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角.
(1)a⊥b?a·b=0.
(2)當(dāng)a與b同向時，a·b=|a||b|，
當(dāng)a與b反向時，a·b=-|a||b|.
(3)a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.
(4)cosθ=a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點(diǎn)睛]對于性質(zhì)(1)，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0;若兩個非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直.
4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b=b·a(交換律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
[點(diǎn)睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情況下不成立.
[小試身手]
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的數(shù)量積仍然是向量.()
(2)若a·b=b·c，則一定有a=c.()
(3)若a，b反向，則a·b=-|a||b|.()
(4)若a·b=0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2.若|a|=2，|b|=12，a與b的夾角為60°，則a·b=()
a.2b.12
c.1d.14
答案：b
3.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·15b=-36，則a與b的夾角為()
a.60°b.120°
c.135°d.150°
答案：b
4.已知a，b的夾角為θ，|a|=2，|b|=3.
(1)若θ=135°，則a·b=________;
(2)若a∥b，則a·b=________;
(3)若a⊥b，則a·b=________.
答案：(1)-32(2)6或-6(3)0
向量數(shù)量積的運(yùn)算
[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b;②(a+b)·
(a-2b).
(2)如圖，正三角形abc的邊長為2，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.
[解](1)①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
(2)∵|a|=|b|=|c|=2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法
運(yùn)算.
[活學(xué)活用]
已知|a|=3，|b|=4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b;(2)a2-b2;
(3)(2a-b)·(a+3b).
解：(1)a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2
=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.
與向量的模有關(guān)的問題
[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2=12.若平面向量b滿足b·e1=b·e2=1，則|b|=________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|=1，|2a-b|=10，則|b|=________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.
又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
∵b·(e1-e2)=0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1=|b||e1|cos30°=1，
從而|b|=1cos30°=233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|=1，
∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|，
|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10，∴|b|=32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2=|a|2，勿忘記開方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.
[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|=|b|=5，且a與b的夾角為60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.
解：∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)
=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°
=50+2×5×5×12=75，
∴|a+b|=53.
∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)
=|a|2+|b|2-2a·b
=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，
∴|a-b|=5.
∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)
=4|a|2+|b|2+4a·b
=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175，
∴|2a+b|=57.
兩個向量的夾角和垂直
題點(diǎn)一：求兩向量的夾角
1.(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，則a與b的夾角為()
a.π3b.π2
c.2π3d.5π6
解析：選c∵a⊥(2a+b)，∴a·(2a+b)=0，
∴2|a|2+a·b=0，
即2|a|2+|a||b|cos〈a，b〉=0.
∵|b|=4|a|，∴2|a|2+4|a|2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12，∴〈a，b〉=2π3.
題點(diǎn)二：證明兩向量垂直
2.已知向量a，b不共線，且|2a+b|=|a+2b|，求證：(a+b)⊥(a-b).
證明：∵|2a+b|=|a+2b|，
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2，
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a與b不共線，a+b≠0，a-b≠0，
∴(a+b)⊥(a-b).
題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b與ka-b互相垂直，則k的值為()
a.-32b.32
c.±32d.1
解析：選b∵3a+2b與ka-b互相垂直，
∴(3a+2b)·(ka-b)=0，
∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.
∵a⊥b，∴a·b=0，
又|a|=2，|b|=3，
∴12k-18=0，k=32.
求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cosθ=a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.
(2)在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cosθ的值.
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，則a與b的夾角θ為()
a.π6b.π4
c.π3d.π2
解析：選c由題意，知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2，又0≤θ≤π，所以θ=π3.
2.已知|b|=3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
a.3b.92
c.2d.12
解析：選b設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ=32，
∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.
3.已知|a|=|b|=1，a與b的夾角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c與d垂直，則k的值為()
a.-6b.6
c.3d.-3
解析：選b∵c·d=0，
∴(2a+3b)·(ka-4b)=0，
∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，
∴2k=12，∴k=6.
4.已知a，b滿足|a|=4，|b|=3，夾角為60°，則|a+b|=()
a.37b.13
c.37d.13
解析：選c|a+b|=?a+b?2=a2+2a·b+b2
=42+2×4×3cos60°+32=37.
5.在四邊形abcd中，=，且·=0，則四邊形abcd是()
a.矩形b.菱形
c.直角梯形d.等腰梯形
解析：選b∵=，即一組對邊平行且相等，·=0，即對角線互相垂直，∴四邊形abcd為菱形.
6.給出以下命題：
①若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0，則a與b中至少有一個為0;
③a與b是兩個單位向量，則a2=b2.
其中，正確命題的序號是________.
解析：上述三個命題中只有③正確，因?yàn)閨a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時，有a·b=0，顯然①②錯誤.
答案：③
7.設(shè)e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.
解析：(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.
答案：-92
8.若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________.
解析：∵c⊥a，∴c·a=0，
∴(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.
∵|a|=1，|b|=2，∴1+2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.
答案：120°
9.已知e1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，a=2e1+e2，b=2e2-3e1，求a與b的
夾角.
解：因?yàn)閨e1|=|e2|=1，
所以e1·e2=1×1×cos60°=12，
|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7，故|a|=7，
|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7，故|b|=7，
且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72，
所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12，
所以a與b的夾角為120°.
10.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影為-1.
(1)求a與b的夾角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)當(dāng)λ為何值時，向量λa+b與向量a-3b互相垂直?
解：(1)∵|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ=-1，
∴a·b=|a||b|cosθ=-1.
∴cosθ=-12，∴θ=2π3.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)∵λa+b與a-3b互相垂直，
∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，∴λ=47.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.已知|a|=2，|b|=1，且a與b的夾角為π3，則向量m=a-4b的模為()
a.2b.23
c.6d.12
解析：選b|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12，所以|m|=23.
2.在rt△abc中，c=90°，ac=4，則·等于()
a.-16b.-8
c.8d.16
解析：選d法一：因?yàn)閏osa=acab，故·=||·||cosa=||2=16，故選d.
法二：在上的投影為||cosa=||，故·=|cosa=||2=16，故選d.
3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a-b|=()
a.1b.3
c.5d.3
解析：選c由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉=|b|cos〈a，b〉，因?yàn)閨a|=1，|b|
=2，所以cos〈a，b〉=0，即a⊥b，則|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.
4.如圖，在邊長為2的菱形abcd中，∠bad=60°，e為bc的中點(diǎn)，則·=()
a.-3b.0
c.-1d.1
解析：選c·=ab―→+12ad―→·(-)
=12·-||2+12||2
=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.
5.設(shè)向量a，b，c滿足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是________.
解析：法一：由a+b+c=0得c=-a-b.
又(a-b)·c=0，∴(a-b)·(-a-b)=0，即a2=b2.
則c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
法二：如圖，作==a，
=b，則=c.
