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三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納 篇1
《三角函數(shù)》
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
應(yīng)用 弧長(zhǎng)公式 同角三角函數(shù)誘導(dǎo) 應(yīng)用的基本關(guān)系式 公式 應(yīng)用三角函數(shù)的 角度制與 任意角的任意角的概念 圖像和性質(zhì) 弧度制 三角函數(shù)和角公式 應(yīng)用 倍角公式 應(yīng)用差角公式 應(yīng)用一、任意角的概念與弧度制
1、將沿x軸正向的射線，圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角
?2、同終邊的角可表示為?????k360計(jì)算與化簡(jiǎn) 證明恒等式 應(yīng)用 已知三角函數(shù)值求角 ???k?Z?
x軸上角：????k180??k?Z?
y軸上角：????90?k180??k?Z?
??k?Z? ??k?Z? ??k?Z? ??k?Z?
??3、第一象限角：?0?k360???90?k360??? 第二象限角：?90?k360???180?k360??? 第三象限角：?180?k360???270?k360??? 第四象限角：?270?k360???360?k360?4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于90的角
?? 第一象限角：?0?k360???90?k360???k?Z?
銳角：?0???90??小于90的角：????90?
?為第幾象限角？ 25、若?為第二象限角，那么
?2?2k??????2k?
?4?k???2??2?k?
k?0,所以
?4????2, k?1,5?3????, 42?在第一、三象限 26、弧度制：弧長(zhǎng)等于半徑時(shí)，所對(duì)的圓心角為1弧度的圓心角，記作1rad. 7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：1??8、角度與弧度對(duì)應(yīng)表： 角度 弧度 ?180?0.017451?180???57.30??57?18?
0? 0 30? 45? 60? 90 120? 135? 150? 180? 360? 2? 33? 45? 6? 6? 4? 3? 2? 2?
9、弧長(zhǎng)與面積計(jì)算公式弧長(zhǎng)：l???R；面積：S?
二、任意角的三角函數(shù)
11l?R???R2，注意：這里的?均為弧度制. 22yxy1、正弦：sin??；余弦cos??；正切tan??
rrx 其中?x,y?為角?終邊上任意點(diǎn)坐標(biāo)，r?
2、三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)表：
度 0
0 弧度
sin? 0
cos? 1
P(x,y)rx2?y2. ? 30 45 60 90 120 135 150 180 270? 360 2? 0 ? 61 2? 42 22 2? 33 21 2? 22? 33? 45? 6? 0 3? 21 3 22 21 21 3 20 31?2? ? 222 ?1 0 1 tan? 0 3 31 3 無(wú) ?3 ?1 ?33 0 無(wú) 0
3、三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)
口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（簡(jiǎn)記為“全s t c”）
sin? tan? cos? 第一象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第二象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第三象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第四象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0,
4、三角函數(shù)線
設(shè)任意角?的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與P(x,y)， 過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M；過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，它與角?的終邊或其反向 延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T.y y T P P
A Ax M o o M x
T（Ⅱ）（Ⅰ）
y y T
M M A A
x x o o
P P T
（Ⅲ） （Ⅳ）
由四個(gè)圖看出：
當(dāng)角?的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OM?x,MP?y，于是有
yyxx??y?MP，cos????x?OMr1r1， yMPATtan?????AT．
xOMOA我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。 sin??
5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
sin2??cos2??1 tan??sin??tan?cot??1 cos?(sin??cos?)2?1?2sin?cos? (sin??cos?)2?1?2sin?cos?
(sin??cos?，sin??cos?，sin??cos?，三式之間可以互相表示)
6、誘導(dǎo)公式
n???口訣：奇變偶不變,符號(hào)看象限(所謂奇偶指的是2中整數(shù)n的奇偶性，把?看作銳角)
nn??n?n??(?1)2sin?,n為偶數(shù)?(?1)2cos?,n為偶數(shù)sin(??)????)??；cos(. n?1n?122?(?1)2cos?,n為奇數(shù)?(?1)2sin?,n為奇數(shù)??①.公式（一）：?與??2k?,?k?Z?
sin(??2k?)?sin?；cos(??2k?)?cos?；tan(??2k?)?tan?
