數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中處于一個(gè)知識匯合點(diǎn)的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系。下面是出國留學(xué)網(wǎng)整理的等差數(shù)列教案范文，讓小編帶大家去認(rèn)識等差數(shù)列。
等差數(shù)列教案范文
2.2.1 等差數(shù)列
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課將探究一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列.本節(jié)課安排2課時(shí)，第1課時(shí)是在生活中具體例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)這個(gè)公式去進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.第2課時(shí)主要是讓學(xué)生明確等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)的公式，并能通過通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識等差數(shù)列的性質(zhì).讓學(xué)生明白一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，使學(xué)生學(xué)會用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問題.在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會探究.在問題探索過程中，先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗(yàn)所提出的猜想.其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用.
在教學(xué)過程中，應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過程中的主體地位.使學(xué)生認(rèn)識到生活離不開數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也是離不開生活的.學(xué)會在生活中挖掘數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化.
數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中處于一個(gè)知識匯合點(diǎn)的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊.教材采取將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、啟發(fā)學(xué)生思考問題的好素材.
三維目標(biāo)
1.通過實(shí)例理解等差數(shù)列的概念，通過生活中的實(shí)例抽象出等差數(shù)列模型，讓學(xué)生認(rèn)識到這一類數(shù)列是現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的數(shù)列模型.同時(shí)經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個(gè)具體數(shù)列的等差關(guān)系，歸納出等差數(shù)列的定義的過程.
2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的概念，通過歸納或迭加或迭代的方式探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.通過與一次函數(shù)的圖象類比，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.
3.通過對等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等 差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)及性質(zhì)，會用公式解決一些簡單的問題.
教學(xué)難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以及從函數(shù)、方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式，并會解決一些相關(guān)的問題.
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(直接導(dǎo)入)教師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)過的數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式，可有意識地在黑板上(或課件中)出示幾個(gè)數(shù)列，如：數(shù)列1,2,3，…，數(shù)列0,0,0，…，數(shù)列0,2,4,6，…等，然后直接引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例，不知不覺中就已經(jīng)進(jìn)入了新課.
思路2.(類比導(dǎo)入)教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，使學(xué)生明了我們現(xiàn)在要研究的就是一列數(shù).由此我們聯(lián)想：在初中我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，研究了它的一些運(yùn)算與性質(zhì)，那么我們能不能也像研究實(shí)數(shù)一樣，來研究它的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)呢?由此導(dǎo)入新課.
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
?1?回憶數(shù)列的概念，數(shù)列都有哪幾種表示方法?
?2?閱讀教科書本節(jié)內(nèi)容中的①②③3個(gè)背景實(shí)例，熟悉生活中常見現(xiàn)象，寫出由3個(gè)實(shí)例所得到的數(shù)列.
?3?觀察數(shù)列①②③，它們有什么共同特點(diǎn)?
?4?根據(jù)數(shù)列①②③的特征，每人能再舉出2個(gè)與其特征相同的數(shù)列嗎?
?5?什么是等差數(shù)列?怎樣理解等差數(shù)列?其中的關(guān)鍵字詞是什么?
?6?數(shù)列①②③存在通項(xiàng)公式嗎?如果存在，分別是什么?
?7?等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?怎樣推導(dǎo)?
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列及其簡單表示法——列表法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點(diǎn).然后引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例模型，指導(dǎo)學(xué)生寫出這3個(gè)模型的數(shù)列：
①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…;
②2,9,16,23,30;
③89,83,77,71,65,59,53,47.
這是由日常生活中經(jīng)常遇到的實(shí)際問題中得到的數(shù)列.觀察這3個(gè)數(shù)列發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)列中相鄰的后項(xiàng)減前項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù).當(dāng)然這里我們是拿后項(xiàng)減前項(xiàng)，其實(shí)前項(xiàng)減后項(xiàng)也是一個(gè)常數(shù)，為了后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)方便，這個(gè) 順序不能顛倒.
至此學(xué)生會認(rèn)識到，具備這個(gè)特征的數(shù)列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數(shù)列為100,99,98,97，…，某體育場一角的看臺的座位排列：第一排15個(gè)座位，向后依次為17,19,21,23，…，等等.
以上這些數(shù)列的共同特征是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(即等差).這就是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容.教師先讓學(xué)生試著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數(shù)列的定義.
