人教版高二數(shù)學上冊必修3《算法與程序框圖》教案
教學目標
(1)了解算法的含義，體會算法思想.
(2)會用自然語言和數(shù)學語言描述簡單具體問題的算法;
(3)學習有條理地、清晰地表達解決問題的步驟，培養(yǎng)邏輯思維能力與表達能力
教學重難點
重點：算法的含義、解二元一次方程組的算法設計.
難點：把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言.
情境導入
電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手，他百發(fā)百中，最難打的位置對他來說也是輕而易舉，是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手.作為一名狙擊手，要想成功地完成一次狙擊任務，一般要按步驟完成以下幾步：
第一步：觀察、等待目標出現(xiàn)(用望遠鏡或瞄準鏡);
第二步：瞄準目標;
第三步：計算(或估測)風速、距離、空氣濕度、空氣密度;
第四步：根據(jù)第三步的結(jié)果修正彈著點;
第五步：開槍;
第六步：迅速轉(zhuǎn)移(或隱蔽).
以上這種完成狙擊任務的方法、步驟在數(shù)學上我們叫算法.
●課堂探究
預習提升
1.定義：算法可以理解為由基本運算及規(guī)定的運算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題.
2.描述方式
自然語言、數(shù)學語言、形式語言(算法語言)、框圖.
3.算法的要求
(1)寫出的算法，必須能解決一類問題，且能重復使用;
(2)算法過程要能一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步后能得出結(jié)果.
4.算法的特征
(1)有限性：一個算法應包括有限的操作步驟，能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束.
(2)確定性：算法的計算規(guī)則及相應的計算步驟必須是唯一確定的.
(3)可行性：算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內(nèi)完成的基本操作，并能得到確定的結(jié)果.
(4)順序性：算法從初始步驟開始，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后續(xù)，且除了最后一步外，每一個步驟只有一個確定的后續(xù).
(5)不唯一性：解決同一問題的算法可以是不唯一的.
課堂典例講練
命題方向1 對算法意義的理解
例1.下列敘述中，
①植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;
②按順序進行下列運算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;
③從青島乘動車到濟南，再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式;
④3x>x+1;
⑤求所有能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12，….
能稱為算法的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】根據(jù)算法的含義和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④，3x>x+1不是一個明確的步驟，不符合明確性;⑤的步驟是無窮的，與算法的有限性矛盾.
【答案】B
[規(guī)律總結(jié)]
1.正確理解算法的概念及其特點是解決問題的關(guān)鍵.
2.針對判斷語句是否是算法的問題，要看它的步驟是否是明確的和有效的，而且能在有限步驟之內(nèi)解決這一問題.
【變式訓練】 下列對算法的理解不正確的是________
①一個算法應包含有限的步驟，而不能是無限的
②算法可以理解為由基本運算及規(guī)定的運算順序構(gòu)成的完整的解題步驟
③算法中的每一步都應當有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果
④一個問題只能設計出一個算法
【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;
由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;
由算法的每一步都是確定的，且每一步都應有確定的結(jié)果故③正確;
由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確.
【答案】④
命題方向2 解方程(組)的算法
例2.給出求解方程組的一個算法.
[思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現(xiàn)，我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組，再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組.
[規(guī)范解答]方法一：算法如下：
第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11，
即方程組可化為
第二步，解方程③，可得y=-1， ?、?BR> 第三步，將④代入①，可得2x-1=7，x=4，
第四步，輸出4，-1.
方法二：算法如下：
第一步，由①式可以得到y(tǒng)=7-2x， ⑤
第二步，把y=7-2x代入②，得x=4.
第三步，把x=4代入⑤，得y=-1.
第四步，輸出4，-1.
[規(guī)律總結(jié)]1.本題用了2種方法求解，對于問題的求解過程，我們既要強調(diào)對“通法、通解”的理解，又要強調(diào)對所學知識的靈活運用.
