高中數(shù)學(xué)選修1-1《全稱量詞與存在量詞》教案
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：
1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且、非”的含義.
2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
自主梳理
1.邏輯聯(lián)結(jié)詞
命題中的或，且，非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.“p且q”記作p∧q，“p或q”記作p∨q，“非p”記作綈p.
2.命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3.全稱量詞與存在量詞
(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“∀”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).
(2)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“∃”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).
自我檢測(cè)
1.命題“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是( )
A.∃x∈R，x2-2x+1≥0 B.∃x∈R，x2-2x+1>0
C.∀x∈R，x2-2x+1≥0 D.∀x∈R，x2-2x+1<0
答案 C
解析 因要否定的命題是特稱命題，而特稱命題的否定為全稱命題.對(duì)x2-2x+1<0的否定為x2-2x+1≥0，故選C.
2.若命題p：x∈A∩B，則綈p是( )
A.x∈A且x B B.x A或x B
C.x A且x B D.x∈A∪B
答案 B
解析 ∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，
∴綈p：x A或x B.
3.(2011•大連調(diào)研)若p、q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p∨q”的否定是真命題，則必有( )
A.p真q真 B.p假q假
C.p真q假 D.p假q真
答案 B
解析 ∵“p∨q”的否定是真命題，
∴“p∨q”是假命題，∴p，q都假.
4.(2010•湖南)下列命題中的假命題是( )
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*，(x-1)2>0
C.∃x∈R，lg x<1
D.∃x∈R，tan x=2
答案 B
解析 對(duì)于B選項(xiàng)x=1時(shí)，(x-1)2=0.
5.(2009•遼寧)下列4個(gè)命題：
p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;
p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;
p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;
p4：∀x∈(0，13)，(12)x
其中的真命題是( )
A.p1，p3 B.p1，p4
C.p2，p3 D.p2，p4
答案 D
解析 取x=12，則log12x=1，log13x=log32<1，
p2正確.
當(dāng)x∈(0，13)時(shí)，(12)x<1，而log13x>1，p4正確.
探究點(diǎn)一 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假
例1 寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.
(1)p：1是素?cái)?shù);q：1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p：平行四邊形的對(duì)角線相等;q：平行四邊形的對(duì)角線互相垂直;
(3)p：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同;q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的絕對(duì)值相等.
解題導(dǎo)引 正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義是解題的關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷.其步驟為：①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;②判斷其中簡(jiǎn)單命題的真假;③根據(jù)其真值表判斷復(fù)合命題的真假.
解 (1)p∨q：1是素?cái)?shù)或是方程x2+2x-3=0的根.真命題.
p∧q：1既是素?cái)?shù)又是方程x2+2x-3=0的根.假命題.
綈p：1不是素?cái)?shù).真命題.
(2)p∨q：平行四邊形的對(duì)角線相等或互相垂直.假命題.
p∧q：平行四邊形的對(duì)角相等且互相垂直.假命題.
綈p：有些平行四邊形的對(duì)角線不相等.真命題.
(3)p∨q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同或絕對(duì)值相等.假命題.
p∧q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同且絕對(duì)值相等.假命題.
綈p：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)不相同.真命題.
變式遷移1 (2011•廈門(mén)月考)已知命題p：∃x∈R，使tan x=1，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1
①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題，其中正確的是( )
A.②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
答案 D
解析 命題p：∃x∈R，使tan x=1是真命題，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1
∴①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;
③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題.
探究點(diǎn)二 全(特)稱命題及真假判斷
例2 判斷下列命題的真假.
(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.
(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.
(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.
解題導(dǎo)引 判定一個(gè)全(特)稱命題的真假的方法：
(1)全稱命題是真命題，必須確定對(duì)集合中的每一個(gè)元素都成立，若是假命題，舉反例即可.
(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個(gè)元素使得命題成立.
解 (1)真命題，
因?yàn)閤2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.
(2)真命題，如α=π4，β=π2，符合題意.
(3)假命題，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.
(4)真命題，例如x0=0，y0=3符合題意.
變式遷移2 (2011•日照月考)下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是( )
A.∀x∈R，x2+3<0
B.∀x∈N，x2≥1
C.∃x∈Z，使x5<1
D.∃x∈Q，x2=3
答案 C
解析 由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命題“∀x∈R，x2+3<0”為假命題;
由于0∈N，當(dāng)x=0時(shí)，x2≥1不成立，所以命題“∀x∈N，x2≥1”為假命題;
由于-1∈Z，當(dāng)x=-1時(shí)，x5<1，所以命題“∃x∈Z，使x5<1”為真命題;
由于使x2=3成立的數(shù)只有±3，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“∃x∈Q，x2=3”為假命題.
探究點(diǎn)三 全稱命題與特稱命題的否定
例3 寫(xiě)出下列命題的“否定”，并判斷其真假.
(1)p：∀x∈R，x2-x+14≥0;
(2)q：所有的正方形都是矩形;
(3)r：∃x∈R，x2+2x+2≤0;
(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3+1=0.
解題導(dǎo)引 (1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定;而一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可.
(2)要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假.因?yàn)閜與綈p的真假相反且一定有一個(gè)為真，一個(gè)為假.
解 (1)綈p：∃x∈R，x2-x+14<0，這是假命題，
因?yàn)?forall;x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假.
(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題.
(3)綈r：∀x∈R，x2+2x+2>0，是真命題，這是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.