等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.
教師引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)定義：這里公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，若前項(xiàng)減后項(xiàng)則為-d，這就是為什么前面3個(gè)模型的分析中總是說后項(xiàng)減前項(xiàng)而不說前項(xiàng)減后項(xiàng)的原因.顯然3個(gè)模型數(shù)列都是等差數(shù)列，公差依次為0.5,7，-6.
教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確、深入地理解和掌握概念的重要條件，這是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).因此教師應(yīng)該教會學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識問題的能力)
這里“從第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”是等差數(shù)列定義中的核心部分.用遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義：對于數(shù)列{an}，若an-an-1=d(d是與n無關(guān)的常數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列.這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法.點(diǎn)撥學(xué)生注意這里的“n≥2”，若n包括1，則數(shù)列是從第1項(xiàng)向前減，顯然無從減起.若n從3開始，則會漏掉a2-a1的差，這也不符合定義，如數(shù)列1,3 ,4,5,6，顯然不是等差數(shù)列，因此要從意義上深刻理解等差數(shù)列的定義.
教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列①②③的通項(xiàng)公式，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列通項(xiàng)公式的定義，觀察每一數(shù)列的項(xiàng)與序號之間的關(guān)系會很快寫出：①an=21.5+0.5n，②an=7n-5，③an=-6n+95.
以上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn)，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性.教師點(diǎn)撥學(xué)生探求，對任意等差數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，根據(jù)等差數(shù)列的定義都有：
a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
……
所以a2=a1+d，
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d.
學(xué)生很容易猜想出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an= a1+(n-1)d后，教師適時(shí)點(diǎn)明：我們歸納出的公式只是一個(gè)猜想，嚴(yán)格的證明需要用到后面的其他知識.
教師可就此進(jìn)一步點(diǎn)撥學(xué)生：數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的思考方法，后面還要專門探究它.數(shù)學(xué)中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，對于它的證明中國已處于世界領(lǐng)先地位.很多著名的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想開始的.但要注意，數(shù)學(xué)猜想僅是一種數(shù)學(xué)想象，在未得到嚴(yán)格的證明前不能當(dāng)作正確的結(jié)論來用.這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d是經(jīng)過嚴(yán)格證明了的，只是現(xiàn)在我們知識受限，無法證明，所以說我們先承認(rèn)它.鼓勵(lì)學(xué)生只要?jiǎng)?chuàng)新探究，獨(dú)立思考，也會有自己的新奇發(fā)現(xiàn).
教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，也可引導(dǎo)學(xué)生得出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的其他推導(dǎo)方法.例如：
方法一(疊加法)：∵{an}是等差數(shù)列，
∴an-an-1=d，
an-1-an-2=d，
an-2-an-3=d，
……
a2-a1=d.
兩邊分別相加得an-a1=(n-1)d，
所以an=a1+(n-1)d，
方法二(迭代法)：{an}是等差數(shù)列，則有
an=an-1+d，
=an-2+d+d
=an-2+2d
=an-3+d+2d
=an-3+3d
……
=a1+(n-1)d.
所以an=a1+(n-1)d.
討論結(jié)果：
(1)～(4)略.
(5)如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.其中關(guān)鍵詞為“從第2項(xiàng)起”、“等于同一個(gè)常數(shù)”.
(6)三個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，它們分別是：an=21.5+0.5n，an=7n-5，an=-6n+95.
(7)可用疊加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d.
應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例2)
活動(dòng)：本例的目的是讓學(xué)生熟悉公式，使學(xué)生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系.教學(xué)時(shí)要使學(xué)生認(rèn)識到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于an、a1、d、n(獨(dú)立的量有3個(gè))的方程，以便于學(xué)生能把方程思想和通項(xiàng)公式相結(jié)合，解決等差數(shù)列問題.本例中的(2)是判斷一個(gè)數(shù)是否是某等差數(shù)列的項(xiàng).這個(gè)問題可以看作(1)的逆問題.需要向?qū)W生說明的是，求出的項(xiàng)數(shù)為正整數(shù)，所給數(shù)就是已知數(shù)列中的項(xiàng)，否則，就不是已知數(shù)列中的項(xiàng).本例可由學(xué)生自己獨(dú)立解決，也可做板演之用，教師只是對有困難的學(xué)生給予恰當(dāng)點(diǎn)撥.