∵a⊥b，∴ab⊥bc，
又∵a-b=-=，
(a-b)⊥c，∴cd⊥ca，
所以△abc是等腰直角三角形，
∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
答案：4
6.已知向量a，b的夾角為45°，且|a|=4，12a+b·(2a-3b)=12，則|b|=________;b在a方向上的投影等于________.
解析：12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=12，即3|b|2-2|b|-4=0，解得|b|=2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.
答案：21
7.已知非零向量a，b，滿足|a|=1，(a-b)·(a+b)=12，且a·b=12.
(1)求向量a，b的夾角;(2)求|a-b|.
解：(1)∵(a-b)·(a+b)=12，
∴a2-b2=12，
即|a|2-|b|2=12.
又|a|=1，
∴|b|=22.
∵a·b=12，
∴|a|·|b|cosθ=12，
∴cosθ=22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a-b|2=(a-b)2
=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12，
∴|a-b|=22.
8.設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|=2，|e2|=1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解：由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，
得?2te1+7e2?·?e1+te2?|2te1+7e2|·|e1+te2|<0.即
(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，化簡即得
2t2+15t+7<0，解得-7
當(dāng)夾角為π時，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，
但此時夾角不是鈍角，
設(shè)2te1+7e2=λ(e1+te2)，λ<0，可得
2t=λ，7=λt，λ<0，?λ=-14，t=-142.
∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是
-7，-142∪-142，-12.
【篇二】
[新知初探]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
前提條件a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0
結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時，向量a、b(b≠0)共線
[點(diǎn)睛](1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x1x2=y1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例;
(2)當(dāng)a≠0，b=0時，a∥b，此時x1y2-x2y1=0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0?a∥b.
[小試身手]
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2=x2y1.()
(2)向量(2,3)與向量(-4，-6)反向.()
答案：(1)√(2)√
2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，則與a+b共線的向量可以是()
a.(2,1)b.(-1,2)c.(6,10)d.(-6,10)
答案：c
3.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a∥b，則x等于()
a.-12b.12c.-2d.2
答案：d
4.已知向量a=(-2,3)，b∥a，向量b的起點(diǎn)為a(1,2)，終點(diǎn)b在x軸上，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為________.
答案：73，0
向量共線的判定
[典例](1)已知向量a=(1,2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，則λ的值等于()
a.12b.13c.1d.2
(2)已知a(2,1)，b(0,4)，c(1,3)，d(5，-3).判斷與是否共線?如果共線，它們的方向相同還是相反?
[解析](1)法一：a+2b=(1,2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1,2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=12.
法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，從而1=2μ，2=-2μ，方程組顯然無解，即a+2b與2a-2b不共線，這與(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以1λ=21，即λ=12.
[答案]a
(2)[解]=(0,4)-(2,1)=(-2,3)，=(5，-3)-(1,3)=(4，-6)，
∵(-2)×(-6)-3×4=0，∴，共線.
又=-2，∴，方向相反.
綜上，與共線且方向相反.
向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2-x2y1=0直接求解.
[活學(xué)活用]
已知a=(1,2)，b=(-3,2)，當(dāng)k為何值時，ka+b與a-3b平行，平行時它們的方向相同還是相反?
解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10，-4)，
若ka+b與a-3b平行，則-4(k-3)-10(2k+2)=0，
解得k=-13，此時ka+b=-13a+b=-13(a-3b)，故ka+b與a-3b反向.
∴k=-13時，ka+b與a-3b平行且方向相反.
三點(diǎn)共線問題
[典例](1)已知=(3,4)，=(7,12)，=(9,16)，求證：a，b，c三點(diǎn)共線;
(2)設(shè)向量=(k,12)，=(4,5)，=(10，k)，當(dāng)k為何值時，a，b，c三點(diǎn)
共線?
[解](1)證明：∵=-=(4,8)，
=-=(6,12)，
∴=32，即與共線.
又∵與有公共點(diǎn)a，∴a，b，c三點(diǎn)共線.
(2)若a，b，c三點(diǎn)共線，則，共線，
∵=-=(4-k，-7)，
=-=(10-k，k-12)，
∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.
解得k=-2或k=11.
有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略
(1)要判斷a，b，c三點(diǎn)是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則a，b，c三點(diǎn)共線;
(2)使用a，b，c三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式.
[活學(xué)活用]
設(shè)點(diǎn)a(x,1)，b(2x,2)，c(1,2x)，d(5,3x)，當(dāng)x為何值時，與共線且方向相同，此時，a，b，c，d能否在同一條直線上?
解：=(2x,2)-(x,1)=(x,1)，
=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2)，
=(5,3x)-(1,2x)=(4，x).
由與共線，所以x2=1×4，所以x=±2.
又與方向相同，所以x=2.
此時，=(2,1)，=(-3,2)，
而2×2≠-3×1，所以與不共線，
所以a，b，c三點(diǎn)不在同一條直線上.
所以a，b，c，d不在同一條直線上.
向量共線在幾何中的應(yīng)用
題點(diǎn)一：兩直線平行判斷
1.如圖所示，已知直角梯形abcd，ad⊥ab，ab=2ad=2cd，過點(diǎn)c作ce⊥ab于e，用向量的方法證明：de∥bc;
證明：如圖，以e為原點(diǎn)，ab所在直線為x軸，ec所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)||=1，則||=1，||=2.
∵ce⊥ab，而ad=dc，
∴四邊形aecd為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為e(0,0)，b(1,0)，c(0,1)，d(-1,1).
∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1)，
=(0,1)-(1,0)=(-1,1)，
∴=，∴∥，即de∥bc.
題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷
2.已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)a(1,0)，b(4,3)，c(2,4)，d(0,2)，求證：四邊形abcd是等腰梯形.
證明：由已知得，=(4,3)-(1,0)=(3,3)，
=(0,2)-(2,4)=(-2，-2).
∵3×(-2)-3×(-2)=0，∴與共線.
=(-1,2)，=(2,4)-(4,3)=(-2,1)，
∵(-1)×1-2×(-2)≠0，∴與不共線.
∴四邊形abcd是梯形.
∵=(-2,1)，=(-1,2)，
∴||=5=||，即bc=ad.
故四邊形abcd是等腰梯形.
題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)
3.如圖所示，已知點(diǎn)a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，求ac和ob交點(diǎn)p的坐標(biāo).
解：法一：設(shè)=t=t(4,4)
=(4t,4t)，
則=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)，
=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由，共線的條件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，
解得t=34.∴=(3,3).
∴p點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3).
法二：設(shè)p(x，y)，
則=(x，y)，=(4,4).
∵，共線，
∴4x-4y=0.①
又=(x-2，y-6)，=(2，-6)，
且向量，共線，
∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②
解①②組成的方程組，得x=3，y=3，
∴點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3).