②.公式（二）：?與??
sin??????sin?；cos?????cos?；tan??????tan?
③.公式（三）：?與???
sin???????sin?；cos???????cos?；tan??????tan?
④.公式（四）：?與???
sin??????sin?；cos???????cos?；tan???????tan?
⑤.公式（五）：?與
?2??
??????sin?????cos?；cos??????sin?； ?2??2?⑥.公式（六）：?與
?2??
??????sin?????cos?；cos?????sin?； ?2??2?⑦.公式（七）：?與
3??? 2?3???3??sin??????cos?；cos?????sin?； ?2??2?⑧.公式（八）：?與
3??? 2
?3???3??sin??????cos?；cos??????sin?； ?2??2?
三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1、將函數(shù)y?sinx的圖象上所有的點(diǎn)，向左（右）平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y?sin?x???的圖象；再將函數(shù)y?sin?x???的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的
1?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y?sin??x???的圖象；再將函數(shù)y?sin??x???的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)
y?Asin??x???的圖象。
2、函數(shù)y?Asin??x????A?0,??0?的性質(zhì)： ①振幅：A；②周期：T?2??；③頻率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?。 T2?3、周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f?x?，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足
f?x?T??f?x?，那么函數(shù)f?x?就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期.
4、⑴y?Asin(?x??) 對(duì)稱軸：令?x???k??，得x?2?k???k??? 對(duì)稱中心：?x???k?，得x?，(,0)(k?Z)；
??k???⑵y?Acos(?x??) 對(duì)稱軸：令?x???k?，得x?；
?k???2??
???k????k?????22對(duì)稱中心：?x???k??，得x?，(,0)(k?Z)；
2??⑶周期公式:
①函數(shù)y?Asin(?x??)及y?Acos(?x??)的周期T?②函數(shù)y?Atan??x???的周期T?2?? (A、ω、?為常數(shù)，且A≠0).
? (A、ω、?為常數(shù)，且A≠0). ?5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格
函數(shù) 性 質(zhì) y?sinx y?cosx y?tanx 圖像
定義域 值域 R R ????xx?k??,k?Z? 2????1,1? 當(dāng)x?2k????1,1? 當(dāng)x?2k??k?Z?時(shí)， R ?k?Z?時(shí)，?2最值 ymax?1； 當(dāng)x?2k???2?k?Z?時(shí)，ymax?1；當(dāng)x?2k??? 既無(wú)最大值也無(wú)最小值 ?k?Z?時(shí)，ymin??1． ? ymin??1． 周期性 奇偶性 在??單調(diào)性 2? 2? 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) ?????2k?,?2k?? 2?2??k?Z?上是增函數(shù)； 在?在????2k?,2k???k?Z?上是增函數(shù)； 在?2k?,2k?????k?Z? 上是減函數(shù)． 在?k?????2,k????? 2?3?????2k?,?2k?? 2?2??k?Z?上是增函數(shù)． ?k?Z?上是減函數(shù)． 對(duì)稱中心對(duì)稱性 對(duì)稱中心?k?,0??k?Z? 對(duì)稱軸x?k???2?k?Z? ???k??,0??k?Z? ?2??對(duì)稱軸x?k??k?Z? 對(duì)稱中心??k??,0??k?Z? ?2?無(wú)對(duì)稱軸 6. 五點(diǎn)法作y?Asin(?x??)的簡(jiǎn)圖，設(shè)t??x??，取0、再描點(diǎn)作圖。
7. y?Asin(?x??) 的的圖像
?3?、?、、2?來(lái)求相應(yīng)x的值以及對(duì)應(yīng)的y值22
8. 函數(shù)的變換：
（1）函數(shù)的平移變換
①y?f(x)?y?f(x?a)(a?0) 將y?f(x)圖像沿x軸向左（右）平移a個(gè)單位 （左加右減）
②y?f(x)?y?f(x)?b(b?0) 將y?f(x)圖像沿y軸向上（下）平移b個(gè)單位 （上加下減）
（2）函數(shù)的伸縮變換：
①y?f(x)?y?f(wx)(w?0) 將y?f(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來(lái)的
1倍（w?1縮短， w0?w?1伸長(zhǎng)）
②y?f(x)?y?Af(x)(A?0) 將y?f(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍（A?1伸長(zhǎng)，
0?A?1縮短）
（3）函數(shù)的對(duì)稱變換：
① y?f(x)?y?f(?x)) 將y?f(x)圖像繞y軸翻折180°（整體翻折） （對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于x軸對(duì)稱）
② y?f(x)?y??f(x)將y?f(x)圖像繞x軸翻折180°（整體翻折） （對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱）
③y?f(x)?y?f(x) 將y?f(x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)（偶函數(shù)局部翻折）
④y?f(x)?y?f(x)保留y?f(x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去（局部翻動(dòng)）
四、三角恒等變換
1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：(1）sin(???)?sin?cos??sin?cos?(2）sin(???)?sin?cos??sin?cos? (3）cos(???)?cos?cos??sin?sin? (4）cos(???)?cos?cos??sin?sin?
