高中數(shù)學(xué)選修1-2《直接證明與間接證明》教案
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程及特點(diǎn).
自主梳理
1.直接證明
(1)綜合法
①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論________，這種證明方法叫做綜合法.
②框圖表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知條件，Q表示要證的結(jié)論).
(2)分析法
①定義：從________________出發(fā)，逐步尋求使它成立的__________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等).這種證明的方法叫做分析法.
②框圖表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一個(gè)明顯成立的條件.
2.間接證明
反證法：假設(shè)原命題__________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出________，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.
自我檢測(cè)
1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
2.(2011•揭陽(yáng)模擬)用反證法證明“如果a>b，那么3a>3b”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是( )
A.3a=3b B.3a<3b
C.3a=3b且3a<3b D.3a=3b或3a<3b
3.設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a-c|≤|a-b|+|c-b|
B.a2+1a2≥a+1a
C.a+3-a+1
D.|a-b|+1a-b≥2
4.(2010•廣東)在集合{a，b，c，d}上定義兩種運(yùn)算⊕和⊗如下：
那么d⊗(a⊕c)等于( )
A.a B.b C.c D.d
5.(2011•東北三省四市聯(lián)考)設(shè)x、y、z∈R+，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，則a、b、c三數(shù)( )
A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2
C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2
探究點(diǎn)一 綜合法
例1 已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2≥13(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
變式遷移1 設(shè)a，b，c>0，證明：
a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
探究點(diǎn)二 分析法
例2 (2011•馬鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：
lg a+b2+lg b+c2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c.
變式遷移2 已知a>0，求證： a2+1a2-2≥a+1a-2.
探究點(diǎn)三 反證法
例3 若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x+y>2，
求證：1+xy<2與1+yx<2中至少有一個(gè)成立.
變式遷移3 若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)(2010•上海改編)若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m.
(1)若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍.
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2abab.
多角度審題 (1)本題屬新定義題，根據(jù)“遠(yuǎn)離”的含義列出不等式，然后加以求解.
(2)第(2)小題，實(shí)質(zhì)是證明不等式|a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|成立.證明時(shí)注意提取公因式及配方法的運(yùn)用.
【答題模板】
(1)解 由題意得x2-1>1，
即x2-1>1或x2-1<-1.[2分]
由x2-1>1，得x2>2，即x<-2或x>2;由x2-1<-1，得x∈∅.
綜上可知x的取值范圍為(-∞，-2)∪(2，+∞).[4分]
(2)證明 由題意知即證a3+b3-2abab>a2b+ab2-2abab成立.[6分]
∵a≠b，且a、b都為正數(shù)，
∴a3+b3-2abab=?a3?2+?b3?2-2a3b3=?a3-b3?2=(aa-bb)2，
a2b+ab2-2abab=ab?a+b-2ab?=ab(a-b)2=(ab-ba)2，[8分]
即證(aa-bb)2-(ab-ba)2>0，
即證(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)>0，
需證?a-b??a+b??a-b??a+b?>0，[10分]
即證(a+b)(a-b)2>0，∵a、b都為正數(shù)且a≠b，∴上式成立.故原命題成立.[12分]
【突破思維障礙】
1.準(zhǔn)確理解題意，提煉出相應(yīng)不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
2.代數(shù)式|a3+b3-2abab|與|a2b+ab2-2abab|中的絕對(duì)值符號(hào)去掉為后續(xù)等價(jià)變形提供了方便.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
1.推理論證能力較差，絕對(duì)值符號(hào)不會(huì)去.
2.運(yùn)用能力較差，不能有效地進(jìn)行式子的等價(jià)變形或中間變形出錯(cuò).
1.綜合法是從條件推導(dǎo)到結(jié)論的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.即由因?qū)Ч?
2.分析法是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).即執(zhí)果索因，用分析法尋找解題思路，再用綜合法書(shū)寫(xiě)，這樣比較有條理，叫分析綜合法.
3.用反證法證明問(wèn)題的一般步驟：
(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面(否定命題)成立;(否定結(jié)論)
(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾;(推導(dǎo)矛盾)
(3)結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立.(結(jié)論成立)
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1.用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是( )
A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)
B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)
C.假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)
D.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)
2.(2011•濟(jì)南模擬)a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2+c2=2bc，則下列關(guān)系中可能成立的是( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
3.設(shè)a、b、c∈(0，+∞)，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.(2010•上海普陀2月統(tǒng)考)已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式中成立的是( )
A.ba<1 B.a2>b2
C.|a+b|>|a-b| D.1ab2>1a2b
5.(2011•廈門(mén)月考)如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則( )
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形
D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.(2011•江蘇前黃高級(jí)中學(xué)模擬)某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)=f(1)，如果對(duì)于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)|<12.那么他的反設(shè)應(yīng)該是______________________________.