(4)綈s：∀x∈R，x3+1≠0，是假命題，這是由于x=-1時(shí)，x3+1=0.
變式遷移3 (2009•天津)命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A.不存在x0∈R,2x0>0
B.存在x0∈R,2x0≥0
C.對(duì)任意的x∈R,2x≤0
D.對(duì)任意的x∈R,2x>0
答案 D
解析 本題考查全稱命題與特稱命題的否定.原命題為特稱命題，其否定應(yīng)為全稱命題，而“≤”的否定是“>”，所以其否定為“對(duì)任意的x∈R,2x>0”.
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)已知命題p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命題q：“∃x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命題“p且q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答題模板】
解 由“p且q”是真命題，
則p為真命題，q也為真命題. [3分]
若p為真命題，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]
若q為真命題，
即x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，
Δ=4a2-4(2-a)≥0，
即a≥1或a≤-2， [10分]
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-2或a=1. [12分]
【突破思維障礙】
含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假，求出參數(shù)存在的條件，命題p轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，命題q轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根問(wèn)題，最后再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件.若直接求p成立的條件困難，可轉(zhuǎn)化成求綈p成立的條件，然后取補(bǔ)集.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
“p且q”為真是全真則真，要區(qū)別“p或q”為真是一真則真，命題q就是方程x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，所以Δ≥0.不是找一個(gè)x0使方程成立.
1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解.
(1)“或”與日常生活用語(yǔ)中的“或”意義有所不同，日常用語(yǔ)“或”帶有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”含有“同時(shí)兼有”的意思，如x<6或x>9.
(2)命題“非p”就是對(duì)命題“p”的否定，即對(duì)命題結(jié)論的否定;否命題是四種命題中的一種，是對(duì)原命題條件和結(jié)論的同時(shí)否定.
2.判斷復(fù)合命題的真假，要首先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后根據(jù)真值表判斷.
3.全稱命題“∀x∈M，p(x)”的否定是一個(gè)特稱命題“∃x∈M，綈p(x)”，
特稱命題“∃x∈M，p(x)”的否定是一個(gè)全稱命題“∀x∈M，綈p(x)”.
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1.(2011•宣城模擬)已知命題p：∃x∈R，x2-3x+3≤0，則( )
A.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題
B.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題
C.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題
D.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題
答案 C
解析 命題p是一個(gè)特稱命題，它的否定綈p：對(duì)所有的x∈R，都有x2-3x+3>0為真.故答案為C.命題的否定要否定量詞，即全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，而且要否定結(jié)論.
2.已知命題p：∀x∈R，ax2+2x+3>0，如果命題綈p是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a<13 B.a≤13
C.0
答案 B
解析 ∵命題綈p是真命題，∴命題p是假命題，而當(dāng)命題p是真命題時(shí)，不等式ax2+2x+3>0對(duì)一切x∈R恒成立，這時(shí)應(yīng)有a>0，Δ=4-12a<0，解得a>13.因此當(dāng)命題p是假命題，即命題綈p是真命題時(shí)，
實(shí)數(shù)a的范圍是a≤13.
3.(2011•龍巖月考)已知條件p：|x+1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是( )
A.a≥1 B.a≤1
C.a≥-3 D.a≤-3
答案 A
解析 綈p是綈q的充分不必要條件的等價(jià)命題為q是p的充分不必要條件，即q⇒p，而p q，條件p化簡(jiǎn)為x>1或x<-3，所以當(dāng)a≥1時(shí)，q⇒p.
4.已知命題“∀a，b∈R，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是( )
A.∀a，b∈R，如果ab<0，則a<0
B.∀a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0
C.∃a，b∈R，如果ab<0，則a<0
D.∃a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0
答案 B
解析 ∀a，b∈R是大前堤，在否命題中也不變，又因ab>0，a>0的否定分別為ab≤0，a≤0，故選B.
5.(2011•寧波調(diào)研)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是( )
A.命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件
C.命題“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”
D.命題“若x=y，則sin x=sin y”的逆否命題為真命題
答案 D
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.(2010•安徽)命題“對(duì)∀x∈R，|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________.
答案 ∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤3
7.已知命題p：“∀x∈R，∃m∈R使4x-2x+1+m=0”，若命題綈p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________.
答案 m≤1
解析 命題綈p是假命題，即命題p是真命題，也就是關(guān)于x的方程4x-2x+1+m=0有
實(shí)數(shù)解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于f(x)=-(2x-1)2+1，所以當(dāng)x-Ray
時(shí)f(x)≤1，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤1.
8.(2010•安徽)命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
______________________.
答案 對(duì)任意x∈R，都有x2+2x+5≠0
解析 因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對(duì)任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.
三、解答題(共38分)
9.(12分)分別指出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命題的真假.
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};
(2)p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù);
(3)p：0∈∅，q：{x|x2-3x-5<0}⊆R;
(4)p：5≤5，q：27不是質(zhì)數(shù).
解 (1)∵p是假命題，q是真命題，
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，
綈p為真命題.(3分)
(2)∵1是奇數(shù)，
∴p是真命題.
又∵1不是質(zhì)數(shù)，
∴q是假命題.
因此p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為假命題.(6分)
(3)∵0 ∅，∴p為假命題.
又∵x2-3x-5<0⇒3-292
∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292
∴q為真命題.
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為真命題.(9分)
(4)顯然p：5≤5為真命題，q：27不是質(zhì)數(shù)為真命題，
∴p∨q為真命題，p∧q為真命題，綈p為假命題.