應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()
a.e1=(0,0)，e2=(1，-2)
b.e1=(-1,2)，e2=(5,7)
c.e1=(3,5)，e2=(6,10)
d.e1=(2，-3)，e2=12，-34
解析：選ba中向量e1為零向量，∴e1∥e2;c中e1=12e2，∴e1∥e2;d中e1=4e2，∴e1∥e2，故選b.
2.已知點(diǎn)a(1,1)，b(4,2)和向量a=(2，λ)，若a∥，則實(shí)數(shù)λ的值為()
a.-23b.32
c.23d.-32
解析：選c根據(jù)a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得=(3,1)，
∵a∥，∴2×1-3λ=0，解得λ=23，故選c.
3.已知a(2，-1)，b(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()
a.(2,1)b.(-6，-3)
c.(-1,2)d.(-4，-8)
解析：選d=(1,2)，向量(2,1)、(-6，-3)、(-1,2)與(1,2)不平行;(-4，-8)與(1,2)平行且方向相反.
4.已知向量a=(x,2)，b=(3，-1)，若(a+b)∥(a-2b)，則實(shí)數(shù)x的值為()
a.-3b.2
c.4d.-6
解析：選d因?yàn)?a+b)∥(a-2b)，a+b=(x+3,1)，a-2b=(x-6,4)，所以4(x+3)-(x-6)=0，解得x=-6.
5.設(shè)a=32，tanα，b=cosα，13，且a∥b，則銳角α為()
a.30°b.60°
c.45°d.75°
解析：選a∵a∥b，
∴32×13-tanαcosα=0，
即sinα=12，α=30°.
6.已知向量a=(3x-1,4)與b=(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為________.
解析：∵向量a=(3x-1,4)與b=(1,2)共線，
∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1.
答案：1
7.已知a(-1,4)，b(x，-2)，若c(3,3)在直線ab上，則x=________.
解析：=(x+1，-6)，=(4，-1)，
∵∥，∴-(x+1)+24=0，∴x=23.
答案：23
8.已知向量a=(1,2)，b=(-2,3)，若λa+μb與a+b共線，則λ與μ的關(guān)系是________.
解析：∵a=(1,2)，b=(-2,3)，
∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(-1,5)，
λa+μb=λ(1,2)+μ(-2,3)=(λ-2μ，2λ+3μ)，
又∵(λa+μb)∥(a+b)，
∴-1×(2λ+3μ)-5(λ-2μ)=0，
∴λ=μ.
答案：λ=μ
9.已知a，b，c三點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，(3，-1)，(1,2)，并且=13，=13，求證：∥.
證明：設(shè)e，f的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
依題意有=(2,2)，=(-2,3)，=(4，-1).
∵=13，∴(x1+1，y1)=13(2,2).
∴點(diǎn)e的坐標(biāo)為-13，23.
同理點(diǎn)f的坐標(biāo)為73，0，=83，-23.
又83×(-1)-4×-23=0，∴∥.
10.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，c=(5,2)，m=λb+c(λ為常數(shù)).
(1)求a+b;
(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)λ的值.
解：(1)因?yàn)閍=(2,1)，b=(1,1)，
所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).
(2)因?yàn)閎=(1,1)，c=(5,2)，
所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5，λ+2).
又因?yàn)閍=(2,1)，且a與m平行，
所以2(λ+2)=λ+5，解得λ=1.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.已知平面向量a=(x,1)，b=(-x，x2)，則向量a+b()
a.平行于x軸
b.平行于第一、三象限的角平分線
c.平行于y軸
d.平行于第二、四象限的角平分線
解析：選c因?yàn)閍+b=(0,1+x2)，所以a+b平行于y軸.
2.若a(3，-6)，b(-5,2)，c(6，y)三點(diǎn)共線，則y=()
a.13b.-13
c.9d.-9
解析：選da，b，c三點(diǎn)共線，
∴∥，而=(-8,8)，=(3，y+6)，
∴-8(y+6)-8×3=0，即y=-9.
3.已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，c=ka+b(k∈r)，d=a-b，如果c∥d，那么()
a.k=1且c與d同向
b.k=1且c與d反向
c.k=-1且c與d同向
d.k=-1且c與d反向
解析：選d∵a=(1,0)，b=(0,1)，若k=1，則c=a+b=(1,1)，d=a-b=(1，-1)，顯然，c與d不平行，排除a、b.若k=-1，則c=-a+b=(-1,1)，d=a-b=-(-1,1)，即c∥d且c與d反向.
4.已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)，(3,0)，(1，-5)，則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()
a.(1,5)或(5,5)
b.(1,5)或(-3，-5)
c.(5，-5)或(-3，-5)
d.(1,5)或(5，-5)或(-3，-5)
解析：選d設(shè)a(-1,0)，b(3,0)，c(1，-5)，第四個頂點(diǎn)為d，
①若這個平行四邊形為?abcd，
則=，∴d(-3，-5);
②若這個平行四邊形為?acdb，
則=，∴d(5，-5);
③若這個平行四邊形為?acbd，
則=，∴d(1,5).
綜上所述，d點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5，-5)或(-3，-5).
5.已知=(6,1)，=(x，y)，=(-2，-3)，∥，則x+2y的值為________.
解析：∵=++=(6,1)+(x，y)+(-2，-3)
=(x+4，y-2)，
∴=-=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2).
∵∥，
∴x(-y+2)-(-x-4)y=0，即x+2y=0.
答案：0
6.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m).若點(diǎn)a，b，c能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為________.
解析：若點(diǎn)a，b，c能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線.
∵=-=(3,1)，=-=(2-m,1-m)，
∴3(1-m)≠2-m，即m≠12.
答案：m≠12
7.已知a(1,1)，b(3，-1)，c(a，b).
(1)若a，b，c三點(diǎn)共線，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)若=2，求點(diǎn)c的坐標(biāo).
解：(1)若a，b，c三點(diǎn)共線，則與共線.
=(3，-1)-(1,1)=(2，-2)，=(a-1，b-1)，
∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0，∴a+b=2.
(2)若=2，則(a-1，b-1)=(4，-4)，
∴a-1=4，b-1=-4，∴a=5，b=-3，
∴點(diǎn)c的坐標(biāo)為(5，-3).
8.如圖所示，在四邊形abcd中，已知a(2,6)，b(6,4)，c(5,0)，d(1,0)，求直線ac與bd交點(diǎn)p的坐標(biāo).
解：設(shè)p(x，y)，則=(x-1，y)，
=(5,4)，=(-3,6)，=(4,0).
由b，p，d三點(diǎn)共線可得==(5λ，4λ).
又∵=-=(5λ-4,4λ)，
由于與共線得，(5λ-4)×6+12λ=0.