7.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算a*b=(a+1)(b+1)-1，給出以下結(jié)論：
①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，有a*(b*c)=(a*b)*c;
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，有a*0=a.則以上結(jié)論正確的是________.(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào))
8.(2011•揭陽(yáng)模擬)已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：
①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.
其中命題正確的是________(填序號(hào)).
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求證：|a|+|b||a-b|≤2.
10.(12分)(2011•寧波月考)已知a、b、c>0，求證：a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).
11.(14分)(2011•寧波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時(shí)大于14.
學(xué)案38 直接證明與間接證明
自主梳理
1.(1)①推理論證 成立 (2)①要證明的結(jié)論 充分條件
2.不成立 矛盾
自我檢測(cè)
1.A [由分析法的定義可知.]
2.D [因?yàn)?a>3b的否定是3a≤3b，
即3a=3b或3a<3b.]
3.D [D選項(xiàng)成立時(shí)需得證a-b>0.A中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|，B作差可證;
C移項(xiàng)平方可證.]
4.A [由所給的定義運(yùn)算知a⊕c=c，d⊗c=a.]
5.C [a+b+c=x+1y+y+1z+z+1x≥6，
因此a、b、c至少有一個(gè)不小于2.]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn)用和對(duì)題設(shè)條件的運(yùn)用.這里可從基本不等式相加的角度先證得a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立，再進(jìn)一步得出結(jié)論.
證明 ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)
=(a+b+c)2.
∴a2+b2+c2≥13(a+b+c)2;
∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)，
∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).
∴原命題得證.
變式遷移1 證明 ∵a，b，c>0，根據(jù)基本不等式，
有a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c.
三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(a+b+c).
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
例2 解題導(dǎo)引 當(dāng)所給的條件簡(jiǎn)單，而所證的結(jié)論復(fù)雜，一般采用分析法.含有根號(hào)、對(duì)數(shù)符號(hào)、絕對(duì)值的不等式，若從題設(shè)不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮分析法.
證明 要證lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c，
只需證lga+b2•b+c2•c+a2>lg(a•b•c)，
只需證a+b2•b+c2•c+a2>abc.(中間結(jié)果)
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù)，
則a+b2≥ab>0，b+c2≥bc>0，c+a2≥ca>0.
且上述三式中的等號(hào)不全成立，
所以a+b2•b+c2•c+a2>abc.(中間結(jié)果)
所以lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.
變式遷移2 證明 要證 a2+1a2-2≥a+1a-2，
只要證 a2+1a2+2≥a+1a+2.
∵a>0，故只要證 a2+1a2+22≥a+1a+22，
即a2+1a2+4 a2+1a2+4
≥a2+2+1a2+22a+1a+2，
從而只要證2a2+1a2≥2a+1a，
只要證4a2+1a2≥2a2+2+1a2，
即a2+1a2≥2，而該不等式顯然成立，故原不等式成立.
例3 解題導(dǎo)引 (1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.
(2)利用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤.
證明 假設(shè)1+xy<2和1+yx<2都不成立，
則有1+xy≥2和1+yx≥2同時(shí)成立，
因?yàn)閤>0且y>0，
所以1+x≥2y，且1+y≥2x，
兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，
這與已知條件x+y>2相矛盾，
因此1+xy<2與1+yx<2中至少有一個(gè)成立.
變式遷移3 證明 假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.
∵a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6，
∴x2-2y+π2+y2-2z+π3+z2-2x+π6
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0，①
又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0，π-3>0，
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.②
①式與②式矛盾，∴假設(shè)不成立，即a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
課后練習(xí)區(qū)
1.B
2.C [由a2+c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a=2，c=1，可得b=52，可知C可能成立.]
3.C [必要性是顯然成立的，當(dāng)PQR>0時(shí)，若P、Q、R不同時(shí)大于零，則其中兩個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，不妨設(shè)P>0，Q<0，R<0，則Q+R=2c<0，這與c>0矛盾，即充分性也成立.]
4.D [ba<1⇔b-aa<0⇔a(a-b)>0.
∵a>b，∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0，
因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立;
a2>b2⇔(a-b)(a+b)>0，∵a-b>0，只有當(dāng)a+b>0時(shí)，a2>b2成立，故B不一定成立;
|a+b|>|a-b|⇔(a+b)2>(a-b)2⇔ab>0，
而ab<0也有可能，故C不一定成立;
由于1ab2>1a2b⇔a-ba2b2>0⇔(a-b)a2b2>0.
∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正確.]
5.D [由條件知，△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，
由sin A2=cos A1=sinπ2-A1，sin B2=cos B1=sinπ2-B1，sin C2=cos C1=sinπ2-C1，得A2=π2-A1，B2=π2-B1，C2=π2-C1，
那么，A2+B2+C2=π2，
這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角形.]
6.“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，
則|f(x1)-f(x2)|≥12”
7.②③
解析 按新定義，可以驗(yàn)證a*(b+c)≠(a*b)+(a*c);
所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立，
a*0=(a+1)(0+1)-1=a.
所以正確的結(jié)論是②③.
8.①
解析
由三視圖知，在三棱錐S—ABC中，底面ABC為直角三角形且∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又SA⊥底面ABC，
∴BC⊥SA，由于SA∩AC=A，
∴BC⊥平面SAC.
所以命題①正確.
由已知推證不出②③命題正確.故填①.
9.證明 ∵a⊥b，∴a•b=0.(2分)
要證|a|+|b||a-b|≤2，只需證：|a|+|b|≤2|a-b|，(4分)
平方得：|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a•b)，(8分)
只需證：|a|2+|b|2-2|a||b|≥0，(10分)
即(|a|-|b|)2≥0，顯然成立.故原不等式得證. (12分)
10.證明 ∵a2+b2≥2ab，a、b、c>0，
∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b)，(3分)
∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2，
∴a3+b3≥a2b+ab2.(6分)
同理，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，
將三式相加得，
2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(9分)
∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).(12分)
11.證明 方法一 假設(shè)三式同時(shí)大于14，
即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，(3分)
∵a、b、c∈(0,1)，
∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164.
(8分)
又(1-a)a≤1-a+a22=14，(10分)
同理(1-b)b≤14，(1-c)c≤14，
∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤164，(12分)
這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.(14分)
方法二 假設(shè)三式同時(shí)大于14，
∵00，(2分)
?1-a?+b2≥ ?1-a?b> 14=12，(8分)
同理?1-b?+c2>12，?1-c?+a2>12，(10分)
三式相加得32>32，這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，
∴原命題正確.(14分)
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導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程及特點(diǎn).2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程及特點(diǎn).
自主梳理
1.直接證明
(1)綜合法
①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論________，這種證明方法叫做綜合法.
②框圖表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P表示已知條件，Q表示要證的結(jié)論).
(2)分析法
①定義：從________________出發(fā)，逐步尋求使它成立的__________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等).這種證明的方法叫做分析法.
②框圖表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一個(gè)明顯成立的條件.
2.間接證明
反證法：假設(shè)原命題__________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出________，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.
自我檢測(cè)
1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的( )
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
2.(2011•揭陽(yáng)模擬)用反證法證明“如果a>b，那么3a>3b”的假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是( )
A.3a=3b B.3a<3b
C.3a=3b且3a<3b D.3a=3b或3a<3b
3.設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是( )
A.|a-c|≤|a-b|+|c-b|
B.a2+1a2≥a+1a
C.a+3-a+1
D.|a-b|+1a-b≥2
4.(2010•廣東)在集合{a，b，c，d}上定義兩種運(yùn)算⊕和⊗如下：
那么d⊗(a⊕c)等于( )
A.a B.b C.c D.d
5.(2011•東北三省四市聯(lián)考)設(shè)x、y、z∈R+，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，則a、b、c三數(shù)( )
A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2
C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2
探究點(diǎn)一 綜合法
例1 已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2≥13(a+b+c)2≥ab+bc+ca.
變式遷移1 設(shè)a，b，c>0，證明：
a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
探究點(diǎn)二 分析法
例2 (2011•馬鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：
lg a+b2+lg b+c2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c.
變式遷移2 已知a>0，求證： a2+1a2-2≥a+1a-2.
探究點(diǎn)三 反證法
例3 若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x+y>2，
求證：1+xy<2與1+yx<2中至少有一個(gè)成立.
變式遷移3 若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6.求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)(2010•上海改編)若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|>|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m.
(1)若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍.
(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2abab.
多角度審題 (1)本題屬新定義題，根據(jù)“遠(yuǎn)離”的含義列出不等式，然后加以求解.
(2)第(2)小題，實(shí)質(zhì)是證明不等式|a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|成立.證明時(shí)注意提取公因式及配方法的運(yùn)用.
【答題模板】
(1)解 由題意得x2-1>1，
即x2-1>1或x2-1<-1.[2分]
由x2-1>1，得x2>2，即x<-2或x>2;由x2-1<-1，得x∈∅.