(12分)
10.(12分)(2011•錦州月考)命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f(x)=(3-2a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 設(shè)g(x)=x2+2ax+4，
由于關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開(kāi)口向上且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
故Δ=4a2-16<0，∴-2
又∵函數(shù)f(x)=(3-2a)x是增函數(shù)，
∴3-2a>1，∴a<1.(6分)
又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假.
(1)若p真q假，則-2
∴1≤a<2;(8分)
(2)若p假q真，
則a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)
綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為
1≤a<2，或a≤-2.(12分)
11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根，q：4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.
解 p：x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根⇔Δ1=m2-4>0-m<0⇔m>2.(3分)
q：4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.
⇔Δ2=16(m-2)2-16<0⇔1
因?yàn)閜或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反.
①當(dāng)p真且q假時(shí)，有m>2m≤1或m≥3
⇒m≥3;(10分)
②當(dāng)p假且q真時(shí)，有m≤21
綜上可知，m的取值范圍為{m|1
《全稱量詞與存在量詞》練習(xí)題及答案
一、選擇題(每小題3分,共18分)
1.(2014•煙臺(tái)高二檢測(cè))對(duì)下列命題的否定說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.p:能被2整除的數(shù)是偶數(shù); p:存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)
B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形為正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形
D.p:∃x0∈R, +x0+2≤0; p:∀x∈R,x2+x+2>0
【解析】選C.“有的三角形為正三角形”為特稱命題,其否定為全稱命題:所有的三角形都不是正三角形,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
2.關(guān)于命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的敘述正確的是( )
A. p:∃x0∈R, +1≠0
B. p:∀x∈R,x2+1=0
C.p是真命題, p是假命題
D.p是假命題, p是真命題
【解析】選C.命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x 0∈R, +1=0”.所以p是真命題, p是假命題.
3.(2014•廣州高二檢測(cè))命題“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )
A.∃x0>0,使得 -x0≤0
B.∃x0>0,使得 -x0>0
C.∀x>0,都有x2-x>0
D.∀x≤0,都有x2-x>0
【解析】選B.由含有一個(gè)量詞的命題的否定易知選B.
【變式訓(xùn)練】已知命題p:∃x0∈R, +1<0,則 p是( )
A.∃x0∈R, +1≥0 B.∀x∈R,x2+1≥0
C.∃x0∈R, +1≠0 D.∀x∈R,x2+1<0
【解析】選B.命題p是一個(gè)特稱命題,其否定為全稱命題, p:∀x∈R,x2+1≥0.
4.已知命題p:“對(duì)∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x•m+1=0”.若命題 p是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.-2≤m≤2 B.m≥2
C.m≤-2 D.m≤-2或m≥2
【解題指南】根據(jù)p與 p的真假性相反知p是真命題,然后求m的取值范圍即可.
【解析】選C.因?yàn)?p是假命題,所以p是真命題.X kB1.cOM
所以m=- ≤-2.
5.已知命題p:∀x∈R,2x2+2x+ <0;命題q:∃x0∈R,sinx0-cosx0= ,則下列判斷正確的是( )
A.p是真命題 B.q是假命題
C. p是假命題 D. q是假命題
【解析】選D.因?yàn)?x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命題.又因?yàn)閟inx-cosx= sin ,所以 ∃x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命題,故選D.
6.(2013•衡水高二檢測(cè))已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:對(duì)任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q為假,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.m≤-2 B.m≥2
C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2
【解題指南】先判斷命題p,q的真假,轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)量詞的命題的否定求參數(shù)的取值范圍,再求交集.
【解析】選B.由p或q為假,得p,q都是假命題,從而 p, q都是真命題.
p:對(duì)任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;
q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,
解得m≥2或m≤-2.
綜上所述,m≥2為所求.
二、填空題(每小題4分,共12分)
7.(2014•深圳高二檢測(cè))命題“同位角相等”的否定為 ,否命題為 ________________________.
【解析】全稱命題的否定是特稱命題,“若p,則q”的否命題是“若 p,則 q”.故否定為:有的同位角不相等.否命題為:若兩個(gè)角不是同位角,則它們不相等.
答案:有的同位角不相等 若兩個(gè)角不是同位角,則它們不相等
【誤區(qū)警示】解答本題易混淆命題的否定與否命題的概念,命題的否定只否定結(jié)論,而否命題既否定條件又否定結(jié)論.
8.(2014•長(zhǎng)春高二檢測(cè))設(shè)命題p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若 p為真,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ___________________.
【解析】因?yàn)?p為真,又 p:∃x0∈R, +ax0+2≥0,而函數(shù)f(x)=x2+ax+2開(kāi)口向上,所以a∈R.
答案:a∈R
9.命題“∃x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定為 ______ ________________.
【解析】命題是特稱命題,其 否定是全稱命題,否定為:∀x,y<0,x2+y2<2xy.
答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy
三、解答題(每小題10分,共20分)
10.(2014•日照高二檢測(cè))已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】2x>m(x2+1)可化為mx2-2x+m<0.
若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)為真,
則mx2-2x+m<0對(duì)任意的x∈R恒成立.
當(dāng)m=0時(shí),不等式可化為-2x<0,顯然不恒成立;
當(dāng)m≠0時(shí),有m<0,Δ=4-4m2<0,
所以m<-1.[來(lái)
若q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0為真,
則方程 +2x0-m-1=0有實(shí)根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q為真,故p,q均為真命題.
所以m<-1且m≥-2,
所以-2≤m<-1.