解得λ=47，
∴=47=207，167，
∴p的坐標(biāo)為277，167.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇四
∴λk=2，λ=-1，
∴k=-2，λ=-1，
∴k=-2.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()
a.a與λa的方向相同
b.a與-λa的方向相反
c.a與λ2a的方向相同
d.|λa|=λ|a|
解析：選c只有當(dāng)λ>0時，a與λa的方向相同，a與-λa的方向相反，且|λa|=λ|a|.因?yàn)棣?>0，所以a與λ2a的方向相同.
2.已知o是△abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，d為邊bc的中點(diǎn)，且2++=0，則()
a.=b.=2
c.=3d.2=
解析：選a∵在△abc中，d為邊bc的中點(diǎn)，∴+=2，∴2(+)=0，即+=0，從而=.
3.已知向量a，b不共線，若=λ1a+b，=a+λ2b，且a，b，c三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)λ1，λ2一定成立的關(guān)系式為()
a.λ1=λ2=1b.λ1=λ2=-1
c.λ1λ2=1d.λ1+λ2=1
解析：選c∵a，b，c三點(diǎn)共線，
∴=k(k≠0).
∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b.
又∵a，b不共線，
∴λ1=k，1=kλ2，∴λ1λ2=1.
4.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)p及一個△abc，若++=，則()
a.點(diǎn)p在△abc外部b.點(diǎn)p在線段ab上
c.點(diǎn)p在線段bc上d.點(diǎn)p在線段ac上
解析：選d∵++=，
∴++-=0，
∴+++=0，即++=0，
∴2=，∴點(diǎn)p在線段ac上.
5.設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1+2e2與8e1+ke2方向相反，則k=______.
解析：∵ke1+2e2與8e1+ke2共線，
∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
∴k=8λ，2=λk，解得λ=12，k=4或λ=-12，k=-4.
∵ke1+2e2與8e1+ke2反向，
∴λ=-12，k=-4.
答案：-4
6.如圖所示，在?abcd中，=a，=b，an=3nc，m為bc的中點(diǎn)，則=________(用a，b)表示.
解析：=+=-=12-14
=12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a).
答案：14(b-a)
7.已知：在四邊形abcd中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，求證：四邊形abcd為梯形.
證明：如圖所示.
∵=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b)，
∴=2.
∴與共線，且||=2||.
又∵這兩個向量所在的直線不重合，
∴ad∥bc，且ad=2bc.
∴四邊形abcd是以ad，bc為兩條底邊的梯形.
8.如圖，已知△ocb中，點(diǎn)a是bc的中點(diǎn)，d是將ob分成2∶1的一個內(nèi)分點(diǎn)，dc和oa交于點(diǎn)e，設(shè)=a，=b.
(1)用a，b表示向量，;
(2)若=λ，求λ的值.
解：(1)由a是bc的中點(diǎn)，則有=12(+)，
從而=2-=2a-b.
由d是將ob分成2∶1的一個內(nèi)分點(diǎn)，得=23，
從而=-=(2a-b)-23b=2a-53b.
(2)由于c，e，d三點(diǎn)共線，則=μ，
又=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b，
=2a-53b，
從而(2-λ)a-b=μ2a-53b，
又a，b不共線，則2-λ=2μ，1=53μ，解得λ=45.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇五
教學(xué)目標(biāo)
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來求目標(biāo)函數(shù)的最值.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn).
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn).
教學(xué)步驟
【新課引入】
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開始，教學(xué)又翻開了新的一頁，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以逐步看到它的運(yùn)用.
【線性規(guī)劃】
先討論下面的問題
設(shè)，式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區(qū)域，如圖中內(nèi)部且包括邊界.點(diǎn)(0，0)不在這個三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時，，點(diǎn)(0，0)在直線上.
作一組和平等的直線
可知，當(dāng)l在的右上方時，直線l上的點(diǎn)滿足.
即，而且l往右平移時，t隨之增大，在經(jīng)過不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)a(5，2)的直線l，所對應(yīng)的t，以經(jīng)過點(diǎn)的直線，所對應(yīng)的t最小，所以
在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件.
是欲達(dá)到值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于又是x、y的解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)，上述問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件①下的值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示.
一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題，滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解(5，2)和(1，1)分別使目標(biāo)函數(shù)取得值和最小值，它們都叫做這個問題的解.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇一
(1)使學(xué)生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
(2)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及解等基本概念;
(3)了解線性規(guī)化問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題;
(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(5)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識，激勵學(xué)生勇于創(chuàng)新.
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
教科書首先通過一個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域.再通過一個具體實(shí)例，介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個基本概念及一種基本解法-圖解法，并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域.
對學(xué)生來說，二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個比較陌生、抽象的概念，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識和認(rèn)知水平難以透徹理解，因此學(xué)習(xí)二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域分為兩個大的層次：
(1)二元一次不等式表示平面區(qū)域.首先通過建立新舊知識的聯(lián)系，自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)二元一次不等式組表示平面區(qū)域.在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上，畫不等式組所表示的平面區(qū)域，找出各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.這是學(xué)生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).
難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答.
對許多學(xué)生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，即不會建模.所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn)，并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后利用圖解法求出解作為突破這個難點(diǎn)的關(guān)鍵.
對學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系;②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯(lián)想，形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設(shè)計為計算機(jī)輔助教學(xué)，從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解;分析完題后，能夠抓住問題的本質(zhì)特征，從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.另外，利用計算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點(diǎn)解的方法.
三、教法建議
(1)對學(xué)生來說，二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學(xué)生對這一概念的引進(jìn)不感到突然，應(yīng)建立新舊知識的聯(lián)系，以便自然地給出概念
(2)建議將本節(jié)新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證明、歸納)來進(jìn)行，目的是為了分散難點(diǎn)，層層遞進(jìn)，突出重點(diǎn)，只要學(xué)生對舊知識掌握較好，完全有可能由學(xué)生主動去探求新知，得出結(jié)論.
(3)要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)”，這對培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的.
(5)對作業(yè)、思考題、研究性題的建議：①作業(yè)主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成;③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學(xué)生的思維.
(6)若實(shí)際問題要求的解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解)，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn)，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少，采用逐個試驗(yàn)法也可.
(7)在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量，收到的效益;二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇二
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、了解本章的學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及學(xué)習(xí)思想方法2、能敘述隨機(jī)變量的定義
3、能說出隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，4、能夠把一個隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用隨機(jī)變量表示
重點(diǎn)：能夠把一個隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果用隨機(jī)變量表示
難點(diǎn)：隨機(jī)事件概念的透徹理解及對隨機(jī)變量引入目的的認(rèn)識：
環(huán)節(jié)一：隨機(jī)變量的定義
1.通過生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象，能夠概括出隨機(jī)變量的定義
2能敘述隨機(jī)變量的定義
3能說出隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
一、閱讀課本33頁問題提出和分析理解，回答下列問題?