綜上可知x的取值范圍為(-∞，-2)∪(2，+∞).[4分]
(2)證明 由題意知即證a3+b3-2abab>a2b+ab2-2abab成立.[6分]
∵a≠b，且a、b都為正數(shù)，
∴a3+b3-2abab=?a3?2+?b3?2-2a3b3=?a3-b3?2=(aa-bb)2，
a2b+ab2-2abab=ab?a+b-2ab?=ab(a-b)2=(ab-ba)2，[8分]
即證(aa-bb)2-(ab-ba)2>0，
即證(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)>0，
需證?a-b??a+b??a-b??a+b?>0，[10分]
即證(a+b)(a-b)2>0，∵a、b都為正數(shù)且a≠b，∴上式成立.故原命題成立.[12分]
【突破思維障礙】
1.準(zhǔn)確理解題意，提煉出相應(yīng)不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
2.代數(shù)式|a3+b3-2abab|與|a2b+ab2-2abab|中的絕對(duì)值符號(hào)去掉為后續(xù)等價(jià)變形提供了方便.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
1.推理論證能力較差，絕對(duì)值符號(hào)不會(huì)去.
2.運(yùn)用能力較差，不能有效地進(jìn)行式子的等價(jià)變形或中間變形出錯(cuò).
1.綜合法是從條件推導(dǎo)到結(jié)論的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.即由因?qū)Ч?
2.分析法是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).即執(zhí)果索因，用分析法尋找解題思路，再用綜合法書(shū)寫(xiě)，這樣比較有條理，叫分析綜合法.
3.用反證法證明問(wèn)題的一般步驟：
(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面(否定命題)成立;(否定結(jié)論)
(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾;(推導(dǎo)矛盾)
(3)結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立.(結(jié)論成立)
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1.用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是( )
A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)
B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)
C.假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)
D.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)
2.(2011•濟(jì)南模擬)a，b，c為互不相等的正數(shù)，且a2+c2=2bc，則下列關(guān)系中可能成立的是( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
3.設(shè)a、b、c∈(0，+∞)，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR>0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.(2010•上海普陀2月統(tǒng)考)已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式中成立的是( )
A.ba<1 B.a2>b2
C.|a+b|>|a-b| D.1ab2>1a2b
5.(2011•廈門(mén)月考)如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則( )
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形
D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.(2011•江蘇前黃高級(jí)中學(xué)模擬)某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)=f(1)，如果對(duì)于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)|<12.那么他的反設(shè)應(yīng)該是______________________________.
7.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算a*b=(a+1)(b+1)-1，給出以下結(jié)論：
①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，有a*(b*c)=(a*b)*c;
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，有a*0=a.則以上結(jié)論正確的是________.(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào))
8.(2011•揭陽(yáng)模擬)已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：
①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.
其中命題正確的是________(填序號(hào)).
三、解答題(共38分)
9.(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求證：|a|+|b||a-b|≤2.
10.(12分)(2011•寧波月考)已知a、b、c>0，求證：a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).
11.(14分)(2011•寧波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時(shí)大于14.
學(xué)案38 直接證明與間接證明
自主梳理
1.(1)①推理論證 成立 (2)①要證明的結(jié)論 充分條件
2.不成立 矛盾
自我檢測(cè)
1.A [由分析法的定義可知.]
2.D [因?yàn)?a>3b的否定是3a≤3b，
即3a=3b或3a<3b.]
3.D [D選項(xiàng)成立時(shí)需得證a-b>0.A中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|，B作差可證;
C移項(xiàng)平方可證.]
4.A [由所給的定義運(yùn)算知a⊕c=c，d⊗c=a.]
5.C [a+b+c=x+1y+y+1z+z+1x≥6，
因此a、b、c至少有一個(gè)不小于2.]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運(yùn)用和對(duì)題設(shè)條件的運(yùn)用.這里可從基本不等式相加的角度先證得a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立，再進(jìn)一步得出結(jié)論.
證明 ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)
=(a+b+c)2.
∴a2+b2+c2≥13(a+b+c)2;
∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)，
∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).
∴原命題得證.
變式遷移1 證明 ∵a，b，c>0，根據(jù)基本不等式，
有a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c.
三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(a+b+c).
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
例2 解題導(dǎo)引 當(dāng)所給的條件簡(jiǎn)單，而所證的結(jié)論復(fù)雜，一般采用分析法.含有根號(hào)、對(duì)數(shù)符號(hào)、絕對(duì)值的不等式，若從題設(shè)不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮分析法.
證明 要證lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c，
只需證lga+b2•b+c2•c+a2>lg(a•b•c)，
只需證a+b2•b+c2•c+a2>abc.(中間結(jié)果)
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù)，
則a+b2≥ab>0，b+c2≥bc>0，c+a2≥ca>0.