2.設計算法時，經(jīng)常遇到解方程(組)的問題，一般是按照數(shù)學上解方程(組)的方法進行設計，但應注意全面考慮方程解的情況，即先確定方程(組)是否有解，有解時有幾個解，然后根據(jù)求解步驟設計算法步驟.
【變式訓練】
【解】 算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③
S2，解③得x=;
S3，②-①×2得5y=3;④
S4，解④得y=;
命題方向3 篩選問題的算法設計
例3.設計一個算法，對任意3個整數(shù)a、b、c，求出其中的最小值.
[思路分析]比較a，b比較m與c―→最小數(shù)
[規(guī)范解答]算法步驟如下：
1.比較a與b的大小，若a
2.比較m與c的大小，若m
[規(guī)律總結(jié)]求最小(大)數(shù)就是從中篩選出最小(大)的一個，篩選過程中的每一步都是比較兩個數(shù)的大小，保證了篩選的可行性，這種方法可以推廣到從多個不同數(shù)中篩選出滿足要求的一個.
【變式訓練】在下列數(shù)字序列中，寫出搜索89的算法：
21,3,0,9,15,72,89,91,93.
[解析]1.先找到序列中的第一個數(shù)m，m=21;
2.將m與89比較，是否相等，如果相等，則搜索到89;
3.如果m與89不相等，則往下執(zhí)行;
4.繼續(xù)將序列中的其他數(shù)賦給m，重復第2步，直到搜索到89.
命題方向4 非數(shù)值性問題的算法
例4.一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊.
(1)設計安全渡河的算法;
(2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?
[解析](1)
1.人帶兩只狼過河;
2.人自己返回;
3.人帶一只狼過河;
4.人自己返回;
5.人帶兩只羚羊過河;
6.人帶兩只狼返回;
7.人帶一只羚羊過河;
8.人自己返回;
9.人帶兩只狼過河.
(2)在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊的數(shù)目大于狼的數(shù)目.
[規(guī)律總結(jié)]1.對于非數(shù)值性的問題，在設計算法時，應當先建立過程模型，也就是找到解決問題的方案，再把它細化為一步連接一步組成的步驟.從而設計出算法.
2.首先應想到先運兩只狼，這是唯一的首選步驟，只有這樣才可避免狼吃羊，帶過一只羊后，必須將狼帶回來才行.
【變式訓練】兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡一個大人或兩個小孩，他們四人都會劃船，但都不會游泳，他們?nèi)绾味珊?請寫出你的渡河方案及算法.
[解析]因為一次只能渡過一個大人或兩個小孩，而船還要回來渡其他人，所以只能讓兩個小孩先過河，渡河的方案算法為：
1.兩個小孩同船渡過河去;
2.一個小孩劃船回來;
3.一個大人獨自劃船渡過河去;
4.對岸的小孩劃船回來;
5.兩個小孩再同船渡過河去;
6.一個小孩劃船回來;
7.余下的一個大人獨自劃船渡過河去;
8.對岸的小孩劃船回來;
9.兩個小孩再同船渡過河去.
課后習題
1.以下對算法的描述正確的個數(shù)是()
①對一類問題都有效;
②對個別問題有效;
③計算可以一步步地進行，每一步都有唯一的結(jié)果;
④是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
[答案]C
[解析]①③④正確，均符合算法的概念與要求，②不正確.
2.算法的有限性是指()
A.算法的最后必包含輸出
B.算法中每個操作步驟都是可執(zhí)行的
C.算法的步驟必須有限
D.以上說法均不正確
[答案]C
[解析]由算法的要求可知，應選C.
3.下列語句中是算法的個數(shù)是()
①從廣州到北京旅游，先坐火車，再坐飛機抵達;
②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1;
③方程x2-1=0有兩個實根;
④求1+2+3+4的值，先計算1+2=3，再由3+3=6,6+4=10得最終結(jié)果10.
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
[答案]C
[分析]解答本題可先正確理解算法的概念及其特點，然后逐一驗證每個語句是否正確.
[解析]①中說明了從廣州到北京的行程安排，完成任務;②中給出了一元一次方程這一類問題的解決方法;④中給出了求1+2+3+4的一個過程，最終得出結(jié)果.對于③，并沒有說明如何去算，故①②④是算法，③不是算法.