11.寫(xiě)出下列命題的否定,判斷其真假并給出證明.
命題:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行.
【解題指南】先寫(xiě)出否 定,再判真假,最后給出證明.
【解析】命題的否定:已知a=(1,2),則對(duì)任意的b=(x,1),a+2b與2a-b都不平行,是一個(gè)假命題.
證明如下:假設(shè)存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行,則a +2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).
2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).
因?yàn)閍+2b與2a-b平行,
所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).
即(2x+1,4)=λ(2-x,3).
所以 ⇔2x+1= (2-x).
解得x= .
這就是說(shuō)存在b= 使a+2b與2a-b平行,故已知命題為真命題,其否定為假命題.
(30分鐘 50分)
一、選擇題(每小題4分,共16分)
1.(2012•湖北高考)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是( )
A.任意一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)
B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)
C.存在一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)
D.存在一個(gè)無(wú) 理數(shù),它的平方不是有理數(shù)
【解析】選B.特稱命題的否定是全稱命題,將存在量詞改為全稱量詞,然后再否定結(jié)論即可.
2.已知命題p:∀n∈N,2n >1000,則 p為( )
A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n<1000
C.∃n0∈N, ≤1000 D.∃n0∈N, <1000
【解析】選C.全稱命題的否定是特稱命題,故 p:∃n0∈N, ≤1000.
【舉一反三】若本題中的命題p換為“∃n0∈N, >1000”,其他條件不變,結(jié)論又如何呢?
【解析】選A.將存在量詞“∃”改為全稱量詞“∀”, 然后否定結(jié)論即可, p:
∀n∈N,2n≤1000.
3.(2014•大連高二檢測(cè))命題p:x=2且y=3,則 p為( )
A.x≠2或y≠3 B.x≠2且y≠3
C.x=2或y≠3 D.x≠2或y= 3
【解題指南】“且”的否定為“或”,然后否定結(jié)論即可.
【解析】選A.將“且”改為“或”,將x=2與y=3都否定即為原命題的否定, p為:x≠2或y≠3.
4.下列關(guān)于命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的敘述正確的是( )
A. p:∃x0∈R, ≠sinx0
B. p:∀x∈R, =sinx
C.p是真命題, p是假命題
D.p是假命題, p是真命題
【解析】選C.命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的否定是 p:∀x∈R, ≠sinx.
當(dāng)x=0時(shí), =sinx,所以p是真命題, p是假命題.
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.命題“對(duì)任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【解析】根據(jù)全稱命題的否定形式寫(xiě).
答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3
6.(2014•蘭州高二檢測(cè))已知命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命題“p且q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _______.
【解析】命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”為真,則a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;
命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”為真,則“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.
若命題“p且q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-2或a=1}.
答案:{a|a≤-2或a=1}
【變式訓(xùn)練】已知命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0.若命題p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【解析】方法一:若命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0是真命題,則Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.
因?yàn)槊}p是假命題,所以a(a-1)<0,解得0
方 法二:依題意,命題 p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命題,則Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0
答案:(0,1)
三、解答題(每小題12分,共24分)
7.寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷其真假.
(1)p:不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根.
(2)q:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x+1≤0.
(3)r:等圓的面積相等,周長(zhǎng)相等.
(4)s:對(duì)任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
【解析】(1)這一命題可以表述為p:“對(duì)所有的實(shí)數(shù)m,方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”,其否定形式是 p:“存在實(shí)數(shù)m0,使得x2+x-m0=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”.
注意到當(dāng)Δ=1+4m0<0時(shí),即m0<- 時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以 p是真命題.
(2)這一命題的否定形式是 q :“對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以證得 q是一個(gè)真命題.
(3)這一命題的否定形式是 r:“存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長(zhǎng)不相等”,由平面幾何知識(shí)知 r是一個(gè)假命題.
(4)這一命題的否定形式是 s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命題s是真命題,所以 s是假命題.
8.(2014•汕頭高二檢測(cè))設(shè)p:“∃x0∈R, -ax0+1=0”,q:“函數(shù)y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域?yàn)閇1,+∞)”,若“p∨q”是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】由 -ax0+1=0有實(shí)根,
得 Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.
因此命題p為真命題的范圍是a≥2或a≤-2.
由函數(shù)y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域?yàn)閇1,+∞),得a≥0.
因此命題q為真命題的范圍是a≥0.
根據(jù)p∨q為假命題知:p,q均是假命題,p為假命題對(duì)應(yīng)的范圍是-2
這樣得到二者均為假命題的范圍就是 ⇒-2
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導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：
1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且、非”的含義.
2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.
自主梳理
1.邏輯聯(lián)結(jié)詞
命題中的或，且，非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.“p且q”記作p∧q，“p或q”記作p∨q，“非p”記作綈p.
2.命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3.全稱量詞與存在量詞
(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“∀”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，綈p(x).
(2)短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“∃”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，綈p(x).
自我檢測(cè)
1.命題“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是( )
A.∃x∈R，x2-2x+1≥0 B.∃x∈R，x2-2x+1>0
C.∀x∈R，x2-2x+1≥0 D.∀x∈R，x2-2x+1<0
答案 C
解析 因要否定的命題是特稱命題，而特稱命題的否定為全稱命題.對(duì)x2-2x+1<0的否定為x2-2x+1≥0，故選C.
