高中數(shù)學(xué)必修5《二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題》教案
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本小節(jié)是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5(必修)第三章第3小節(jié),主要內(nèi)容是利用平面區(qū)域體現(xiàn)二元一次不等式(組)的解集;借助圖解法解決在線性約束條件下的二元線性目標(biāo)函數(shù)的最值與最優(yōu)解問題;運用線性規(guī)劃知識解決一些簡單的實際問題(如資源利用,人力調(diào)配,生產(chǎn)安排等)。突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想，與數(shù)形結(jié)合的思想。本小節(jié)是利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的典例,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活而用于生活的特性。
二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
本小節(jié)內(nèi)容建立在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元不等式(組)及其應(yīng)用、直線與方程的基礎(chǔ)之上，學(xué)生對于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,數(shù)形結(jié)合思想有所了解. 但從數(shù)學(xué)知識上看學(xué)生對于涉及多個已知數(shù)據(jù)、多個字母變量，多個不等關(guān)系的知識接觸尚少，從數(shù)學(xué)方法上看，學(xué)生對于圖解法還缺少認(rèn)識，對數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時日，而這些都將成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點。
三、設(shè)計思想
以問題為載體，以學(xué)生為主體，以探究歸納為主要手段，以問題解決為目的，以多媒體為重要工具，激發(fā)學(xué)生的動手、觀察、思考、猜想探究的興趣。注重引導(dǎo)學(xué)生充分體驗“從實際問題到數(shù)學(xué)問題”的數(shù)學(xué)建模過程，體會“從具體到一般”的抽象思維過程，從“特殊到一般”的探究新知的過程;提高學(xué)生應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法解題的能力;培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。
四、教學(xué)目標(biāo)
1、知識與技能:了解二元一次不等式(組)的概念,掌握用平面區(qū)域刻畫二元一次
不等式(組)的方法;了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、
可行解、可行域和最優(yōu)解等概念;理解線性規(guī)劃問題的圖解法;會利用圖解法
求線性目標(biāo)函數(shù)的最值與相應(yīng)最優(yōu)解;
2、過程與方法:從實際問題中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力;
在探究的過程中讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、
化歸能力、探索能力、合情推理能力;
3、情態(tài)與價值:在應(yīng)用圖解法解題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力與運用數(shù)形結(jié)合思想的能力;體會線性規(guī)劃的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識;體驗數(shù)學(xué)來源于生活而服務(wù)于生活的特性.
五、教學(xué)重點和難點
重點:從實際問題中抽象出二元一次不等式(組),用平面區(qū)域刻畫二元一次不等式組
的解集及用圖解法解簡單的二元線性規(guī)劃問題;
難點:二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的探究,從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過
程探究,簡單的二元線性規(guī)劃問題的圖解法的探究.
六、教學(xué)基本流程
第一課時,利用生動的情景激起學(xué)生求知的欲望,從中抽象出數(shù)學(xué)問題,引出二元一次不等式(組)的基本概念,并為線性規(guī)劃問題的引出埋下伏筆.通過學(xué)生的自主探究,分類討論,大膽猜想,細(xì)心求證,得出二元一次不等式所表示的平面區(qū)域,從而突破本小節(jié)的第一個難點;通過例1、例2的討論與求解引導(dǎo)學(xué)生歸納出畫二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的具體解答步驟(直線定界,特殊點定域);最后通過練習(xí)加以鞏固。