1、了解一個隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律具體指的是什么?
2、分析理解中的兩個隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果有什么不同?建立了什么樣的對應(yīng)關(guān)系?
總結(jié)：
3、隨機(jī)變量
(1)定義：
這種對應(yīng)稱為一個隨機(jī)變量。即隨機(jī)變量是從隨機(jī)試驗(yàn)每一個可能的結(jié)果所組成的
到的映射。
(2)表示：隨機(jī)變量常用大寫字母.等表示.
(3)隨機(jī)變量與函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系
函數(shù)隨機(jī)變量
自變量
因變量
因變量的范圍
相同點(diǎn)都是映射都是映射
環(huán)節(jié)二隨機(jī)變量的應(yīng)用
1、能正確寫出隨機(jī)現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果2、能用隨機(jī)變量的描述隨機(jī)事件
例1：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品?，F(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，其中含有的次品數(shù)為隨機(jī)變量的學(xué)案.這是一個隨機(jī)現(xiàn)象。(1)寫成該隨機(jī)現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;(2)試用隨機(jī)變量來描述上述結(jié)果。
變式：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，這是一個隨機(jī)現(xiàn)象。若y表示取出的3件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，試用隨機(jī)變量描述上述結(jié)果
例2連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣兩次，用x表示這兩次正面朝上的次數(shù)，則x是一個隨機(jī)變
量，分別說明下列集合所代表的隨機(jī)事件：
(1){x=0}(2){x=1}
(3){x<2}(4){x>0}
變式：連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣三次，用x表示這三次正面朝上的次數(shù)，則x是一個隨機(jī)變量，x的可能取值是?并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.
練習(xí)：寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)變量的結(jié)果。
(1)從學(xué)?；丶乙?jīng)過5個紅綠燈路口，可能遇到紅燈的次數(shù);
(2)一個袋中裝有5只同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3只球，被取出的球的號碼數(shù);
小結(jié)(對標(biāo))
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇三
預(yù)習(xí)課本p103～105，思考并完成以下問題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積?向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎?
(2)向量b在a方向上的投影怎么計算?數(shù)量積的幾何意義是什么?
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些?
(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些?
[新知初探]
1.向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b=|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點(diǎn)睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定.
(2)兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式.
2.向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.
[點(diǎn)睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零.
3.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角.
(1)a⊥b?a·b=0.
(2)當(dāng)a與b同向時，a·b=|a||b|，
當(dāng)a與b反向時，a·b=-|a||b|.
(3)a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.
(4)cosθ=a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點(diǎn)睛]對于性質(zhì)(1)，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0;若兩個非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直.
4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b=b·a(交換律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
[點(diǎn)睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情況下不成立.
[小試身手]
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的數(shù)量積仍然是向量.()
(2)若a·b=b·c，則一定有a=c.()
(3)若a，b反向，則a·b=-|a||b|.()
(4)若a·b=0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2.若|a|=2，|b|=12，a與b的夾角為60°，則a·b=()
a.2b.12
c.1d.14
答案：b
3.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·15b=-36，則a與b的夾角為()
a.60°b.120°
c.135°d.150°
答案：b
4.已知a，b的夾角為θ，|a|=2，|b|=3.
(1)若θ=135°，則a·b=________;
(2)若a∥b，則a·b=________;
(3)若a⊥b，則a·b=________.
答案：(1)-32(2)6或-6(3)0
向量數(shù)量積的運(yùn)算
[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b;②(a+b)·
(a-2b).
(2)如圖，正三角形abc的邊長為2，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.
[解](1)①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
(2)∵|a|=|b|=|c|=2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法
運(yùn)算.
[活學(xué)活用]
已知|a|=3，|b|=4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b;(2)a2-b2;
(3)(2a-b)·(a+3b).
解：(1)a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2
=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.
與向量的模有關(guān)的問題
[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2=12.若平面向量b滿足b·e1=b·e2=1，則|b|=________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|=1，|2a-b|=10，則|b|=________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.
又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.
∵b·(e1-e2)=0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1=|b||e1|cos30°=1，
從而|b|=1cos30°=233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|=1，
∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|，
|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10，∴|b|=32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2=|a|2，勿忘記開方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.
[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|=|b|=5，且a與b的夾角為60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.
解：∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)
=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°
=50+2×5×5×12=75，
∴|a+b|=53.
∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)
=|a|2+|b|2-2a·b
=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，
∴|a-b|=5.
∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)
=4|a|2+|b|2+4a·b
=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175，
∴|2a+b|=57.
兩個向量的夾角和垂直
題點(diǎn)一：求兩向量的夾角
1.(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，則a與b的夾角為()
a.π3b.π2
c.2π3d.5π6
解析：選c∵a⊥(2a+b)，∴a·(2a+b)=0，
∴2|a|2+a·b=0，
即2|a|2+|a||b|cos〈a，b〉=0.
∵|b|=4|a|，∴2|a|2+4|a|2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12，∴〈a，b〉=2π3.
題點(diǎn)二：證明兩向量垂直
2.已知向量a，b不共線，且|2a+b|=|a+2b|，求證：(a+b)⊥(a-b).
證明：∵|2a+b|=|a+2b|，
∴(2a+b)2=(a+2b)2.
即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2，
∴a2=b2.
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a與b不共線，a+b≠0，a-b≠0，
∴(a+b)⊥(a-b).
題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b與ka-b互相垂直，則k的值為()
a.-32b.32
c.±32d.1
解析：選b∵3a+2b與ka-b互相垂直，
∴(3a+2b)·(ka-b)=0，
∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.
∵a⊥b，∴a·b=0，
又|a|=2，|b|=3，
∴12k-18=0，k=32.
求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cosθ=a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.
(2)在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cosθ的值.
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，則a與b的夾角θ為()
a.π6b.π4
c.π3d.π2
解析：選c由題意，知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2，又0≤θ≤π，所以θ=π3.
2.已知|b|=3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
a.3b.92
c.2d.12
解析：選b設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ=32，
∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.
3.已知|a|=|b|=1，a與b的夾角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c與d垂直，則k的值為()
a.-6b.6
c.3d.-3
解析：選b∵c·d=0，
∴(2a+3b)·(ka-4b)=0，
∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，
∴2k=12，∴k=6.
4.已知a，b滿足|a|=4，|b|=3，夾角為60°，則|a+b|=()
a.37b.13
c.37d.13
解析：選c|a+b|=?a+b?2=a2+2a·b+b2
=42+2×4×3cos60°+32=37.
5.在四邊形abcd中，=，且·=0，則四邊形abcd是()
a.矩形b.菱形
c.直角梯形d.等腰梯形
解析：選b∵=，即一組對邊平行且相等，·=0，即對角線互相垂直，∴四邊形abcd為菱形.