2.若命題p：x∈A∩B，則綈p是( )
A.x∈A且x B B.x A或x B
C.x A且x B D.x∈A∪B
答案 B
解析 ∵“x∈A∩B”⇔“x∈A且x∈B”，
∴綈p：x A或x B.
3.(2011•大連調(diào)研)若p、q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p∨q”的否定是真命題，則必有( )
A.p真q真 B.p假q假
C.p真q假 D.p假q真
答案 B
解析 ∵“p∨q”的否定是真命題，
∴“p∨q”是假命題，∴p，q都假.
4.(2010•湖南)下列命題中的假命題是( )
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*，(x-1)2>0
C.∃x∈R，lg x<1
D.∃x∈R，tan x=2
答案 B
解析 對(duì)于B選項(xiàng)x=1時(shí)，(x-1)2=0.
5.(2009•遼寧)下列4個(gè)命題：
p1：∃x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;
p2：∃x∈(0,1)，log12x>log13x;
p3：∀x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;
p4：∀x∈(0，13)，(12)x
其中的真命題是( )
A.p1，p3 B.p1，p4
C.p2，p3 D.p2，p4
答案 D
解析 取x=12，則log12x=1，log13x=log32<1，
p2正確.
當(dāng)x∈(0，13)時(shí)，(12)x<1，而log13x>1，p4正確.
探究點(diǎn)一 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假
例1 寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假.
(1)p：1是素?cái)?shù);q：1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p：平行四邊形的對(duì)角線相等;q：平行四邊形的對(duì)角線互相垂直;
(3)p：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同;q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的絕對(duì)值相等.
解題導(dǎo)引 正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義是解題的關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷.其步驟為：①確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式;②判斷其中簡(jiǎn)單命題的真假;③根據(jù)其真值表判斷復(fù)合命題的真假.
解 (1)p∨q：1是素?cái)?shù)或是方程x2+2x-3=0的根.真命題.
p∧q：1既是素?cái)?shù)又是方程x2+2x-3=0的根.假命題.
綈p：1不是素?cái)?shù).真命題.
(2)p∨q：平行四邊形的對(duì)角線相等或互相垂直.假命題.
p∧q：平行四邊形的對(duì)角相等且互相垂直.假命題.
綈p：有些平行四邊形的對(duì)角線不相等.真命題.
(3)p∨q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同或絕對(duì)值相等.假命題.
p∧q：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)相同且絕對(duì)值相等.假命題.
綈p：方程x2+x-1=0的兩實(shí)根的符號(hào)不相同.真命題.
變式遷移1 (2011•廈門(mén)月考)已知命題p：∃x∈R，使tan x=1，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1
①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題，其中正確的是( )
A.②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
答案 D
解析 命題p：∃x∈R，使tan x=1是真命題，命題q：x2-3x+2<0的解集是{x|1
∴①命題“p∧q”是真命題;②命題“p∧綈q”是假命題;
③命題“綈p∨q”是真命題;④命題“綈p∨綈q”是假命題.
探究點(diǎn)二 全(特)稱命題及真假判斷
例2 判斷下列命題的真假.
(1)∀x∈R，都有x2-x+1>12.
(2)∃α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)∀x，y∈N，都有x-y∈N.
(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.
解題導(dǎo)引 判定一個(gè)全(特)稱命題的真假的方法：
(1)全稱命題是真命題，必須確定對(duì)集合中的每一個(gè)元素都成立，若是假命題，舉反例即可.
(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個(gè)元素使得命題成立.
解 (1)真命題，
因?yàn)閤2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.
(2)真命題，如α=π4，β=π2，符合題意.
(3)假命題，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.
(4)真命題，例如x0=0，y0=3符合題意.
變式遷移2 (2011•日照月考)下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是( )
A.∀x∈R，x2+3<0
B.∀x∈N，x2≥1
C.∃x∈Z，使x5<1
D.∃x∈Q，x2=3
答案 C
解析 由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命題“∀x∈R，x2+3<0”為假命題;
由于0∈N，當(dāng)x=0時(shí)，x2≥1不成立，所以命題“∀x∈N，x2≥1”為假命題;
由于-1∈Z，當(dāng)x=-1時(shí)，x5<1，所以命題“∃x∈Z，使x5<1”為真命題;
由于使x2=3成立的數(shù)只有±3，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“∃x∈Q，x2=3”為假命題.
探究點(diǎn)三 全稱命題與特稱命題的否定
例3 寫(xiě)出下列命題的“否定”，并判斷其真假.
(1)p：∀x∈R，x2-x+14≥0;
(2)q：所有的正方形都是矩形;
(3)r：∃x∈R，x2+2x+2≤0;
(4)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3+1=0.
解題導(dǎo)引 (1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定;而一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可.
(2)要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假.因?yàn)閜與綈p的真假相反且一定有一個(gè)為真，一個(gè)為假.
解 (1)綈p：∃x∈R，x2-x+14<0，這是假命題，
因?yàn)?forall;x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假.
(2)綈q：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題.
(3)綈r：∀x∈R，x2+2x+2>0，是真命題，這是由于∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.
(4)綈s：∀x∈R，x3+1≠0，是假命題，這是由于x=-1時(shí)，x3+1=0.
變式遷移3 (2009•天津)命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A.不存在x0∈R,2x0>0
B.存在x0∈R,2x0≥0
C.對(duì)任意的x∈R,2x≤0
D.對(duì)任意的x∈R,2x>0
答案 D
解析 本題考查全稱命題與特稱命題的否定.原命題為特稱命題，其否定應(yīng)為全稱命題，而“≤”的否定是“>”，所以其否定為“對(duì)任意的x∈R,2x>0”.