第二課時,重現(xiàn)引例,在學(xué)生的回顧、探討中解決引例中的可用方案問題,并由此歸納總結(jié)出從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的基本過程:理清數(shù)據(jù)關(guān)系(列表)→設(shè)立決策變量→建立數(shù)學(xué)關(guān)系式→畫出平面區(qū)域.讓學(xué)生對例3、例4進(jìn)行分析與討論進(jìn)一步完善這一過程,突破本小節(jié)的第二個難點。
第三課時,設(shè)計情景,借助前兩個課時所學(xué),設(shè)立決策變量,畫出平面區(qū)域并引出新的問題,從中引出線性規(guī)劃的相關(guān)概念,并讓學(xué)生思考探究,利用特殊值進(jìn)行猜測,找到最優(yōu)方案;再引導(dǎo)學(xué)生對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化,利用直線的圖象對上述問題進(jìn)行幾何探究,把最值問題轉(zhuǎn)化為截距問題,通過幾何方法對引例做出完美的解答;回顧整個探究過程,讓學(xué)生在討論中達(dá)成共識,總結(jié)出簡單線性規(guī)劃問題的圖解法的基本步驟.通過例5的展示讓學(xué)生從動態(tài)的角度感受圖解法.最后再現(xiàn)情景1,并對之作出完美的解答。
第四課時,給出新的引例,讓學(xué)生體會到線性規(guī)劃問題的普遍性.讓學(xué)生討論分析,對引例給出解答,并綜合前三個課時的教學(xué)內(nèi)容,連綴成線,總結(jié)出簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用性問題的一般解答步驟,通過例6,例7的分析與展示進(jìn)一步完善這一過程.總結(jié)線性規(guī)劃的應(yīng)用性問題的幾種類型,讓學(xué)生更深入的體會到優(yōu)化理論,更好的認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活而運用于生活的特點。
七、教學(xué)過程設(shè)計
第一課時: 二元一次不等式組與平面區(qū)域(1)
(一)引入:
(1)情景1
王老漢的疑惑:秋收過后,村中擁入了不少生意人,收購大豆與紅薯,精明的王老漢上了心,一打聽,頓時喜上眉梢.村中大豆的收購價是5元/千克,紅薯的收購價是
2元/千克,而送到縣城每千克大豆可獲利1.2元,每千克紅薯可獲利0.6元,王老漢決定明天就帶上家中僅有的1000元現(xiàn)金,踏著可載重350千克的三輪車開始自己的發(fā)財大計,可明天應(yīng)該收購多少大豆與紅薯呢?王老漢決定與家人合計.回家一討論,問題來了.孫女說:“收購大豆每千克獲利多故應(yīng)收購大豆”,孫子說:“收購紅薯每元成本獲利多故應(yīng)收購紅薯”,王老漢一聽,好像都對,可誰說得更有理呢?精明的王老漢心中更糊涂了。
【問題情景使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是來自現(xiàn)實生活的，讓學(xué)生體會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程;通過情景我們不僅能從中引出本堂課的內(nèi)容“二元一次不等式(組)的概念,及其所表示的平面區(qū)域”,也為后面的內(nèi)容“簡單的線性規(guī)劃問題”埋下了伏筆.】
(2)問題與探究
師:同學(xué)們,你們能用具體的數(shù)字體現(xiàn)出王老漢的兩個孫子的收購方案嗎?
生,討論并很快給出答案.(師,記錄數(shù)據(jù))
師:請你們各自為王老漢設(shè)計一種收購方案.
生,獨立思考,并寫出自己的方案.(師,查看學(xué)生各人的設(shè)計方案并有針對性的請幾個同學(xué)說出自己的方案并記錄,注意:要特意選出2個不合理的方案)
師:這些同學(xué)的方案都是對的嗎?
生,討論并找出其中不合理的方案.
師:為什么這些方案就不行呢?
生,討論后并回答
師:滿足什么條件的方案才是合理的呢?
生,討論思考.(師,引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出未知量,列出起約束作用的不等式組)
師,讓幾個學(xué)生上黑板列出不等式組,并對之分析指正
(教師用多媒體展示所列不等式組,并介紹二元一次不等式,二元一次不等式組的概念.)
師:同學(xué)們還記得什么是方程的解嗎?你能說出二元一次方程二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的一組解嗎?
生,討論并回答(教師記錄幾組,并引導(dǎo)學(xué)生表示成有序?qū)崝?shù)對形式.)
師:同學(xué)們能說出什么是不等式(組)的解嗎?你能說出二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的一組解嗎?