點(diǎn)評：在數(shù)列中，要讓學(xué)生明確解方程的思路.
變式訓(xùn)練
(1)100是不是等差數(shù)列2,9,16，…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)?如果不是，請說明理由;
(2)-20是不是等差數(shù)列0，-312，-7，…的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)?如果不是，請說明理由.
解：(1)由題意，知a1=2，d=9-2=7.因而通項(xiàng)公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15，所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).
(2)由題意可知a1=0，d=-312，因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-72n+72.
令-72n+72=-20，解得n=477.因?yàn)?72n+72=-20沒有正整數(shù)解，所以-20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
例2一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為125，公差d>0，從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大，求公差d的范圍.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題意，思考條件“從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大”的含義，應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)條件?是否僅是a10>1呢?d>0的條件又說明什么?教師可讓學(xué)生合作探究，放手讓學(xué)生討論，不要怕學(xué)生出錯(cuò).
解：∵d>0，設(shè)等差數(shù)列為{an}，則有a1
由題意，得1
即a10>1a9≤1125+?10-1?d>1，125+?9-1?d≤1，
解得875
點(diǎn)評：本例學(xué)生很容易解得不完整，解完此題后讓學(xué)生反思解題過程.本題主要訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及對公差的深刻理解.
變式訓(xùn)練
在數(shù)列{an}中，已知a1=1，1an+1=1an+13(n∈N*)，求a50.
解：已知條件可化為1an+1-1an=13(n∈N*)，
由等差數(shù)列的定義，知{1an}是首項(xiàng)為1a1=1，公差為d=13的等差數(shù)列，
∴1a50=1+(50-1)×13=523.
∴a50=352.
例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是，首項(xiàng)與公差分別是什么?
活動(dòng)：要判定{an}是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，根據(jù)an-an-1(n>1)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù).
這實(shí)際上給出了判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的一個(gè)方法：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列.因而把等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)聯(lián)系了起來.本例設(shè)置的“旁注”，目的是為了揭示等差數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征：對于通項(xiàng)公式形如an=pn+q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.因此可以深化學(xué)生對等差數(shù)列的理解，同時(shí)還可以從多個(gè)角度去看待等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，有利于以后更好地把握等差數(shù)列的性質(zhì).在教學(xué)時(shí)教師要根據(jù)學(xué)生解答的情況，點(diǎn)明這點(diǎn).
解：當(dāng)n≥2時(shí)，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù)，
所以{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，公差為p.
點(diǎn)評：(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….
(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項(xiàng)公式.
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=6n-1.問這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?若是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與公差分別是多少?
解：∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常數(shù))，
∴{an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為a1=6×1-1=5，公差為6.
點(diǎn)評：該訓(xùn)練題的目的是進(jìn)一步熟悉例3的內(nèi)容.需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，若用an-an-1=d，則必須強(qiáng)調(diào)n≥2這一前提條件，若用an+1-an=d，則可不對n進(jìn)行限制.
知能訓(xùn)練
1.(1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項(xiàng);
(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)?如果是，是第幾項(xiàng)?
2.求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).
答案：
1.解：(1)由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為
an=-5-4(n-1)=-4n-1.
由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-4n-1成立.解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).
2.解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.
∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3+(n-1)×4，
即an=4n-1(n≥1，n∈N*).
∴a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.
課堂小結(jié)
1.先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.教師進(jìn)一步集中強(qiáng)調(diào)，本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”.這是我們研究有關(guān)等差數(shù)列的主要出發(fā)點(diǎn)，是判斷、證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法，要注意這里的“等差”是對任意相鄰兩項(xiàng)來說的.
作業(yè)
習(xí)題2—2 A組1、2.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)突出了重點(diǎn)概念的教學(xué)，突出了等差數(shù)列的定義和對通項(xiàng)公式的認(rèn)識與應(yīng)用.等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映和高度概括，準(zhǔn)確地把握定義是正確認(rèn)識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件.通項(xiàng)公式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個(gè)數(shù)列的重要工具.因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，因此通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.
本教案設(shè)計(jì)突出了教法學(xué)法與新課程理念的接軌，引導(dǎo)綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學(xué)，這是一種非常重要的學(xué)習(xí)方法;在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗(yàn)所提出的猜想.