???)?(5）tan(tan??tan? ?tan??ta?n?1?tan?tan?tn???a??? ?1?tan??tan???)?(6）tan(tan??tan??tan??tan??tan??????1?tan?tan??
1?tan?tan?(7) asin??bcos?=定,sin??a2?b2sin(???)(其中,輔助角?所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限決
aa2?b2,tan??b ，該法也叫合一變形). aba2?b2,cos??(8)
1?tan??1?tan???tan(??)?tan(??)
1?tan?41?tan?4
2. 二倍角公式
（1）sin2a?2sinacosa
（2）cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1
2222tan2a?（3）
2tana
1?tan2a
3. 降冪公式：
cos2a?（1）
4. 升冪公式
1?cos2a1?cos2a2 （2） sina?22
2（1）1?cos??2cos（3）1?sin??(sin（5）sin??2sin
?2 （2）1?cos??2sin2?2
?2?cos?2)2 （4）1?sin2??cos2?
?2cos?2
5. 半角公式（符號(hào)的選擇由
?所在的象限確定） 2sin（1）
a1?cosaa1?cosa， ， ??cos??2222（2）
a1?cosasina1?cosatan????21?cosa1?cosasina （3）
6. 萬(wàn)能公式:
2tan（1）sin???2, （2）cos??1?tan21?tan2??2, 21?tan22tan（3）tan???22.
??1?tan2
27.三角變換：
三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算、
化簡(jiǎn)的方法技能。
（1） 角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對(duì)角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形 （2） 函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：
asin??bcos??a2?b2sin(???)其中cos??aa?b22,sin??b22y?sinx?3cosx
a?b，比如：
?12?(3)2(11?(3)22sinx?31?(3)22cosx)
???13?2(sinx?cosx)?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
33322
（3）注意“湊角”運(yùn)用：?????????， ?????????，??1?????????????
?2?例如：已知?、??(3?3?12?,?),sin(???)??，sin(??)?，則cos(??)?? 454134（4）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中有時(shí)候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”可轉(zhuǎn)化為“sin??cos?”