生,討論并回答(教師對于學(xué)生的回答指正并有選擇性的記錄幾組比較簡單的數(shù)據(jù),對于這些數(shù)據(jù)要事先設(shè)計好并在課件的坐標(biāo)系中標(biāo)出備用)
(教師對引例中給出的不等式組介紹,并指出上面的正確的設(shè)計方案都是不等式組的解.進(jìn)而介紹二元一次不等式(組)解與解集的概念)
師:我們知道每一組有序?qū)崝?shù)對都對應(yīng)于平面直角坐標(biāo)系上的一個點,你能把上面記錄的不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)記出來嗎?
生,討論并在下面作圖(師巡視檢查并對個別同學(xué)的錯誤進(jìn)行指正)
師,利用多媒體課件展示平面直角坐標(biāo)系及不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解所對應(yīng)的一些點,讓學(xué)生觀察并思考討論:不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解在平面直角坐標(biāo)系中的位置有什么特點?(由于點太少,我們的學(xué)生可能得不出結(jié)論)
師,引導(dǎo)學(xué)生在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出方程二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解所對應(yīng)的圖形(一條直線,指導(dǎo)學(xué)生用與坐標(biāo)軸的兩個交點作出直線),再提出問題:二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解為坐標(biāo)的點在平面直角坐標(biāo)系中的位置有什么特點?
生,提出猜想:直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 分得的左下半平面.
【教師通過幾個簡單的問題,讓學(xué)生產(chǎn)生了利用平面區(qū)域表示二元一次不等式的想法,而后再讓學(xué)生大膽的猜想,細(xì)心的論證,讓他們從中讓體會到對新知識進(jìn)行科學(xué)探索的全過程.】
師:這個結(jié)論正確嗎?你能說出理由來嗎?
生,分組討論,并利用自己的數(shù)學(xué)知識去探究.(由于沒有給出一個固定的方向,所以各人用的方法不一,有的可能用特殊點再去檢驗,有的可能會試著用坐標(biāo)軸的正方向去說明,也有的可能會用直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 下方的點與對應(yīng)直線上的點對照比較的方法進(jìn)行說明)
師,在巡視的基礎(chǔ)上請運用不同方法的同學(xué)闡述自己的理由,并對于正確的作法給予表揚,然后用多媒體展示出利用與直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 橫坐標(biāo)相同而縱坐標(biāo)不同的點對應(yīng)分析的方法進(jìn)行證明.
師:直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的右上半平面應(yīng)怎么表示?
生:表示為二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 ,(很快回答)
師: 從中你能得出什么結(jié)論?
生,討論并得到一般性結(jié)論(教師總結(jié)糾正)
(教師總結(jié)并用多媒體展示,二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的某側(cè)所有點組成的平面區(qū)域,因不包含邊界故直線畫成虛線;二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示的平面區(qū)域因包含邊界故直線畫成實線.)
師:點O(0,0)是不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 一個解嗎?據(jù)此你能說出不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 對應(yīng)的平面區(qū)域相對與直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的位置嗎?
生,作圖分析，討論并回答(師,對學(xué)生的回答進(jìn)行分析)
師:結(jié)合上面問題請同學(xué)們歸納出作不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 對應(yīng)的平面區(qū)域的過程.
生,討論并回答(師,對于學(xué)生的答案給以分析,并肯定其中正確的結(jié)論)
師:你們能說出作二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 對應(yīng)的平面區(qū)域的過程嗎?
生,討論并回答(教師總結(jié)并用多媒體展示:直線定界,特殊點定域)
師:若點P(3,-1),點Q(2,4)在直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的異側(cè),你能用數(shù)學(xué)語言表示嗎?
生,討論,思考(教師巡視，并觀察學(xué)生的解答過程，最后引導(dǎo)學(xué)生得出：一個是不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解,一個是不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解)
師:你能在這個條件下求出二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的范圍嗎?
生.討論分析，最后得到不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 并求解.
師:若把上面問題改為點在同側(cè)呢?請同學(xué)們課后完成.