且上述三式中的等號(hào)不全成立，
所以a+b2•b+c2•c+a2>abc.(中間結(jié)果)
所以lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.
變式遷移2 證明 要證 a2+1a2-2≥a+1a-2，
只要證 a2+1a2+2≥a+1a+2.
∵a>0，故只要證 a2+1a2+22≥a+1a+22，
即a2+1a2+4 a2+1a2+4
≥a2+2+1a2+22a+1a+2，
從而只要證2a2+1a2≥2a+1a，
只要證4a2+1a2≥2a2+2+1a2，
即a2+1a2≥2，而該不等式顯然成立，故原不等式成立.
例3 解題導(dǎo)引 (1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.
(2)利用反證法證明問(wèn)題時(shí)，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)誤.
證明 假設(shè)1+xy<2和1+yx<2都不成立，
則有1+xy≥2和1+yx≥2同時(shí)成立，
因?yàn)閤>0且y>0，
所以1+x≥2y，且1+y≥2x，
兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，
這與已知條件x+y>2相矛盾，
因此1+xy<2與1+yx<2中至少有一個(gè)成立.
變式遷移3 證明 假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.
∵a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6，
∴x2-2y+π2+y2-2z+π3+z2-2x+π6
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0，①
又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0，π-3>0，
∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.②
①式與②式矛盾，∴假設(shè)不成立，即a，b，c中至少有一個(gè)大于0.
課后練習(xí)區(qū)
1.B
2.C [由a2+c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a=2，c=1，可得b=52，可知C可能成立.]
3.C [必要性是顯然成立的，當(dāng)PQR>0時(shí)，若P、Q、R不同時(shí)大于零，則其中兩個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正，不妨設(shè)P>0，Q<0，R<0，則Q+R=2c<0，這與c>0矛盾，即充分性也成立.]
4.D [ba<1⇔b-aa<0⇔a(a-b)>0.
∵a>b，∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0，
因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立;
a2>b2⇔(a-b)(a+b)>0，∵a-b>0，只有當(dāng)a+b>0時(shí)，a2>b2成立，故B不一定成立;
|a+b|>|a-b|⇔(a+b)2>(a-b)2⇔ab>0，
而ab<0也有可能，故C不一定成立;
由于1ab2>1a2b⇔a-ba2b2>0⇔(a-b)a2b2>0.
∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正確.]
5.D [由條件知，△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，
由sin A2=cos A1=sinπ2-A1，sin B2=cos B1=sinπ2-B1，sin C2=cos C1=sinπ2-C1，得A2=π2-A1，B2=π2-B1，C2=π2-C1，
那么，A2+B2+C2=π2，
這與三角形內(nèi)角和為π相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以△A2B2C2是鈍角三角形.]
6.“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，
則|f(x1)-f(x2)|≥12”
7.②③
解析 按新定義，可以驗(yàn)證a*(b+c)≠(a*b)+(a*c);
所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立，
a*0=(a+1)(0+1)-1=a.
所以正確的結(jié)論是②③.
8.①
解析
由三視圖知，在三棱錐S—ABC中，底面ABC為直角三角形且∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又SA⊥底面ABC，
∴BC⊥SA，由于SA∩AC=A，
∴BC⊥平面SAC.
所以命題①正確.
由已知推證不出②③命題正確.故填①.
9.證明 ∵a⊥b，∴a•b=0.(2分)
要證|a|+|b||a-b|≤2，只需證：|a|+|b|≤2|a-b|，(4分)
平方得：|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a•b)，(8分)
只需證：|a|2+|b|2-2|a||b|≥0，(10分)
即(|a|-|b|)2≥0，顯然成立.故原不等式得證. (12分)
10.證明 ∵a2+b2≥2ab，a、b、c>0，
∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b)，(3分)
∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2，
∴a3+b3≥a2b+ab2.(6分)
同理，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，
將三式相加得，
2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(9分)
∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).(12分)
11.證明 方法一 假設(shè)三式同時(shí)大于14，
即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，(3分)
∵a、b、c∈(0,1)，
∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164.
(8分)
又(1-a)a≤1-a+a22=14，(10分)
同理(1-b)b≤14，(1-c)c≤14，
∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤164，(12分)
這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.(14分)
方法二 假設(shè)三式同時(shí)大于14，
∵00，(2分)
?1-a?+b2≥ ?1-a?b> 14=12，(8分)
同理?1-b?+c2>12，?1-c?+a2>12，(10分)
三式相加得32>32，這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，
∴原命題正確.(14分)
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