（5）冪的變換：對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降冪處理，有時(shí)需要升冪例如：1?cosa常用升冪化為有理式。
（6）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。
（7）結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時(shí)需要和差與積的互化、分解因式、配方等。
（8）消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法
（9）思路變換：如果一種思路無(wú)法再走下去，試著改變自己的思路，通過(guò)分析比較去選擇更合適、簡(jiǎn)捷的方法去解題目。
（10）利用方程思想解三角函數(shù)。如對(duì)于以下三個(gè)式子：sina?cosa ，sinacosa sina?cosa，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式均可求出，且必要時(shí)可以換元。
22
8.函數(shù)的最值（幾種常見(jiàn)的函數(shù)及其最值的求法）：
①y?asinx?b（或acosx?b)型：利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母的討論 ②y?asinx?bcosx型：引進(jìn)輔助角化成y?a2?b2sin(x??)再利用有界性 ③y?asin2x?bsinx?c型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意sinx?1的約束 ④y?asinx?b型：反解出sinx，化歸為sinx?1解決
csinx?d⑥y?a(sinx?cosx)?bsinx?cosx?c型：常用到換元法：t?sinx?cosx，但須注意t的取值范圍：
t?2。
9.三角形中常用的關(guān)系：
sinA?sin(B?C)，cosA??cos(B?C)， sinsin2A??sin2(B?C)，cos2A?cos2(B?C)
AB?C?cos， 22sin15??cos75??10. 常見(jiàn)數(shù)據(jù)：
6?2,sin75??cos15??46?2， 4tan15??2?3, tan75??2?3,
三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納 篇2
函數(shù)與方程
函數(shù)思想是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系(或構(gòu)造函數(shù))運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題;方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(方程組)或不等式模型(方程、不等式等)去解決問(wèn)題。利用轉(zhuǎn)化思想我們還可進(jìn)行函數(shù)與方程間的相互轉(zhuǎn)化。
數(shù)形結(jié)合
中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合或形數(shù)結(jié)合。它既是尋找問(wèn)題解決切入點(diǎn)的“法寶”，又是優(yōu)化解題途徑的“良方”，因此我們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)題時(shí)，能畫圖的盡量畫出圖形，以利于正確地理解題意、快速地解決問(wèn)題。
極限思想解題步驟
極限思想解決問(wèn)題的一般步驟為：
(1)對(duì)于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量;
(2)確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量;
(3)構(gòu)造函數(shù)(數(shù)列)并利用極限計(jì)算法則得出結(jié)果或利用圖形的極限位置直接計(jì)算結(jié)果。
分類討論
我們常常會(huì)遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行下去，這是因?yàn)楸谎芯康膶?duì)象包含了多種情況，這就需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解，這就是分類討論。引起分類討論的原因很多，數(shù)學(xué)概念本身具有多種情形，數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性，變化等均可能引起分類討論。在分類討論解題時(shí)，要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏。
三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納 篇3
一、見(jiàn)“給角求值”問(wèn)題，運(yùn)用“新興”誘導(dǎo)公式
一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間(-90o，90o)的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、見(jiàn)“sinα±cosα”問(wèn)題，運(yùn)用三角“八卦圖”
1.sinα+cosα>0(或
2. sinα-cosα>0(或
3.|sinα|>|cosα|óα的終邊在Ⅱ、Ⅲ的區(qū)域內(nèi);
4.|sinα|
三、見(jiàn)“知1求5”問(wèn)題，造Rt△，用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符號(hào)看象限”。
四、見(jiàn)“切割”問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成“弦”的問(wèn)題。
五、“見(jiàn)齊思弦”=>“化弦為一”：已知tanα，求sinα與cosα的齊次式，有些整式情形還可以視其分母為1，轉(zhuǎn)化為sin2α+cos2α.
六、見(jiàn)“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、見(jiàn)“sinα±cosα與sinαcosα”問(wèn)題，起用平方法則：
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α，故
1.若sinα+cosα=t，(且t2≤2)，則2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t，(且t2≤2)，則2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、見(jiàn)“tanα+tanβ與tanαtanβ”問(wèn)題，啟用變形公式：
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=???
九、見(jiàn)三角函數(shù)“對(duì)稱”問(wèn)題，啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系：(A≠0)
1.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象，關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且平行于y軸的直線分別成軸對(duì)稱;
2.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和函數(shù)y=Acos(wx+φ)的圖象，關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱;
3.同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+φ)和函數(shù)
y=Acot(wx+φ)的對(duì)稱性質(zhì)。
十、見(jiàn)“求最值、值域”問(wèn)題，啟用有界性，或者輔助角公式：
1.|sinx|≤1，|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2≥c2.
十一、見(jiàn)“高次”，用降冪，見(jiàn)“復(fù)角”，用轉(zhuǎn)化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等。