【在教師的幫助下學(xué)生通過自己的分析得出了正確的結(jié)論,讓他們從中體會到了獲取新知后的成就感,從而增加了對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.同時也讓他們體會人們在認(rèn)識新生事物時從特殊到一般,再從一般到特殊的認(rèn)知過程.】
(二)實例展示:
例1、畫出不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示的平面區(qū)域.
例2、用平面區(qū)域表示不等式組二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解集.
【通過利用多媒體對實例的展示讓學(xué)生體會到畫出不等式表示的平面區(qū)域的基本流程:直線定界,特殊點定域,而不等式(組)表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.同時對具體作圖中的細(xì)節(jié)問題進(jìn)行點拔.】
(三)練習(xí):
學(xué)生練習(xí)P86第1-3題.
【及時鞏固所學(xué),進(jìn)一步體會畫出不等式(組)表示的平面區(qū)域的基本流程】
(四)課后延伸:
師:我們在今天主要解決了在給出不等式(組)的情況下如何用平面區(qū)域來表示出來的問題. 如果反過來給出了平面區(qū)域你能寫出相關(guān)的不等式(組)嗎?例如你能寫出A(2,4),B(2,0),C(1,2)三點構(gòu)成的三角形內(nèi)部區(qū)域?qū)?yīng)的不等式組嗎?
你能寫出不等式形如二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 這種不等式表示的平面區(qū)域?
(五)小結(jié)與作業(yè):
二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 某側(cè)所有點組成的平面區(qū)域,畫出不等式(組)表示的平面區(qū)域的基本流程:直線定界,特殊點定域(一般找原點)
作業(yè)：第93頁A組習(xí)題1、2，
補(bǔ)充作業(yè):若線段PQ的兩個端點坐標(biāo)為P(3,-1), Q(2,4),且直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 與線段PQ
高中數(shù)學(xué)必修5《二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題》教案
【知識網(wǎng)絡(luò)】
1、二元一次不等式組以及可化成二元一次不等式組的不等式的解法;
2、作二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，會求最值;
3、線性規(guī)劃的實際問題和其中的整點問題。
【典型例題】
例1：(1)已知點p(x0，y0)和點a(1，2)在直線 的異側(cè)，則( )
a. b. 0
c. d.
答案: d。解析：將(1，2)代入 得小于0，則 。
(2)滿足 的整點的點(x，y)的個數(shù)是 ( )
a.5 b.8 c.12 d.13
答案：d。解析：作出圖形找整點即可。
(3)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面區(qū)域是 ( )
答案：c。解析：原不等式等價于
兩不等式表示的平面區(qū)域合并起來即是原不等式表示的平面區(qū)域.
(4)設(shè)實數(shù)x, y滿足 ，則 的最大值為 .
答案: 。解析：過點 時， 有最大值 。
(5)已知 ，求 的取值范圍 .
答案： 。解析：過點 時有最小值5，過點(3，1)時有最大值10。
例2：試求由不等式y(tǒng)≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面區(qū)域的面積大小.
答案: 解：原不等式組可化為如下兩個不等式組：
① 或 ②
上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分.
它所圍成的面積s= ×4×2- ×2×1=3.
例3：已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)=x2+2x.
(ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(ⅱ)若h(x)=g(x)- f(x)+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍。
答案: (ⅰ)設(shè)函數(shù) 的圖象上任意一點 關(guān)于原點的對稱點為 ，則
∵點 在函數(shù) 的圖象上
∴
(ⅱ)
①
②
ⅰ)
ⅱ)
例4：要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：
今需要a、b、c三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)量少?
答案:：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則
且x，y都是整數(shù).
求目標(biāo)函數(shù)z=x+y取得最小值時的x，y的值.
如圖，當(dāng)x=3，y=9或x=4，y=8時，z取得最小值.
∴需截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張或第一種鋼
板4張，第二種鋼板8張時，可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少.