本教案設(shè)計(jì)突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練.通過一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個(gè)角度觀察問題，這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素質(zhì).只有在學(xué)習(xí)過程中有意識地將知識遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗(yàn)多樣性，學(xué)懂學(xué)透，融會貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增.
(設(shè)計(jì)者：周長峰)
第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié)課我們研究了數(shù)列中的一個(gè)重要概念——等差數(shù)列的定義，讓學(xué)生回憶這個(gè)定義，并舉出幾個(gè)等差數(shù)列的例子.接著教師引導(dǎo)學(xué)生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項(xiàng)與項(xiàng)之間有什么新的發(fā)現(xiàn)?比如，在同一個(gè)等差數(shù)列中，與某一項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)的和會是什么呢?由此展開新課.
思路2.(直接導(dǎo)入)教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容：等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項(xiàng)，之后直接提出等差中項(xiàng)的概念讓學(xué)生探究，由此而展開新課.
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
?1?請學(xué)生回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的定義，如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列??2?等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是怎樣得出來的?它與一次函數(shù)有什么關(guān)系??3?什么是等差中項(xiàng)?怎樣求等差中項(xiàng)??4?根據(jù)等差中項(xiàng)的概念，你能探究出哪些重要結(jié)論呢?
活動(dòng)：借助課件，教師引導(dǎo)學(xué)生先回憶等差數(shù)列的定義，一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an-an-1=d(n≥2，n∈N*)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(通常用字母“d”表示).
再一起回顧通項(xiàng)公式，等差數(shù)列{an}有兩種通項(xiàng)公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數(shù)).
由上面的兩個(gè)公式我們還可以得到下面幾種計(jì)算公差d的方法：①d=an-an-1;②d=an-a1n-1;③d=an-amn-m.
對于通項(xiàng)公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項(xiàng)公式，后又用疊加法及迭代法推導(dǎo)了通項(xiàng)公式.
教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本等差中項(xiàng)的概念，引導(dǎo)學(xué)生探究：如果我們在數(shù)a與數(shù)b中間插入一個(gè)數(shù)A，使三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么數(shù)A應(yīng)滿足什么樣的條件呢?
由定義可得A-a=b-A，即A=a+b2.
反之，若A=a+b2，則A-a=b-A，
由此可以得A=a+b2a，A，b成等差數(shù)列.
由此我們得出等差中項(xiàng)的概念：如果三個(gè)數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng).如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則A=x+y2.
根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).
如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項(xiàng)，也是1和9的等差中項(xiàng).
9是7和11的等差中項(xiàng)，也是5和13的等差中項(xiàng).
等差中項(xiàng)及其應(yīng)用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a，A，b成等差數(shù)列2A=a+b，以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或直接由a，A，b間的關(guān)系證得a，A，b成等差數(shù)列.
根據(jù)等差中項(xiàng)的概念我們來探究這樣一個(gè)問題：如上面的數(shù)列1,3,5,7,9,11,13，…中，我們知道2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8，那么你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?再驗(yàn)證一下，結(jié)果有a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6. 由此我們猜想這個(gè)規(guī)律可推廣到一般，即在等差數(shù)列{an}中，若m、n、p、q∈N*且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，這個(gè)猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來的，沒有嚴(yán)格證明，不能說它就一定是正確的.讓學(xué)生進(jìn)一步探究怎樣證明它的正確性呢?只要運(yùn)用通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項(xiàng)為a1，則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.
因?yàn)槲覀冇衜+ n=p+q，所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.
由此我們的一個(gè)重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和.另外，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.同樣地，我們還有：若m+n=2p，則am+an=2ap.這也是等差中項(xiàng)的內(nèi)容.
我們自然會想到由am+an=ap+aq能不能推出m+n=p+q呢?舉個(gè)反例，這里舉個(gè)常數(shù)列就可以說明結(jié)論不成立.
這說明在等差數(shù)列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分條件.由此我們還進(jìn)一步推出an+1-an=d=an+2-an+1，即2an+1=an+an+2，這也是證明等差數(shù)列的常用方法.
同時(shí)我們通過這個(gè)探究過程明白：若要說明一個(gè)猜想正確，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明，若要說明一個(gè)猜想不正確，僅舉一個(gè)反例即可.
討論結(jié)果：(1)(2)略.
(3)如果三個(gè)數(shù)x，A，y成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，且A=x+y2.
