均值不等式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式。也是十分常見(jiàn)的一個(gè)考點(diǎn)。下面是由出國(guó)留學(xué)網(wǎng)編輯為大家整理的“均值不等式的推導(dǎo)過(guò)程有哪些”，僅供參考，歡迎大家閱讀本文。
公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)。
1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數(shù)：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。
推導(dǎo)過(guò)程
關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一數(shù)學(xué)歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這里簡(jiǎn)要介紹數(shù)學(xué)歸納法的證明方法：
(注：在此證明的，是對(duì)n維形式的均值不等式的證明方法。)
用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。
引理：設(shè)A≥0，B≥0，則，且僅當(dāng)B=0時(shí)取等號(hào)。
注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)(或用二項(xiàng)展開(kāi)公式更為簡(jiǎn)便)。
原題等價(jià)于：
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)。當(dāng)n=2時(shí)易證;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即 , 當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)
是
中最大者，則
設(shè)
根據(jù)引理
當(dāng)且僅當(dāng)
且
時(shí)，即
時(shí)取等號(hào)。利用琴生不等式法也可以很簡(jiǎn)單地證明均值不等式，同時(shí)還有柯西歸納法等等方法。