【課內(nèi)練習(xí)】
略
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一、教學(xué)內(nèi)容分析
本小節(jié)是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)5(必修)第三章第3小節(jié),主要內(nèi)容是利用平面區(qū)域體現(xiàn)二元一次不等式(組)的解集;借助圖解法解決在線性約束條件下的二元線性目標(biāo)函數(shù)的最值與最優(yōu)解問題;運用線性規(guī)劃知識解決一些簡單的實際問題(如資源利用,人力調(diào)配,生產(chǎn)安排等)。突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想，與數(shù)形結(jié)合的思想。本小節(jié)是利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的典例,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活而用于生活的特性。
二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
本小節(jié)內(nèi)容建立在學(xué)生學(xué)習(xí)了一元不等式(組)及其應(yīng)用、直線與方程的基礎(chǔ)之上，學(xué)生對于將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,數(shù)形結(jié)合思想有所了解. 但從數(shù)學(xué)知識上看學(xué)生對于涉及多個已知數(shù)據(jù)、多個字母變量，多個不等關(guān)系的知識接觸尚少，從數(shù)學(xué)方法上看，學(xué)生對于圖解法還缺少認(rèn)識，對數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時日，而這些都將成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點。
三、設(shè)計思想
以問題為載體，以學(xué)生為主體，以探究歸納為主要手段，以問題解決為目的，以多媒體為重要工具，激發(fā)學(xué)生的動手、觀察、思考、猜想探究的興趣。注重引導(dǎo)學(xué)生充分體驗“從實際問題到數(shù)學(xué)問題”的數(shù)學(xué)建模過程，體會“從具體到一般”的抽象思維過程，從“特殊到一般”的探究新知的過程;提高學(xué)生應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法解題的能力;培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。
四、教學(xué)目標(biāo)
1、知識與技能:了解二元一次不等式(組)的概念,掌握用平面區(qū)域刻畫二元一次
不等式(組)的方法;了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、
可行解、可行域和最優(yōu)解等概念;理解線性規(guī)劃問題的圖解法;會利用圖解法
求線性目標(biāo)函數(shù)的最值與相應(yīng)最優(yōu)解;
2、過程與方法:從實際問題中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力;
在探究的過程中讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)活動中充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、
化歸能力、探索能力、合情推理能力;
3、情態(tài)與價值:在應(yīng)用圖解法解題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的化歸能力與運用數(shù)形結(jié)合思想的能力;體會線性規(guī)劃的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識;體驗數(shù)學(xué)來源于生活而服務(wù)于生活的特性.
五、教學(xué)重點和難點
重點:從實際問題中抽象出二元一次不等式(組),用平面區(qū)域刻畫二元一次不等式組
的解集及用圖解法解簡單的二元線性規(guī)劃問題;
難點:二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的探究,從實際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過
程探究,簡單的二元線性規(guī)劃問題的圖解法的探究.
六、教學(xué)基本流程
第一課時,利用生動的情景激起學(xué)生求知的欲望,從中抽象出數(shù)學(xué)問題,引出二元一次不等式(組)的基本概念,并為線性規(guī)劃問題的引出埋下伏筆.通過學(xué)生的自主探究,分類討論,大膽猜想,細(xì)心求證,得出二元一次不等式所表示的平面區(qū)域,從而突破本小節(jié)的第一個難點;通過例1、例2的討論與求解引導(dǎo)學(xué)生歸納出畫二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的具體解答步驟(直線定界,特殊點定域);最后通過練習(xí)加以鞏固。