(4)得到兩個(gè)重要結(jié)論：①在數(shù)列{an}中，若2an+1=an+an+2(n∈N*)，則{an}是等差數(shù)列.
②在等差數(shù)列中，若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)，則am+an=ap+aq.
應(yīng)用示例
例1在等差數(shù)列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.
活動(dòng)：本例是一道基本量運(yùn)算題，運(yùn)用方程思想可由已知條件求出a1，d，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式an，則a3，a9不難求出.應(yīng)要求學(xué)生掌握這種解題方法，理解數(shù)列與方程的關(guān)系.
解：由已知，得a1+a1+5d=9，a1+3d=7，解得a1=-8，d=5.
∴通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d=-8+5(n-1)=5n-13.
∴a3=2，a9=32.
點(diǎn)評：本例解法是數(shù)列問題的基本運(yùn)算，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握，當(dāng)然對學(xué)有余力的同學(xué)來說，教師可引導(dǎo)探究一些其他解法，如a1+a6=a4+a3=9.
∴a3=9-a4=9-7=2.
由此可得d=a4-a3=7-2=5
∴a9=a4+5d=32.
點(diǎn)評：這種解法巧妙，技巧性大，需對等差數(shù)列的定義及重要結(jié)論有深刻的理解.
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( )
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
答案：C
解析：依題意知，a2=a1+a1=2a1，a1=12a2=-3，an+1=an+a1=an-3，
可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a10= a1+9d=-3-9×3=-30.
例2(教材本節(jié)例5)
活動(dòng)：本例是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用.正如邊注所說，相當(dāng)于已知直線過點(diǎn)(1,17)，斜率為-0.6，求直線在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.可放手讓學(xué)生完成本例.
變式訓(xùn)練
等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2?a4=12，a2+a4=8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是… ( )
A.an=2n-2(n∈N*) B.an=2n+4(n∈N*)
C.an=-2n+12(n∈N*) D.an=-2n+10( n∈N*)
答案：D
解析：由題意知a2?a4=12a2+a4=8d<0a2=6a4=2a1=8，d=-2，
所以由an=a1+(n-1)d，得an=8+(n-1)(-2)=-2n+10.
例3 已知a、b、c成等差數(shù)列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差數(shù)列?
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式?本題的關(guān)鍵是考察在a+c=2b的條件下，是否有以下結(jié)果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).教師可讓學(xué)生自己探究完成，必要時(shí)給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.
解：∵a、b、c成等差數(shù)列，
∴a+c=2b.
又∵a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2b+a2c+ac2+bc2-2b2c-2ab2
=(a2b-2ab2)+(bc2-2b2c)+(a2c+ac2)
=ab(a-2b)+bc(c-2b)+ac(a+c)
=-abc-abc+2abc
=0，
∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).
∴a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差數(shù)列.
點(diǎn)評：如果a、b、c成等差數(shù)列，常轉(zhuǎn)化為a+c=2b的形式，反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證a+c=2b.有時(shí)還需運(yùn)用一些等價(jià)變形技巧，才能獲得成功.
例4在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a、b、c，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以考慮：一是利用等差數(shù)列的定義與通項(xiàng);一是利用等差中項(xiàng)加以處理.讓學(xué)生自己去探究，教師一般不要給予提示，對個(gè)別探究有困難的學(xué)生可適時(shí)地給以點(diǎn)撥、提示.
解：(方法一)設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為{an}，由已知，a1=-1，a5=7，
∴7=-1+(5-1)d，即d=2.
∴所求的數(shù)列為-1,1,3,5,7.
(方法二)∵-1，a，b，c,7成等差數(shù)列，
∴b是-1,7的等差中項(xiàng)，a是-1，b的等差中項(xiàng)，c是b,7的等差中項(xiàng)，即b=-1+72=3，a=-1+b2=1，c=b+72=5.
∴所求數(shù)列為-1,1,3,5,7.
點(diǎn)評：通過此題可以看出，應(yīng)多角度思考，多角度觀察，正像前面所提出的那樣，盡量換個(gè)角度看問題，以開闊視野，培養(yǎng)自己求異發(fā)散的思維能力.
