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實(shí)數(shù)的分類,實(shí)數(shù)可以分為幾類?
一、實(shí)數(shù)的分類
實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類,或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類。
實(shí)數(shù)集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)理論的核心研究對(duì)象。
所有實(shí)數(shù)的集合則可稱為實(shí)數(shù)系或?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)。任何一個(gè)完備的阿基米德有序域均可稱為實(shí)數(shù)系。在保序同構(gòu)意義下它是惟一的,常用R表示。由于R是定義了算數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算系統(tǒng),故有實(shí)數(shù)系這個(gè)名稱。
實(shí)數(shù)可以用來測(cè)量連續(xù)的量。理論上,任何實(shí)數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示,小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的,也可以是非循環(huán)的)。
二、這里應(yīng)當(dāng)注意
(1)有理數(shù)都可以化為小數(shù),其中整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面是零的小數(shù),例如5=5.0;分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),例如12=0.5(有限小數(shù)),13=0.3(無限循環(huán)小數(shù)).
(2)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),其中有開方開不盡的數(shù),如2,33等,也有π這樣的數(shù).
(3)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù),也就是說,一切有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來
表示;而無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù),它是無理數(shù).
實(shí)數(shù)的定義是什么?
一、實(shí)數(shù)的定義
實(shí)數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無限小數(shù),實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。但僅僅以列舉的方式不能描述實(shí)數(shù)的整體。實(shí)數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。
實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類,或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類。實(shí)數(shù)集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n 維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)理論的核心研究對(duì)象。
所有實(shí)數(shù)的集合則可稱為實(shí)數(shù)系(real number system)或?qū)崝?shù)連續(xù)統(tǒng)。任何一個(gè)完備的阿基米德有序域均可稱為實(shí)數(shù)系。在保序同構(gòu)意義下它是惟一的,常用R表示。由于R是定義了算數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算系統(tǒng),故有實(shí)數(shù)系這個(gè)名稱。
實(shí)數(shù)可以用來測(cè)量連續(xù)的量。理論上,任何實(shí)數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示,小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的`,也可以是非循環(huán)的)。在實(shí)際運(yùn)用中,實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位,n為正整數(shù))。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù),實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來表示。
二、歷史
在公元前500年左右,以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到有理數(shù)在幾何上不能滿足需要,但畢達(dá)哥拉斯本身并不承認(rèn)無理數(shù)的存在。 直到17世紀(jì),實(shí)數(shù)才在歐洲被廣泛接受。18世紀(jì),微積分學(xué)在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來。1871年,德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾第一次提出了實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義。
根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn),有理數(shù)集在數(shù)軸上似乎是“稠密”的,于是古人一直認(rèn)為用有理數(shù)即能滿足測(cè)量上的實(shí)際需要。以邊長(zhǎng)為1厘米的正方形為例,其對(duì)角線有多長(zhǎng)?在規(guī)定的精度下(比如誤差小于0.001厘米),總可以用有理數(shù)來表示足夠精確的測(cè)量結(jié)果(比如1.414厘米)。但是,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),只使用有理數(shù)無法完全精確地表示這條對(duì)角線的長(zhǎng)度,這徹底地打擊了他們的數(shù)學(xué)理念;他們?cè)詾椋?BR> 任何兩條線段(的長(zhǎng)度)的比,可以用自然數(shù)的比來表示。
正因如此,畢達(dá)哥拉斯本人甚至有“萬物皆數(shù)”的信念,這里的數(shù)是指自然數(shù)(1 , 2 , 3 ,...),而由自然數(shù)的比就得到所有正有理數(shù),而有理數(shù)集存在“縫隙”這一事實(shí),對(duì)當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)家來說可謂極大的打擊;見第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。