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對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)
(Inx)'=1/x(ln為自然對(duì)數(shù)),(logax)'=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次冪等于N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作logaN=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。
底數(shù)則要>0且≠1真數(shù)>0
并且,在比較兩個(gè)函數(shù)值時(shí):
如果底數(shù)一樣,真數(shù)越大,函數(shù)值越大。(a>1時(shí))
如果底數(shù)一樣,真數(shù)越小,函數(shù)值越大。(0
對(duì)數(shù)函數(shù)
一般地,對(duì)數(shù)函數(shù)是以冪(真數(shù))為自變量,指數(shù)為因變量,底數(shù)為常量的函數(shù)。
其中對(duì)數(shù)的定義:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,讀作以a為底N的對(duì)數(shù),其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。
一般地,函數(shù)y=logaX(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),也就是說(shuō)以冪(真數(shù))為自變量,指數(shù)為因變量,底數(shù)為常量的函數(shù),叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞),即x>0。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定,同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)
對(duì)數(shù)的定義
如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN。其中,a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。
注:1、以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),并記為lg。
2、稱以無(wú)理數(shù)e(e=2.71828...)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù),并記為ln。
3、零沒(méi)有對(duì)數(shù)。
4、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)是有對(duì)數(shù)的。
對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),也就是說(shuō)以冪(真數(shù))為自變量,指數(shù)為因變量,底數(shù)為常量的函數(shù),叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞)。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定,同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
定義域求解:對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域是{x丨x>0},但如果遇到對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解,除了要注意大于0以外,還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1,如求函數(shù)y=logx(2x-1)的定義域,需同時(shí)滿足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定義域?yàn)閧x丨x>1/2且x≠1}
值域:實(shí)數(shù)集R,顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。
定點(diǎn):函數(shù)圖像恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)。
單調(diào)性:a>1時(shí),在定義域上為單調(diào)增函數(shù);
奇偶性:非奇非偶函數(shù)
周期性:不是周期函數(shù)
對(duì)稱性:無(wú)
最值:無(wú)
零點(diǎn):x=1
注意:負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)。
兩句經(jīng)典話:底真同對(duì)數(shù)正,底真異對(duì)數(shù)負(fù)。
對(duì)數(shù)公式運(yùn)算法則
對(duì)數(shù)的定義
如果 a^x=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm),記作 x=log(a)N .其中,a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。且a>o并且a≠1,N>0
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),負(fù)數(shù)有對(duì)數(shù)。
由于數(shù)學(xué)是為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù)的——建立的必須是現(xiàn)實(shí)存在的數(shù)學(xué)模型,故在現(xiàn)實(shí)生活中不存在真數(shù)為負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)模型。所以,高等數(shù)學(xué)中真數(shù)為負(fù)數(shù)的情況僅在理論上成立。
對(duì)數(shù)公式運(yùn)算法則
對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,是一種特殊的運(yùn)算方法。指積、商、冪、方根的對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則。在數(shù)學(xué)中,對(duì)數(shù)是對(duì)求冪的逆運(yùn)算,正如除法是乘法的倒數(shù),反之亦然。
這意味著一個(gè)數(shù)字的對(duì)數(shù),是必須產(chǎn)生另一個(gè)固定數(shù)字(基數(shù))的指數(shù)。 一般來(lái)說(shuō),乘冪允許將任何正實(shí)數(shù),提高到任何實(shí)際功率,總是產(chǎn)生正的結(jié)果,因此可以對(duì)于b不等于1的任何兩個(gè)正實(shí)數(shù)b和x計(jì)算對(duì)數(shù)。
由指數(shù)和對(duì)數(shù)的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系可得出:兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù),等于同一底數(shù)的這兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)的和,兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù),等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)對(duì)數(shù)的差。一個(gè)正數(shù)冪的對(duì)數(shù),等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪的指數(shù)。若式中冪指數(shù)則有以下的正數(shù)的算術(shù)根的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則:一個(gè)正數(shù)的算術(shù)根的對(duì)數(shù),等于被開(kāi)方數(shù)的對(duì)數(shù)除以根指數(shù)。