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)已知命題p：“∀x∈[1,2]，x2-a≥0”，命題q：“∃x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命題“p且q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答題模板】
解 由“p且q”是真命題，
則p為真命題，q也為真命題. [3分]
若p為真命題，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]
若q為真命題，
即x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，
Δ=4a2-4(2-a)≥0，
即a≥1或a≤-2， [10分]
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-2或a=1. [12分]
【突破思維障礙】
含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假，求出參數(shù)存在的條件，命題p轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，命題q轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根問(wèn)題，最后再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件.若直接求p成立的條件困難，可轉(zhuǎn)化成求綈p成立的條件，然后取補(bǔ)集.
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
“p且q”為真是全真則真，要區(qū)別“p或q”為真是一真則真，命題q就是方程x2+2ax+2-a=0有實(shí)根，所以Δ≥0.不是找一個(gè)x0使方程成立.
1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解.
(1)“或”與日常生活用語(yǔ)中的“或”意義有所不同，日常用語(yǔ)“或”帶有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”含有“同時(shí)兼有”的意思，如x<6或x>9.
(2)命題“非p”就是對(duì)命題“p”的否定，即對(duì)命題結(jié)論的否定;否命題是四種命題中的一種，是對(duì)原命題條件和結(jié)論的同時(shí)否定.
2.判斷復(fù)合命題的真假，要首先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后根據(jù)真值表判斷.
3.全稱命題“∀x∈M，p(x)”的否定是一個(gè)特稱命題“∃x∈M，綈p(x)”，
特稱命題“∃x∈M，p(x)”的否定是一個(gè)全稱命題“∀x∈M，綈p(x)”.
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1.(2011•宣城模擬)已知命題p：∃x∈R，x2-3x+3≤0，則( )
A.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題
B.綈p：∃x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題
C.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為真命題
D.綈p：∀x∈R，x2-3x+3>0，且綈p為假命題
答案 C
解析 命題p是一個(gè)特稱命題，它的否定綈p：對(duì)所有的x∈R，都有x2-3x+3>0為真.故答案為C.命題的否定要否定量詞，即全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，而且要否定結(jié)論.
2.已知命題p：∀x∈R，ax2+2x+3>0，如果命題綈p是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a<13 B.a≤13
C.0
答案 B
解析 ∵命題綈p是真命題，∴命題p是假命題，而當(dāng)命題p是真命題時(shí)，不等式ax2+2x+3>0對(duì)一切x∈R恒成立，這時(shí)應(yīng)有a>0，Δ=4-12a<0，解得a>13.因此當(dāng)命題p是假命題，即命題綈p是真命題時(shí)，
實(shí)數(shù)a的范圍是a≤13.
3.(2011•龍巖月考)已知條件p：|x+1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是( )
A.a≥1 B.a≤1
C.a≥-3 D.a≤-3
答案 A
解析 綈p是綈q的充分不必要條件的等價(jià)命題為q是p的充分不必要條件，即q⇒p，而p q，條件p化簡(jiǎn)為x>1或x<-3，所以當(dāng)a≥1時(shí)，q⇒p.
4.已知命題“∀a，b∈R，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是( )
A.∀a，b∈R，如果ab<0，則a<0
B.∀a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0
C.∃a，b∈R，如果ab<0，則a<0
D.∃a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0
答案 B
解析 ∀a，b∈R是大前堤，在否命題中也不變，又因ab>0，a>0的否定分別為ab≤0，a≤0，故選B.
5.(2011•寧波調(diào)研)下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是( )
A.命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件
C.命題“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1<0”
D.命題“若x=y，則sin x=sin y”的逆否命題為真命題
答案 D
二、填空題(每小題4分，共12分)
6.(2010•安徽)命題“對(duì)∀x∈R，|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________.
答案 ∃x∈R，|x-2|+|x-4|≤3
7.已知命題p：“∀x∈R，∃m∈R使4x-2x+1+m=0”，若命題綈p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________.
答案 m≤1
解析 命題綈p是假命題，即命題p是真命題，也就是關(guān)于x的方程4x-2x+1+m=0有
實(shí)數(shù)解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于f(x)=-(2x-1)2+1，所以當(dāng)x-Ray
時(shí)f(x)≤1，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤1.
8.(2010•安徽)命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
______________________.
答案 對(duì)任意x∈R，都有x2+2x+5≠0
解析 因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對(duì)任意x∈R，都有x2+2x+5≠0.
三、解答題(共38分)
9.(12分)分別指出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命題的真假.
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};
(2)p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù);
(3)p：0∈∅，q：{x|x2-3x-5<0}⊆R;
(4)p：5≤5，q：27不是質(zhì)數(shù).
解 (1)∵p是假命題，q是真命題，
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，
綈p為真命題.(3分)
(2)∵1是奇數(shù)，
∴p是真命題.
又∵1不是質(zhì)數(shù)，
∴q是假命題.
因此p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為假命題.(6分)
(3)∵0 ∅，∴p為假命題.
又∵x2-3x-5<0⇒3-292
∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292
∴q為真命題.
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，綈p為真命題.(9分)
(4)顯然p：5≤5為真命題，q：27不是質(zhì)數(shù)為真命題，
∴p∨q為真命題，p∧q為真命題，綈p為假命題.