變式訓(xùn)練
數(shù)列{an}中，a3=2，a7=1，且數(shù)列{1an+1}是等差數(shù)列，則a11等于( )
A.-25 B.12 C.23 D.5
答案：B
解析：設(shè)bn=1an+1，則b3=13，b7=12，
因?yàn)閧1an+1}是等差數(shù)列，可求得公差d=124，
所以b11=b7+(11-7)d=23，即a11=1b11-1=12.
例5某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4千米(不含4千米)計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車前往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少元的車費(fèi)?
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型.在這里也就是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型.引導(dǎo)學(xué)生找出首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的知識解決實(shí)際問題.
解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時(shí)，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi).
令a1=11.2表示4 km處的車費(fèi)，公差d=1.2，那么，當(dāng)出租車行至14 km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
答：需要支付車費(fèi)23.2元.
點(diǎn)評：本例中令a1=11.2，這點(diǎn)要引起學(xué)生注意，這樣一來，前往14 km處的目的地就相當(dāng)于n=11，這點(diǎn)極容易弄錯(cuò).
知能訓(xùn)練
1.已知等差數(shù)列{an}中，a1+a3+a5+a7=4，則a2+a4+a6等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，則a4+a5+a6等于( )
A.40 B.42 C.43 D.45
答案：
1.解析：由a1+a3+a5+a7=4，知4a4=4，即a4=1.
∴a2+a4+a6=3a4=3.
答案：A
2.解析：∵a2+a3=13，
∴2a1+3d=13.
∵a1=2，∴d=3.
而a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
答案：B
課堂小結(jié)
1.先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你是如何通過舊知識來獲取新知識的?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.教師進(jìn)一步畫龍點(diǎn)睛，本節(jié)課我們在上節(jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個(gè)很重要的結(jié)論，一個(gè)是等差數(shù)列的證明方法，一個(gè)是等差數(shù)列的性質(zhì)，要注意這些重要結(jié)論的靈活運(yùn)用.
作業(yè)
課本習(xí)題2—2 A組5、6、7.
設(shè)計(jì)感想
本教案是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的，設(shè)計(jì)的活動(dòng)主要都是學(xué)生自己完成的.特別是上節(jié)課通項(xiàng)公式的歸納、猜想給學(xué)生留下了很深的記憶;本節(jié)課只是繼續(xù)對等差數(shù)列進(jìn)行這方面的探究.
本教案除了安排教材上的兩個(gè)例題外，還針對性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題及變式訓(xùn)練.為了學(xué)生的課外進(jìn)一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題及備用習(xí)題，目的是讓學(xué)生對等差數(shù)列的有關(guān)知識作進(jìn)一步拓展探究，以開闊學(xué)生的視野.
本教案的設(shè)計(jì)意圖還在于，加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.這不僅有利于知識的融會貫通，加深對數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，而且反過來可使學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識深化一步，讓學(xué) 生體會到數(shù)學(xué)是有趣的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人振奮的，借此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.
備課資料
一、備用例題
【例1】 梯子最高一級寬33 cm，最低一級寬為110 cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級的寬度.
解：設(shè){an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知a1=33，a12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.
因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=10 3.
答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
【例2】 已知1a，1b，1c成等差數(shù)列，求證：b+ca，c+ab，a+bc也成等差數(shù)列.
證明：因?yàn)?a，1b，1c成等差數(shù)列，所以2b=1a+1c，化簡得2ac=b(a+c)，所以有
b+ca+a+bc=bc+c2+a2+abac=b?a+c?+a2+c2ac=2ac+a2+c2ac=?a+c?2ac=?a+c?2b?a+c?2=2?a+cb.
因而b+ca，c+ab，a+bc也成等差數(shù)列.
【例3】 設(shè)數(shù)列{an}{bn}都是等差數(shù)列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，求數(shù)列{an+bn}的第37項(xiàng)的值.
分析：由數(shù)列{an}{bn}都是等差數(shù)列，可得{an+bn}是等差數(shù)列，故可求出數(shù)列{an+bn}的公差和通項(xiàng).
解：設(shè)數(shù)列{an}{bn}的公差分別為d1，d2，則(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2為常數(shù)，所以可得{an+bn}是等差數(shù)列.設(shè)其公差為d，則公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.
所以數(shù)列{an+bn}的第37項(xiàng)的值為-250.
