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南京信息工程大學(xué)2019考研大綱：802高等代數(shù)
科目代碼：802
科目名稱：高等代數(shù)
第一部分 大綱內(nèi)容
1、多項(xiàng)式
(1)了解數(shù)域的概念;一元多項(xiàng)式的概念
(2)掌握整除、最大公因式、重因式、最大公因式、最小公倍式、可約、不可約、互質(zhì)、重因式、多項(xiàng)式函數(shù)等概念;
(3)掌握輾轉(zhuǎn)相除法、Eisenstein判別法以及整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法。
2、行列式
(1)了解n級(jí)排列、n級(jí)行列式、子式及代數(shù)余子式的概念;
(2)n級(jí)行列式的基本性質(zhì)、行列式的按一行(列)展開方法;Cramer法則;n級(jí)行列式的計(jì)算。
3、線性方程組
(1)了解n維向量空間概念;
(2)理解向量的線性相關(guān)、線性無關(guān)、極大無關(guān)組、矩陣的秩、自由未知量、增廣矩陣等概念;
(3)掌握線性方程組有解判別定理;線性方程組解的結(jié)構(gòu);極大無關(guān)組的求法，求解線性方程組的初等變換法;向量線性相關(guān)、線性無關(guān)性的證明。
4、矩陣
(1)了解矩陣的概念;伴隨矩陣及矩陣的逆的概念、矩陣等價(jià)的概念;
(2)理解初等變換與初等矩陣;矩陣的運(yùn)算法則;
(3)掌握矩陣的簡(jiǎn)單分塊、性質(zhì)及其運(yùn)算法則;積秩定理;矩陣逆的求法。
5、二次型
(1)了解二次型的概念及其矩陣表示;二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及其實(shí)、復(fù)規(guī)范形的概念;
(2)掌握正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差的概念;矩陣的主子式及順序主子式概念;矩陣合同的概念;
(3)掌握矩陣(二次型)的正定、半正定、不定的概念及其判定;二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法(包括化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形之合同變換陣的求法)。
6、線性空間
(1)了解集合、映射的概念;線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì);
(2)理解基變換與坐標(biāo)變換的概念及其求法;
(3)掌握維數(shù)、基與坐標(biāo)的計(jì)算;線性子空間、子空間的交與和、直和的概念及其基本性質(zhì);子空間的交與和的求法;維數(shù)公式及其運(yùn)用。
7、線性變換
(1)了解線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣;
(2)掌握矩陣特征值與特征向量的概念及其求法;線性變換的值域與核、不變子空間、約當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的概念;矩陣特征值與特征向量的基本性質(zhì);
(3)理解Hamilton一Cayley定理;矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件。
8、λ-矩陣
(1)掌握λ-矩陣、初等因子、不變因子、行列式因子的計(jì)算。
(2)掌握若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的求解。
9、歐里幾得空間
(1)理解歐氏空間的定義與基本性質(zhì);標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、正交矩陣的概念和基本性質(zhì);Gram矩陣及其性質(zhì);
(2)掌握歐幾里得空間之向量的長(zhǎng)度、單位向量、夾角、以及度量矩陣的概念;Gram—Schmidt正交化方法;
(3)掌握對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化方法以及將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交化方法。
第二部分 說明
1、基本要求：該課程的目的是使得學(xué)生能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的深入學(xué)習(xí)和研究，為學(xué)生進(jìn)行研究打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。該課程的要求是：全面掌握矩陣，線性方程組，線性空間理論的知識(shí)。
2、分值比例：“了解”占15%，“理解”占40%，“掌握”占45%。
3、題型分布：解答題和證明題兩種題型。
4、其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試。考試時(shí)間為180分鐘，試題主要測(cè)驗(yàn)考生對(duì)本學(xué)科的基礎(chǔ)理論、基本知識(shí)和基本技能掌握的程度，以及運(yùn)用所學(xué)理論分析、解決問題的能力。
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