第二課時,重現(xiàn)引例,在學(xué)生的回顧、探討中解決引例中的可用方案問題,并由此歸納總結(jié)出從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的基本過程:理清數(shù)據(jù)關(guān)系(列表)→設(shè)立決策變量→建立數(shù)學(xué)關(guān)系式→畫出平面區(qū)域.讓學(xué)生對例3、例4進(jìn)行分析與討論進(jìn)一步完善這一過程,突破本小節(jié)的第二個難點。
第三課時,設(shè)計情景,借助前兩個課時所學(xué),設(shè)立決策變量,畫出平面區(qū)域并引出新的問題,從中引出線性規(guī)劃的相關(guān)概念,并讓學(xué)生思考探究,利用特殊值進(jìn)行猜測,找到最優(yōu)方案;再引導(dǎo)學(xué)生對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化,利用直線的圖象對上述問題進(jìn)行幾何探究,把最值問題轉(zhuǎn)化為截距問題,通過幾何方法對引例做出完美的解答;回顧整個探究過程,讓學(xué)生在討論中達(dá)成共識,總結(jié)出簡單線性規(guī)劃問題的圖解法的基本步驟.通過例5的展示讓學(xué)生從動態(tài)的角度感受圖解法.最后再現(xiàn)情景1,并對之作出完美的解答。
第四課時,給出新的引例,讓學(xué)生體會到線性規(guī)劃問題的普遍性.讓學(xué)生討論分析,對引例給出解答,并綜合前三個課時的教學(xué)內(nèi)容,連綴成線,總結(jié)出簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用性問題的一般解答步驟,通過例6,例7的分析與展示進(jìn)一步完善這一過程.總結(jié)線性規(guī)劃的應(yīng)用性問題的幾種類型,讓學(xué)生更深入的體會到優(yōu)化理論,更好的認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活而運用于生活的特點。
七、教學(xué)過程設(shè)計
第一課時: 二元一次不等式組與平面區(qū)域(1)
(一)引入:
(1)情景1
王老漢的疑惑:秋收過后,村中擁入了不少生意人,收購大豆與紅薯,精明的王老漢上了心,一打聽,頓時喜上眉梢.村中大豆的收購價是5元/千克,紅薯的收購價是
2元/千克,而送到縣城每千克大豆可獲利1.2元,每千克紅薯可獲利0.6元,王老漢決定明天就帶上家中僅有的1000元現(xiàn)金,踏著可載重350千克的三輪車開始自己的發(fā)財大計,可明天應(yīng)該收購多少大豆與紅薯呢?王老漢決定與家人合計.回家一討論,問題來了.孫女說:“收購大豆每千克獲利多故應(yīng)收購大豆”,孫子說:“收購紅薯每元成本獲利多故應(yīng)收購紅薯”,王老漢一聽,好像都對,可誰說得更有理呢?精明的王老漢心中更糊涂了。
【問題情景使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是來自現(xiàn)實生活的，讓學(xué)生體會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程;通過情景我們不僅能從中引出本堂課的內(nèi)容“二元一次不等式(組)的概念,及其所表示的平面區(qū)域”,也為后面的內(nèi)容“簡單的線性規(guī)劃問題”埋下了伏筆.】
(2)問題與探究
師:同學(xué)們,你們能用具體的數(shù)字體現(xiàn)出王老漢的兩個孫子的收購方案嗎?
生,討論并很快給出答案.(師,記錄數(shù)據(jù))
師:請你們各自為王老漢設(shè)計一種收購方案.
生,獨立思考,并寫出自己的方案.(師,查看學(xué)生各人的設(shè)計方案并有針對性的請幾個同學(xué)說出自己的方案并記錄,注意:要特意選出2個不合理的方案)
師:這些同學(xué)的方案都是對的嗎?
生,討論并找出其中不合理的方案.
師:為什么這些方案就不行呢?
生,討論后并回答
師:滿足什么條件的方案才是合理的呢?
生,討論思考.(師,引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出未知量,列出起約束作用的不等式組)
師,讓幾個學(xué)生上黑板列出不等式組,并對之分析指正
(教師用多媒體展示所列不等式組,并介紹二元一次不等式,二元一次不等式組的概念.)
師:同學(xué)們還記得什么是方程的解嗎?你能說出二元一次方程二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的一組解嗎?
生,討論并回答(教師記錄幾組,并引導(dǎo)學(xué)生表示成有序?qū)崝?shù)對形式.)
師:同學(xué)們能說出什么是不等式(組)的解嗎?你能說出二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的一組解嗎?
