高中數(shù)學(xué)是一個非常讓人頭痛的學(xué)科，但是還有有許多同學(xué)擺正態(tài)度積極學(xué)習(xí)，為了更好的幫助他們提高成績。下面是由出國留學(xué)網(wǎng)小編為大家整理的“三角形余弦定理公式大全”，僅供參考，歡迎大家閱讀。
三角形余弦定理公式大全
余弦定理(第二余弦定理)
余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。
直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的余弦值
編輯本段
余弦定理性質(zhì)
對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì)--
a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA
b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)
cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)
(物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到)
第一余弦定理(任意三角形射影定理)
設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有
a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
編輯本段
余弦定理證明
平面向量證法
∵如圖，有a+b=c (平行四邊形定則:兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗體字符表示向量)
又∵cos(π-θ)=-Cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:這里用到了三角函數(shù)公式)
再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC
即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。
平面幾何證法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據(jù)勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2
b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
編輯本段
作用
(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角
(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。
(3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。)
判定定理一(兩根判別法):
若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號前取加號的值，c2為c的表達(dá)式中根號前取
減號的值
①若m(c1,c2)=2,則有兩解
②若m(c1,c2)=1,則有一解
③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。
注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。
判定定理二(角邊判別法):
一當(dāng)a>bsinA時
①當(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時，則有兩解
②當(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)
③當(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時，則有一解
④當(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)
⑤當(dāng)b
二當(dāng)a=bsinA時
①當(dāng)cosA>0(即A為銳角)時,則有一解
②當(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時，則有零解(即無解)
三當(dāng)a
解三角形公式 例如:已知△ABC的三邊之比為5:4:3，求最大的內(nèi)角。
解 設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大邊對大角可知:∠A為最大的角。由余弦定理
cos A=0
所以∠A=90°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長。
解 由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=13-6
=7
所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用計算器算)
以上兩個小例子簡單說明了余弦定理的作用。
其他
從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角一定是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍。
解三角形時，除了用到余弦定理外還常用正弦定理。
30° 45° 60°
Sin 1/2 √2/2 √3/2
Cos √3/2 √2/2 1/2
Tan √3/3 1 √3
拓展閱讀：三角形的三邊關(guān)系是什么
三角形三邊關(guān)系是三角形三條邊關(guān)系的定則，具體內(nèi)容是在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
三角形三邊關(guān)系是三角形三條邊關(guān)系的定則，具體內(nèi)容是在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。
設(shè)三角形三邊為a,b,c則a+b>c,a>c-b，b+c>a,b>a-c，a+c>b,c>b-a
直角三角形
性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余。
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。