點(diǎn)評：若一個(gè)數(shù)列未告訴我們是等差數(shù)列時(shí)，應(yīng)先由定義法判定它是等差數(shù)列后，方可使用通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d.但對客觀試題則可以直接運(yùn)用某些重要結(jié)論，直接判定數(shù)列是否為等差數(shù)列.
二、備用習(xí)題
1.已知等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
2.在數(shù)列{an}中3an+1=3an+2(n∈N*)，且a2+a4+a7+a9=20，則a10為( )
A.5 B.7 C.8 D.10
3.在等差數(shù)列{an}中，a1+3a8+a15=120，則3a9-a11的值為( )
A.6 B.12 C.24 D.48
4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為14的等差數(shù)列，則|m-n|等于( )
A.1 B.34 C.12 D.38
5.在等差數(shù)列{an}中，a5=3，a6=-2，則a4+a5+…+a10=__________.
6.已知a、b、c成等差數(shù)列，且a、b、c三數(shù)之和為15，若a2，b2+9，c2也成等差數(shù)列，求a、b、c.
7.設(shè)1a+b，1a+c，1b+c成等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2也成等差數(shù)列.
8.成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為2 6，第二數(shù)與第三數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù).
9.有一批影碟機(jī)(VCD)原銷售價(jià)為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下方法促銷：買一臺單價(jià)為780元，買兩臺單價(jià)為760元，以此類推，每多買一臺則所買各臺單價(jià)均減少20元，但每臺最少不低于440元;乙商場一律都按原價(jià)的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機(jī)，問去哪一家商場購買花費(fèi)較少?
參考答案：
1.A 方法一：∵a7+a9=a4+a12，
∴a12=15.
方法二：∵數(shù)列{an}成等差數(shù)列，
∴a7+a9=2a8.
∴a8=8.
又∵a4，a8，a12成等差數(shù)列，
∴公差d=a8-a4=7.
∴a12=a8+d=8+7=15.
2.C 由已知得an+1-an=23，
∴{an}是首項(xiàng)為a1，公差d=23的等差數(shù)列.
a2+a4+a7+a9=4a1+18d=20，解得a1=2，
∴a10=2+23(10-1)=8.
3.D ∵a1+a15=2a8，
∴a1+3a8+a15=5a8=120.
∴a8=24.
而3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)=2a1+14d=2(a1+7d)=2a8=48.
4.C 設(shè)a1=14，a2=14+d，a3=14+2d，a4=14+3d，
而方程x2-2x+m=0中的兩根之和為2，方程x2-2x+n=0中的兩根之和也是2，
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.
∴d=12.
∴a1=14，a4=74是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a2=34，a3=54是另一個(gè)方程的兩個(gè)根.
∴716，1516為m或n.
∴|m-n|=12.
5.-49
6.解：由已知得2b=a+c，a+b+c=15，2?b2+9?=a2+c2，
解之，得a=8，b=5，c=2，或a=2，b=5，c=8.
7.證明：由已知得1a+b+1b+c=2?1a+c，化簡得a2+c2=2b2，
∴a2，b2，c2成等差數(shù)列.
8.解：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d，a-d，a+d，a+3d，
則由題設(shè)得?a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26，?a-d??a+d?=40，
解得a=132，d=32，或a=132，d=-32.
∴所求四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.
9.解：設(shè)某單位需購買影碟機(jī)n臺，在甲商場購買每臺售價(jià)不低于440元時(shí)，售價(jià)依臺數(shù)n成等差數(shù)列{an}.
an=780+(n-1)(-20)=800-20n，解不等式an≥440,800-20n≥440，得n≤18.
當(dāng)購買臺數(shù)小于18時(shí)，每臺售價(jià)為800-2n元，在臺數(shù)大于或等于18時(shí)，每臺售價(jià)440元.
到乙商場購買，每臺售價(jià)為800×75%=600(元)，作差(800-20n)n-600n=20n(10-n)，
∴當(dāng)n<10時(shí)，600n<(800-20n)n;
當(dāng)n=10時(shí)，600n=(800-20n)n;
當(dāng)10
當(dāng)n>18時(shí)，440n<600n.
∴當(dāng)購買少于10臺時(shí)，到乙商場花費(fèi)較少， 當(dāng)購買10臺時(shí)，到兩商場購買花費(fèi)相同，當(dāng)購買多于10臺時(shí)，到甲商場購買花費(fèi)較少.