6.給出以下命題：
①若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0;
②若a·b=0，則a與b中至少有一個為0;
③a與b是兩個單位向量，則a2=b2.
其中，正確命題的序號是________.
解析：上述三個命題中只有③正確，因?yàn)閨a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時，有a·b=0，顯然①②錯誤.
答案：③
7.設(shè)e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.
解析：(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.
答案：-92
8.若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________.
解析：∵c⊥a，∴c·a=0，
∴(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.
∵|a|=1，|b|=2，∴1+2cos〈a，b〉=0，
∴cos〈a，b〉=-12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.
答案：120°
9.已知e1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，a=2e1+e2，b=2e2-3e1，求a與b的
夾角.
解：因?yàn)閨e1|=|e2|=1，
所以e1·e2=1×1×cos60°=12，
|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7，故|a|=7，
|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7，故|b|=7，
且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72，
所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12，
所以a與b的夾角為120°.
10.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影為-1.
(1)求a與b的夾角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)當(dāng)λ為何值時，向量λa+b與向量a-3b互相垂直?
解：(1)∵|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ=-1，
∴a·b=|a||b|cosθ=-1.
∴cosθ=-12，∴θ=2π3.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)∵λa+b與a-3b互相垂直，
∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，∴λ=47.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.已知|a|=2，|b|=1，且a與b的夾角為π3，則向量m=a-4b的模為()
a.2b.23
c.6d.12
解析：選b|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12，所以|m|=23.
2.在rt△abc中，c=90°，ac=4，則·等于()
a.-16b.-8
c.8d.16
解析：選d法一：因?yàn)閏osa=acab，故·=||·||cosa=||2=16，故選d.
法二：在上的投影為||cosa=||，故·=|cosa=||2=16，故選d.
3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a-b|=()
a.1b.3
c.5d.3
解析：選c由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉=|b|cos〈a，b〉，因?yàn)閨a|=1，|b|
=2，所以cos〈a，b〉=0，即a⊥b，則|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.
4.如圖，在邊長為2的菱形abcd中，∠bad=60°，e為bc的中點(diǎn)，則·=()
a.-3b.0
c.-1d.1
解析：選c·=ab―→+12ad―→·(-)
=12·-||2+12||2
=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.
5.設(shè)向量a，b，c滿足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是________.
解析：法一：由a+b+c=0得c=-a-b.
又(a-b)·c=0，∴(a-b)·(-a-b)=0，即a2=b2.
則c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，
∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
法二：如圖，作==a，
=b，則=c.
∵a⊥b，∴ab⊥bc，
又∵a-b=-=，
(a-b)⊥c，∴cd⊥ca，
所以△abc是等腰直角三角形，
∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
答案：4
6.已知向量a，b的夾角為45°，且|a|=4，12a+b·(2a-3b)=12，則|b|=________;b在a方向上的投影等于________.
解析：12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=12，即3|b|2-2|b|-4=0，解得|b|=2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.
答案：21
7.已知非零向量a，b，滿足|a|=1，(a-b)·(a+b)=12，且a·b=12.
(1)求向量a，b的夾角;(2)求|a-b|.
解：(1)∵(a-b)·(a+b)=12，
∴a2-b2=12，
即|a|2-|b|2=12.
又|a|=1，
∴|b|=22.
∵a·b=12，
∴|a|·|b|cosθ=12，
∴cosθ=22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a-b|2=(a-b)2
=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12，
∴|a-b|=22.
8.設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|=2，|e2|=1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解：由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，
得?2te1+7e2?·?e1+te2?|2te1+7e2|·|e1+te2|<0.即
(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，化簡即得
2t2+15t+7<0，解得-7
當(dāng)夾角為π時，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，
但此時夾角不是鈍角，
設(shè)2te1+7e2=λ(e1+te2)，λ<0，可得
2t=λ，7=λt，λ<0，?λ=-14，t=-142.
∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是
-7，-142∪-142，-12.
【篇二】
[新知初探]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
前提條件a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0
結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時，向量a、b(b≠0)共線
[點(diǎn)睛](1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x1x2=y1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例;
(2)當(dāng)a≠0，b=0時，a∥b，此時x1y2-x2y1=0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0?a∥b.
[小試身手]
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2=x2y1.()
(2)向量(2,3)與向量(-4，-6)反向.()
答案：(1)√(2)√
2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，則與a+b共線的向量可以是()
a.(2,1)b.(-1,2)c.(6,10)d.(-6,10)
答案：c
3.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a∥b，則x等于()
a.-12b.12c.-2d.2
答案：d
4.已知向量a=(-2,3)，b∥a，向量b的起點(diǎn)為a(1,2)，終點(diǎn)b在x軸上，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為________.
答案：73，0
向量共線的判定
[典例](1)已知向量a=(1,2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，則λ的值等于()
a.12b.13c.1d.2
(2)已知a(2,1)，b(0,4)，c(1,3)，d(5，-3).判斷與是否共線?如果共線，它們的方向相同還是相反?
[解析](1)法一：a+2b=(1,2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1,2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=12.
法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，從而1=2μ，2=-2μ，方程組顯然無解，即a+2b與2a-2b不共線，這與(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以1λ=21，即λ=12.
[答案]a
(2)[解]=(0,4)-(2,1)=(-2,3)，=(5，-3)-(1,3)=(4，-6)，
∵(-2)×(-6)-3×4=0，∴，共線.
又=-2，∴，方向相反.
綜上，與共線且方向相反.
向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2-x2y1=0直接求解.
[活學(xué)活用]
已知a=(1,2)，b=(-3,2)，當(dāng)k為何值時，ka+b與a-3b平行，平行時它們的方向相同還是相反?
解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10，-4)，
若ka+b與a-3b平行，則-4(k-3)-10(2k+2)=0，
解得k=-13，此時ka+b=-13a+b=-13(a-3b)，故ka+b與a-3b反向.
∴k=-13時，ka+b與a-3b平行且方向相反.
三點(diǎn)共線問題
[典例](1)已知=(3,4)，=(7,12)，=(9,16)，求證：a，b，c三點(diǎn)共線;
(2)設(shè)向量=(k,12)，=(4,5)，=(10，k)，當(dāng)k為何值時，a，b，c三點(diǎn)
共線?
[解](1)證明：∵=-=(4,8)，
=-=(6,12)，
∴=32，即與共線.
又∵與有公共點(diǎn)a，∴a，b，c三點(diǎn)共線.
(2)若a，b，c三點(diǎn)共線，則，共線，
∵=-=(4-k，-7)，
=-=(10-k，k-12)，
∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.
解得k=-2或k=11.
有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略
(1)要判斷a，b，c三點(diǎn)是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則a，b，c三點(diǎn)共線;
(2)使用a，b，c三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式.