生,討論并回答(教師對于學(xué)生的回答指正并有選擇性的記錄幾組比較簡單的數(shù)據(jù),對于這些數(shù)據(jù)要事先設(shè)計好并在課件的坐標(biāo)系中標(biāo)出備用)
(教師對引例中給出的不等式組介紹,并指出上面的正確的設(shè)計方案都是不等式組的解.進(jìn)而介紹二元一次不等式(組)解與解集的概念)
師:我們知道每一組有序?qū)崝?shù)對都對應(yīng)于平面直角坐標(biāo)系上的一個點,你能把上面記錄的不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)記出來嗎?
生,討論并在下面作圖(師巡視檢查并對個別同學(xué)的錯誤進(jìn)行指正)
師,利用多媒體課件展示平面直角坐標(biāo)系及不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解所對應(yīng)的一些點,讓學(xué)生觀察并思考討論:不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解在平面直角坐標(biāo)系中的位置有什么特點?(由于點太少,我們的學(xué)生可能得不出結(jié)論)
師,引導(dǎo)學(xué)生在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出方程二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解所對應(yīng)的圖形(一條直線,指導(dǎo)學(xué)生用與坐標(biāo)軸的兩個交點作出直線),再提出問題:二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解為坐標(biāo)的點在平面直角坐標(biāo)系中的位置有什么特點?
生,提出猜想:直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 分得的左下半平面.
【教師通過幾個簡單的問題,讓學(xué)生產(chǎn)生了利用平面區(qū)域表示二元一次不等式的想法,而后再讓學(xué)生大膽的猜想,細(xì)心的論證,讓他們從中讓體會到對新知識進(jìn)行科學(xué)探索的全過程.】
師:這個結(jié)論正確嗎?你能說出理由來嗎?
生,分組討論,并利用自己的數(shù)學(xué)知識去探究.(由于沒有給出一個固定的方向,所以各人用的方法不一,有的可能用特殊點再去檢驗,有的可能會試著用坐標(biāo)軸的正方向去說明,也有的可能會用直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 下方的點與對應(yīng)直線上的點對照比較的方法進(jìn)行說明)
師,在巡視的基礎(chǔ)上請運用不同方法的同學(xué)闡述自己的理由,并對于正確的作法給予表揚,然后用多媒體展示出利用與直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 橫坐標(biāo)相同而縱坐標(biāo)不同的點對應(yīng)分析的方法進(jìn)行證明.
師:直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的右上半平面應(yīng)怎么表示?
生:表示為二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 ,(很快回答)
師: 從中你能得出什么結(jié)論?
生,討論并得到一般性結(jié)論(教師總結(jié)糾正)
(教師總結(jié)并用多媒體展示,二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的某側(cè)所有點組成的平面區(qū)域,因不包含邊界故直線畫成虛線;二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示的平面區(qū)域因包含邊界故直線畫成實線.)
師:點O(0,0)是不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 一個解嗎?據(jù)此你能說出不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 對應(yīng)的平面區(qū)域相對與直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的位置嗎?
生,作圖分析，討論并回答(師,對學(xué)生的回答進(jìn)行分析)
師:結(jié)合上面問題請同學(xué)們歸納出作不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 對應(yīng)的平面區(qū)域的過程.
生,討論并回答(師,對于學(xué)生的答案給以分析,并肯定其中正確的結(jié)論)
師:你們能說出作二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 對應(yīng)的平面區(qū)域的過程嗎?
生,討論并回答(教師總結(jié)并用多媒體展示:直線定界,特殊點定域)
師:若點P(3,-1),點Q(2,4)在直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的異側(cè),你能用數(shù)學(xué)語言表示嗎?
生,討論,思考(教師巡視，并觀察學(xué)生的解答過程，最后引導(dǎo)學(xué)生得出：一個是不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解,一個是不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解)
師:你能在這個條件下求出二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的范圍嗎?
生.討論分析，最后得到不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 并求解.
師:若把上面問題改為點在同側(cè)呢?請同學(xué)們課后完成.