(12分)
10.(12分)(2011•錦州月考)命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f(x)=(3-2a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 設(shè)g(x)=x2+2ax+4，
由于關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開(kāi)口向上且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
故Δ=4a2-16<0，∴-2
又∵函數(shù)f(x)=(3-2a)x是增函數(shù)，
∴3-2a>1，∴a<1.(6分)
又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假.
(1)若p真q假，則-2
∴1≤a<2;(8分)
(2)若p假q真，
則a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)
綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為
1≤a<2，或a≤-2.(12分)
11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根，q：4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍.
解 p：x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根⇔Δ1=m2-4>0-m<0⇔m>2.(3分)
q：4x2+4(m-2)x+1=0無(wú)實(shí)根.
⇔Δ2=16(m-2)2-16<0⇔1
因?yàn)閜或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反.
①當(dāng)p真且q假時(shí)，有m>2m≤1或m≥3
⇒m≥3;(10分)
②當(dāng)p假且q真時(shí)，有m≤21
綜上可知，m的取值范圍為{m|1
《全稱量詞與存在量詞》練習(xí)題及答案
一、選擇題(每小題3分,共18分)
1.(2014•煙臺(tái)高二檢測(cè))對(duì)下列命題的否定說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.p:能被2整除的數(shù)是偶數(shù); p:存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)
B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形為正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形
D.p:∃x0∈R, +x0+2≤0; p:∀x∈R,x2+x+2>0
【解析】選C.“有的三角形為正三角形”為特稱命題,其否定為全稱命題:所有的三角形都不是正三角形,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
2.關(guān)于命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的敘述正確的是( )
A. p:∃x0∈R, +1≠0
B. p:∀x∈R,x2+1=0
C.p是真命題, p是假命題
D.p是假命題, p是真命題
【解析】選C.命題p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x 0∈R, +1=0”.所以p是真命題, p是假命題.
3.(2014•廣州高二檢測(cè))命題“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( )
A.∃x0>0,使得 -x0≤0
B.∃x0>0,使得 -x0>0
C.∀x>0,都有x2-x>0
D.∀x≤0,都有x2-x>0
【解析】選B.由含有一個(gè)量詞的命題的否定易知選B.
【變式訓(xùn)練】已知命題p:∃x0∈R, +1<0,則 p是( )
A.∃x0∈R, +1≥0 B.∀x∈R,x2+1≥0
C.∃x0∈R, +1≠0 D.∀x∈R,x2+1<0
【解析】選B.命題p是一個(gè)特稱命題,其否定為全稱命題, p:∀x∈R,x2+1≥0.
4.已知命題p:“對(duì)∀x∈R,∃m∈R,使4x+2x•m+1=0”.若命題 p是假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.-2≤m≤2 B.m≥2
C.m≤-2 D.m≤-2或m≥2
【解題指南】根據(jù)p與 p的真假性相反知p是真命題,然后求m的取值范圍即可.
【解析】選C.因?yàn)?p是假命題,所以p是真命題.X kB1.cOM
所以m=- ≤-2.
5.已知命題p:∀x∈R,2x2+2x+ <0;命題q:∃x0∈R,sinx0-cosx0= ,則下列判斷正確的是( )
A.p是真命題 B.q是假命題
C. p是假命題 D. q是假命題
【解析】選D.因?yàn)?x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命題.又因?yàn)閟inx-cosx= sin ,所以 ∃x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命題,故選D.
6.(2013•衡水高二檢測(cè))已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:對(duì)任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q為假,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.m≤-2 B.m≥2
C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2
【解題指南】先判斷命題p,q的真假,轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)量詞的命題的否定求參數(shù)的取值范圍,再求交集.
【解析】選B.由p或q為假,得p,q都是假命題,從而 p, q都是真命題.
p:對(duì)任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;
q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,
解得m≥2或m≤-2.
綜上所述,m≥2為所求.
二、填空題(每小題4分,共12分)
7.(2014•深圳高二檢測(cè))命題“同位角相等”的否定為 ,否命題為 ________________________.
【解析】全稱命題的否定是特稱命題,“若p,則q”的否命題是“若 p,則 q”.故否定為:有的同位角不相等.否命題為:若兩個(gè)角不是同位角,則它們不相等.
答案:有的同位角不相等 若兩個(gè)角不是同位角,則它們不相等
【誤區(qū)警示】解答本題易混淆命題的否定與否命題的概念,命題的否定只否定結(jié)論,而否命題既否定條件又否定結(jié)論.
8.(2014•長(zhǎng)春高二檢測(cè))設(shè)命題p:∀x∈R,x2+ax+2<0,若 p為真,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ___________________.
【解析】因?yàn)?p為真,又 p:∃x0∈R, +ax0+2≥0,而函數(shù)f(x)=x2+ax+2開(kāi)口向上,所以a∈R.
答案:a∈R
9.命題“∃x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定為 ______ ________________.
【解析】命題是特稱命題,其 否定是全稱命題,否定為:∀x,y<0,x2+y2<2xy.
答案:∀x,y<0,x2+y2<2xy
三、解答題(每小題10分,共20分)
10.(2014•日照高二檢測(cè))已知p:∀x∈R,2x>m(x2+1),q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】2x>m(x2+1)可化為mx2-2x+m<0.
若p:∀x∈R,2x>m(x2+1)為真,
則mx2-2x+m<0對(duì)任意的x∈R恒成立.