[活學(xué)活用]
設(shè)點(diǎn)a(x,1)，b(2x,2)，c(1,2x)，d(5,3x)，當(dāng)x為何值時，與共線且方向相同，此時，a，b，c，d能否在同一條直線上?
解：=(2x,2)-(x,1)=(x,1)，
=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2)，
=(5,3x)-(1,2x)=(4，x).
由與共線，所以x2=1×4，所以x=±2.
又與方向相同，所以x=2.
此時，=(2,1)，=(-3,2)，
而2×2≠-3×1，所以與不共線，
所以a，b，c三點(diǎn)不在同一條直線上.
所以a，b，c，d不在同一條直線上.
向量共線在幾何中的應(yīng)用
題點(diǎn)一：兩直線平行判斷
1.如圖所示，已知直角梯形abcd，ad⊥ab，ab=2ad=2cd，過點(diǎn)c作ce⊥ab于e，用向量的方法證明：de∥bc;
證明：如圖，以e為原點(diǎn)，ab所在直線為x軸，ec所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)||=1，則||=1，||=2.
∵ce⊥ab，而ad=dc，
∴四邊形aecd為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為e(0,0)，b(1,0)，c(0,1)，d(-1,1).
∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1)，
=(0,1)-(1,0)=(-1,1)，
∴=，∴∥，即de∥bc.
題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷
2.已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)a(1,0)，b(4,3)，c(2,4)，d(0,2)，求證：四邊形abcd是等腰梯形.
證明：由已知得，=(4,3)-(1,0)=(3,3)，
=(0,2)-(2,4)=(-2，-2).
∵3×(-2)-3×(-2)=0，∴與共線.
=(-1,2)，=(2,4)-(4,3)=(-2,1)，
∵(-1)×1-2×(-2)≠0，∴與不共線.
∴四邊形abcd是梯形.
∵=(-2,1)，=(-1,2)，
∴||=5=||，即bc=ad.
故四邊形abcd是等腰梯形.
題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)
3.如圖所示，已知點(diǎn)a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，求ac和ob交點(diǎn)p的坐標(biāo).
解：法一：設(shè)=t=t(4,4)
=(4t,4t)，
則=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)，
=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由，共線的條件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，
解得t=34.∴=(3,3).
∴p點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3).
法二：設(shè)p(x，y)，
則=(x，y)，=(4,4).
∵，共線，
∴4x-4y=0.①
又=(x-2，y-6)，=(2，-6)，
且向量，共線，
∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②
解①②組成的方程組，得x=3，y=3，
∴點(diǎn)p的坐標(biāo)為(3,3).
應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()
a.e1=(0,0)，e2=(1，-2)
b.e1=(-1,2)，e2=(5,7)
c.e1=(3,5)，e2=(6,10)
d.e1=(2，-3)，e2=12，-34
解析：選ba中向量e1為零向量，∴e1∥e2;c中e1=12e2，∴e1∥e2;d中e1=4e2，∴e1∥e2，故選b.
2.已知點(diǎn)a(1,1)，b(4,2)和向量a=(2，λ)，若a∥，則實(shí)數(shù)λ的值為()
a.-23b.32
c.23d.-32
解析：選c根據(jù)a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得=(3,1)，
∵a∥，∴2×1-3λ=0，解得λ=23，故選c.
3.已知a(2，-1)，b(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()
a.(2,1)b.(-6，-3)
c.(-1,2)d.(-4，-8)
解析：選d=(1,2)，向量(2,1)、(-6，-3)、(-1,2)與(1,2)不平行;(-4，-8)與(1,2)平行且方向相反.
4.已知向量a=(x,2)，b=(3，-1)，若(a+b)∥(a-2b)，則實(shí)數(shù)x的值為()
a.-3b.2
c.4d.-6
解析：選d因?yàn)?a+b)∥(a-2b)，a+b=(x+3,1)，a-2b=(x-6,4)，所以4(x+3)-(x-6)=0，解得x=-6.
5.設(shè)a=32，tanα，b=cosα，13，且a∥b，則銳角α為()
a.30°b.60°
c.45°d.75°
解析：選a∵a∥b，
∴32×13-tanαcosα=0，
即sinα=12，α=30°.
6.已知向量a=(3x-1,4)與b=(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為________.
解析：∵向量a=(3x-1,4)與b=(1,2)共線，
∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1.
答案：1
7.已知a(-1,4)，b(x，-2)，若c(3,3)在直線ab上，則x=________.
解析：=(x+1，-6)，=(4，-1)，
∵∥，∴-(x+1)+24=0，∴x=23.
答案：23
8.已知向量a=(1,2)，b=(-2,3)，若λa+μb與a+b共線，則λ與μ的關(guān)系是________.
解析：∵a=(1,2)，b=(-2,3)，
∴a+b=(1,2)+(-2,3)=(-1,5)，
λa+μb=λ(1,2)+μ(-2,3)=(λ-2μ，2λ+3μ)，
又∵(λa+μb)∥(a+b)，
∴-1×(2λ+3μ)-5(λ-2μ)=0，
∴λ=μ.
答案：λ=μ
9.已知a，b，c三點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，(3，-1)，(1,2)，并且=13，=13，求證：∥.
證明：設(shè)e，f的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
依題意有=(2,2)，=(-2,3)，=(4，-1).
∵=13，∴(x1+1，y1)=13(2,2).
∴點(diǎn)e的坐標(biāo)為-13，23.
同理點(diǎn)f的坐標(biāo)為73，0，=83，-23.
又83×(-1)-4×-23=0，∴∥.
10.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，c=(5,2)，m=λb+c(λ為常數(shù)).
(1)求a+b;
(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)λ的值.
解：(1)因?yàn)閍=(2,1)，b=(1,1)，
所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).
(2)因?yàn)閎=(1,1)，c=(5,2)，
所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5，λ+2).
又因?yàn)閍=(2,1)，且a與m平行，
所以2(λ+2)=λ+5，解得λ=1.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.已知平面向量a=(x,1)，b=(-x，x2)，則向量a+b()
a.平行于x軸
b.平行于第一、三象限的角平分線
c.平行于y軸
d.平行于第二、四象限的角平分線
解析：選c因?yàn)閍+b=(0,1+x2)，所以a+b平行于y軸.
2.若a(3，-6)，b(-5,2)，c(6，y)三點(diǎn)共線，則y=()
a.13b.-13
c.9d.-9
解析：選da，b，c三點(diǎn)共線，
∴∥，而=(-8,8)，=(3，y+6)，
∴-8(y+6)-8×3=0，即y=-9.
3.已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，c=ka+b(k∈r)，d=a-b，如果c∥d，那么()
a.k=1且c與d同向
b.k=1且c與d反向
c.k=-1且c與d同向
d.k=-1且c與d反向
解析：選d∵a=(1,0)，b=(0,1)，若k=1，則c=a+b=(1,1)，d=a-b=(1，-1)，顯然，c與d不平行，排除a、b.若k=-1，則c=-a+b=(-1,1)，d=a-b=-(-1,1)，即c∥d且c與d反向.