【在教師的幫助下學(xué)生通過自己的分析得出了正確的結(jié)論,讓他們從中體會到了獲取新知后的成就感,從而增加了對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.同時也讓他們體會人們在認(rèn)識新生事物時從特殊到一般,再從一般到特殊的認(rèn)知過程.】
(二)實例展示:
例1、畫出不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示的平面區(qū)域.
例2、用平面區(qū)域表示不等式組二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 的解集.
【通過利用多媒體對實例的展示讓學(xué)生體會到畫出不等式表示的平面區(qū)域的基本流程:直線定界,特殊點定域,而不等式(組)表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.同時對具體作圖中的細(xì)節(jié)問題進(jìn)行點拔.】
(三)練習(xí):
學(xué)生練習(xí)P86第1-3題.
【及時鞏固所學(xué),進(jìn)一步體會畫出不等式(組)表示的平面區(qū)域的基本流程】
(四)課后延伸:
師:我們在今天主要解決了在給出不等式(組)的情況下如何用平面區(qū)域來表示出來的問題. 如果反過來給出了平面區(qū)域你能寫出相關(guān)的不等式(組)嗎?例如你能寫出A(2,4),B(2,0),C(1,2)三點構(gòu)成的三角形內(nèi)部區(qū)域?qū)?yīng)的不等式組嗎?
你能寫出不等式形如二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 這種不等式表示的平面區(qū)域?
(五)小結(jié)與作業(yè):
二元一次不等式二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 表示直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 某側(cè)所有點組成的平面區(qū)域,畫出不等式(組)表示的平面區(qū)域的基本流程:直線定界,特殊點定域(一般找原點)
作業(yè)：第93頁A組習(xí)題1、2，
補(bǔ)充作業(yè):若線段PQ的兩個端點坐標(biāo)為P(3,-1), Q(2,4),且直線二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題的模塊單元教學(xué)設(shè)計 與線段PQ
高中數(shù)學(xué)必修5《二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題》教案
【知識網(wǎng)絡(luò)】
1、二元一次不等式組以及可化成二元一次不等式組的不等式的解法;
2、作二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，會求最值;
3、線性規(guī)劃的實際問題和其中的整點問題。
【典型例題】
例1：(1)已知點p(x0，y0)和點a(1，2)在直線 的異側(cè)，則( )
a. b. 0
c. d.
答案: d。解析：將(1，2)代入 得小于0，則 。
(2)滿足 的整點的點(x，y)的個數(shù)是 ( )
a.5 b.8 c.12 d.13
答案：d。解析：作出圖形找整點即可。
(3)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面區(qū)域是 ( )
答案：c。解析：原不等式等價于
兩不等式表示的平面區(qū)域合并起來即是原不等式表示的平面區(qū)域.
(4)設(shè)實數(shù)x, y滿足 ，則 的最大值為 .
答案: 。解析：過點 時， 有最大值 。
(5)已知 ，求 的取值范圍 .
答案： 。解析：過點 時有最小值5，過點(3，1)時有最大值10。
例2：試求由不等式y(tǒng)≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面區(qū)域的面積大小.
答案: 解：原不等式組可化為如下兩個不等式組：
① 或 ②
上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分.
它所圍成的面積s= ×4×2- ×2×1=3.
例3：已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)=x2+2x.
(ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(ⅱ)若h(x)=g(x)- f(x)+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍。
答案: (ⅰ)設(shè)函數(shù) 的圖象上任意一點 關(guān)于原點的對稱點為 ，則
∵點 在函數(shù) 的圖象上
∴
(ⅱ)
①
②
ⅰ)
ⅱ)
例4：要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：
今需要a、b、c三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)量少?
答案:：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，則
且x，y都是整數(shù).
求目標(biāo)函數(shù)z=x+y取得最小值時的x，y的值.
如圖，當(dāng)x=3，y=9或x=4，y=8時，z取得最小值.
∴需截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張或第一種鋼
板4張，第二種鋼板8張時，可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少.
【課內(nèi)練習(xí)】
略
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