當(dāng)m=0時(shí),不等式可化為-2x<0,顯然不恒成立;
當(dāng)m≠0時(shí),有m<0,Δ=4-4m2<0,
所以m<-1.[來(lái)
若q:∃x0∈R, +2x0-m-1=0為真,
則方程 +2x0-m-1=0有實(shí)根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q為真,故p,q均為真命題.
所以m<-1且m≥-2,
所以-2≤m<-1.
11.寫(xiě)出下列命題的否定,判斷其真假并給出證明.
命題:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行.
【解題指南】先寫(xiě)出否 定,再判真假,最后給出證明.
【解析】命題的否定:已知a=(1,2),則對(duì)任意的b=(x,1),a+2b與2a-b都不平行,是一個(gè)假命題.
證明如下:假設(shè)存在b=(x,1)使a+2b與2a-b平行,則a +2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).
2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).
因?yàn)閍+2b與2a-b平行,
所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).
即(2x+1,4)=λ(2-x,3).
所以 ⇔2x+1= (2-x).
解得x= .
這就是說(shuō)存在b= 使a+2b與2a-b平行,故已知命題為真命題,其否定為假命題.
(30分鐘 50分)
一、選擇題(每小題4分,共16分)
1.(2012•湖北高考)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是( )
A.任意一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)
B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù),它的平方不是有理數(shù)
C.存在一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù)
D.存在一個(gè)無(wú) 理數(shù),它的平方不是有理數(shù)
【解析】選B.特稱命題的否定是全稱命題,將存在量詞改為全稱量詞,然后再否定結(jié)論即可.
2.已知命題p:∀n∈N,2n >1000,則 p為( )
A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n<1000
C.∃n0∈N, ≤1000 D.∃n0∈N, <1000
【解析】選C.全稱命題的否定是特稱命題,故 p:∃n0∈N, ≤1000.
【舉一反三】若本題中的命題p換為“∃n0∈N, >1000”,其他條件不變,結(jié)論又如何呢?
【解析】選A.將存在量詞“∃”改為全稱量詞“∀”, 然后否定結(jié)論即可, p:
∀n∈N,2n≤1000.
3.(2014•大連高二檢測(cè))命題p:x=2且y=3,則 p為( )
A.x≠2或y≠3 B.x≠2且y≠3
C.x=2或y≠3 D.x≠2或y= 3
【解題指南】“且”的否定為“或”,然后否定結(jié)論即可.
【解析】選A.將“且”改為“或”,將x=2與y=3都否定即為原命題的否定, p為:x≠2或y≠3.
4.下列關(guān)于命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的敘述正確的是( )
A. p:∃x0∈R, ≠sinx0
B. p:∀x∈R, =sinx
C.p是真命題, p是假命題
D.p是假命題, p是真命題
【解析】選C.命題p:“∃x0∈R, =sinx0”的否定是 p:∀x∈R, ≠sinx.
當(dāng)x=0時(shí), =sinx,所以p是真命題, p是假命題.
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.命題“對(duì)任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【解析】根據(jù)全稱命題的否定形式寫(xiě).
答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3
6.(2014•蘭州高二檢測(cè))已知命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命題“p且q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _______.
【解析】命題p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”為真,則a≤x2,x∈[1,2]恒成立,所以a≤1;
命題q:“∃x0∈R, +2ax0+2-a=0”為真,則“4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.
若命題“p且q”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-2或a=1}.
答案:{a|a≤-2或a=1}
【變式訓(xùn)練】已知命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0.若命題p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【解析】方法一:若命題p:∃x0∈R, +2ax0+a=0是真命題,則Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.
因?yàn)槊}p是假命題,所以a(a-1)<0,解得0
方 法二:依題意,命題 p:∀x∈R,x2+2ax+a≠0是真命題,則Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0
答案:(0,1)
三、解答題(每小題12分,共24分)
7.寫(xiě)出下列命題的否定,并判斷其真假.
(1)p:不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+x-m=0必有實(shí)數(shù)根.
(2)q:存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+x+1≤0.
(3)r:等圓的面積相等,周長(zhǎng)相等.
(4)s:對(duì)任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
【解析】(1)這一命題可以表述為p:“對(duì)所有的實(shí)數(shù)m,方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”,其否定形式是 p:“存在實(shí)數(shù)m0,使得x2+x-m0=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”.
注意到當(dāng)Δ=1+4m0<0時(shí),即m0<- 時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以 p是真命題.
(2)這一命題的否定形式是 q :“對(duì)所有實(shí)數(shù)x,都有x2+x+1>0”;利用配方法可以證得 q是一個(gè)真命題.
(3)這一命題的否定形式是 r:“存在一對(duì)等圓,其面積不相等或周長(zhǎng)不相等”,由平面幾何知識(shí)知 r是一個(gè)假命題.
(4)這一命題的否定形式是 s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α0≠1”.由于命題s是真命題,所以 s是假命題.
8.(2014•汕頭高二檢測(cè))設(shè)p:“∃x0∈R, -ax0+1=0”,q:“函數(shù)y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域?yàn)閇1,+∞)”,若“p∨q”是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】由 -ax0+1=0有實(shí)根,
得 Δ=a2-4≥0⇒a≥2或a≤-2.
因此命題p為真命題的范圍是a≥2或a≤-2.
由函數(shù)y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域?yàn)閇1,+∞),得a≥0.
因此命題q為真命題的范圍是a≥0.
根據(jù)p∨q為假命題知:p,q均是假命題,p為假命題對(duì)應(yīng)的范圍是-2
這樣得到二者均為假命題的范圍就是 ⇒-2
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