4.已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)，(3,0)，(1，-5)，則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()
a.(1,5)或(5,5)
b.(1,5)或(-3，-5)
c.(5，-5)或(-3，-5)
d.(1,5)或(5，-5)或(-3，-5)
解析：選d設(shè)a(-1,0)，b(3,0)，c(1，-5)，第四個頂點(diǎn)為d，
①若這個平行四邊形為?abcd，
則=，∴d(-3，-5);
②若這個平行四邊形為?acdb，
則=，∴d(5，-5);
③若這個平行四邊形為?acbd，
則=，∴d(1,5).
綜上所述，d點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5，-5)或(-3，-5).
5.已知=(6,1)，=(x，y)，=(-2，-3)，∥，則x+2y的值為________.
解析：∵=++=(6,1)+(x，y)+(-2，-3)
=(x+4，y-2)，
∴=-=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2).
∵∥，
∴x(-y+2)-(-x-4)y=0，即x+2y=0.
答案：0
6.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-m，-3-m).若點(diǎn)a，b，c能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為________.
解析：若點(diǎn)a，b，c能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線.
∵=-=(3,1)，=-=(2-m,1-m)，
∴3(1-m)≠2-m，即m≠12.
答案：m≠12
7.已知a(1,1)，b(3，-1)，c(a，b).
(1)若a，b，c三點(diǎn)共線，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)若=2，求點(diǎn)c的坐標(biāo).
解：(1)若a，b，c三點(diǎn)共線，則與共線.
=(3，-1)-(1,1)=(2，-2)，=(a-1，b-1)，
∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0，∴a+b=2.
(2)若=2，則(a-1，b-1)=(4，-4)，
∴a-1=4，b-1=-4，∴a=5，b=-3，
∴點(diǎn)c的坐標(biāo)為(5，-3).
8.如圖所示，在四邊形abcd中，已知a(2,6)，b(6,4)，c(5,0)，d(1,0)，求直線ac與bd交點(diǎn)p的坐標(biāo).
解：設(shè)p(x，y)，則=(x-1，y)，
=(5,4)，=(-3,6)，=(4,0).
由b，p，d三點(diǎn)共線可得==(5λ，4λ).
又∵=-=(5λ-4,4λ)，
由于與共線得，(5λ-4)×6+12λ=0.
解得λ=47，
∴=47=207，167，
∴p的坐標(biāo)為277，167.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇四
∴λk=2，λ=-1，
∴k=-2，λ=-1，
∴k=-2.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1.設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()
a.a與λa的方向相同
b.a與-λa的方向相反
c.a與λ2a的方向相同
d.|λa|=λ|a|
解析：選c只有當(dāng)λ>0時，a與λa的方向相同，a與-λa的方向相反，且|λa|=λ|a|.因?yàn)棣?>0，所以a與λ2a的方向相同.
2.已知o是△abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，d為邊bc的中點(diǎn)，且2++=0，則()
a.=b.=2
c.=3d.2=
解析：選a∵在△abc中，d為邊bc的中點(diǎn)，∴+=2，∴2(+)=0，即+=0，從而=.
3.已知向量a，b不共線，若=λ1a+b，=a+λ2b，且a，b，c三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)λ1，λ2一定成立的關(guān)系式為()
a.λ1=λ2=1b.λ1=λ2=-1
c.λ1λ2=1d.λ1+λ2=1
解析：選c∵a，b，c三點(diǎn)共線，
∴=k(k≠0).
∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b.
又∵a，b不共線，
∴λ1=k，1=kλ2，∴λ1λ2=1.
4.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)p及一個△abc，若++=，則()
a.點(diǎn)p在△abc外部b.點(diǎn)p在線段ab上
c.點(diǎn)p在線段bc上d.點(diǎn)p在線段ac上
解析：選d∵++=，
∴++-=0，
∴+++=0，即++=0，
∴2=，∴點(diǎn)p在線段ac上.
5.設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1+2e2與8e1+ke2方向相反，則k=______.
解析：∵ke1+2e2與8e1+ke2共線，
∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
∴k=8λ，2=λk，解得λ=12，k=4或λ=-12，k=-4.
∵ke1+2e2與8e1+ke2反向，
∴λ=-12，k=-4.
答案：-4
6.如圖所示，在?abcd中，=a，=b，an=3nc，m為bc的中點(diǎn)，則=________(用a，b)表示.
解析：=+=-=12-14
=12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a).
答案：14(b-a)
7.已知：在四邊形abcd中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，求證：四邊形abcd為梯形.
證明：如圖所示.
∵=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b)，
∴=2.
∴與共線，且||=2||.
又∵這兩個向量所在的直線不重合，
∴ad∥bc，且ad=2bc.
∴四邊形abcd是以ad，bc為兩條底邊的梯形.
8.如圖，已知△ocb中，點(diǎn)a是bc的中點(diǎn)，d是將ob分成2∶1的一個內(nèi)分點(diǎn)，dc和oa交于點(diǎn)e，設(shè)=a，=b.
(1)用a，b表示向量，;
(2)若=λ，求λ的值.
解：(1)由a是bc的中點(diǎn)，則有=12(+)，
從而=2-=2a-b.
由d是將ob分成2∶1的一個內(nèi)分點(diǎn)，得=23，
從而=-=(2a-b)-23b=2a-53b.
(2)由于c，e，d三點(diǎn)共線，則=μ，
又=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b，
=2a-53b，
從而(2-λ)a-b=μ2a-53b，
又a，b不共線，則2-λ=2μ，1=53μ，解得λ=45.
上海高二下數(shù)學(xué)課本篇五
教學(xué)目標(biāo)
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來求目標(biāo)函數(shù)的最值.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn).
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn).
教學(xué)步驟
【新課引入】
我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開始，教學(xué)又翻開了新的一頁，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以逐步看到它的運(yùn)用.
【線性規(guī)劃】
先討論下面的問題
設(shè)，式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區(qū)域，如圖中內(nèi)部且包括邊界.點(diǎn)(0，0)不在這個三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時，，點(diǎn)(0，0)在直線上.
作一組和平等的直線
可知，當(dāng)l在的右上方時，直線l上的點(diǎn)滿足.
即，而且l往右平移時，t隨之增大，在經(jīng)過不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)a(5，2)的直線l，所對應(yīng)的t，以經(jīng)過點(diǎn)的直線，所對應(yīng)的t最小，所以
在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件.
是欲達(dá)到值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于又是x、y的解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)，上述問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件①下的值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示.
一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題，滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解(5，2)和(1，1)分別使目標(biāo)函數(shù)取得值和最小值，它們都叫做這個問題的解.