4.設計一個算法求方程5x+2y=22的正整數(shù)解，其最后輸出的結(jié)果應為________.
[答案](2,6)，(4,1)
[解析]因為求方程的正整數(shù)解，所以應將x從1開始輸入，直到方程成立.
x=2時，y==6;
5.已知一個學生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9. 求它的總分和平均成績的一個算法為：
1.取A=89，B=96，C=99;
2.____①____;
3.____②____;
4.輸出D，E.
[解析]求總分需將三個數(shù)相加，求平均分，另需讓總分除以3即可.
x=4時，y==1.
[答案]①計算總分D=A+B+C?、谟嬎闫骄煽僂=
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教學目標
(1)了解算法的含義，體會算法思想.
(2)會用自然語言和數(shù)學語言描述簡單具體問題的算法;
(3)學習有條理地、清晰地表達解決問題的步驟，培養(yǎng)邏輯思維能力與表達能力
教學重難點
重點：算法的含義、解二元一次方程組的算法設計.
難點：把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言.
情境導入
電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手，他百發(fā)百中，最難打的位置對他來說也是輕而易舉，是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手.作為一名狙擊手，要想成功地完成一次狙擊任務，一般要按步驟完成以下幾步：
第一步：觀察、等待目標出現(xiàn)(用望遠鏡或瞄準鏡);
第二步：瞄準目標;
第三步：計算(或估測)風速、距離、空氣濕度、空氣密度;
第四步：根據(jù)第三步的結(jié)果修正彈著點;
第五步：開槍;
第六步：迅速轉(zhuǎn)移(或隱蔽).
以上這種完成狙擊任務的方法、步驟在數(shù)學上我們叫算法.
●課堂探究
預習提升
1.定義：算法可以理解為由基本運算及規(guī)定的運算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題.
2.描述方式
自然語言、數(shù)學語言、形式語言(算法語言)、框圖.
3.算法的要求
(1)寫出的算法，必須能解決一類問題，且能重復使用;
(2)算法過程要能一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步后能得出結(jié)果.
4.算法的特征
(1)有限性：一個算法應包括有限的操作步驟，能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束.
(2)確定性：算法的計算規(guī)則及相應的計算步驟必須是唯一確定的.
(3)可行性：算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內(nèi)完成的基本操作，并能得到確定的結(jié)果.
(4)順序性：算法從初始步驟開始，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后續(xù)，且除了最后一步外，每一個步驟只有一個確定的后續(xù).
(5)不唯一性：解決同一問題的算法可以是不唯一的.
課堂典例講練
命題方向1 對算法意義的理解
例1.下列敘述中，
①植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;
②按順序進行下列運算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;
③從青島乘動車到濟南，再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式;
④3x>x+1;
⑤求所有能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12，….
能稱為算法的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】根據(jù)算法的含義和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④，3x>x+1不是一個明確的步驟，不符合明確性;⑤的步驟是無窮的，與算法的有限性矛盾.
【答案】B
[規(guī)律總結(jié)]
1.正確理解算法的概念及其特點是解決問題的關(guān)鍵.
2.針對判斷語句是否是算法的問題，要看它的步驟是否是明確的和有效的，而且能在有限步驟之內(nèi)解決這一問題.
【變式訓練】 下列對算法的理解不正確的是________
①一個算法應包含有限的步驟，而不能是無限的
②算法可以理解為由基本運算及規(guī)定的運算順序構(gòu)成的完整的解題步驟
③算法中的每一步都應當有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果
④一個問題只能設計出一個算法
【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;
由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;
由算法的每一步都是確定的，且每一步都應有確定的結(jié)果故③正確;
由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確.
【答案】④
命題方向2 解方程(組)的算法
例2.給出求解方程組的一個算法.
[思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現(xiàn)，我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組，再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組.
[規(guī)范解答]方法一：算法如下：
第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11，
即方程組可化為
第二步，解方程③，可得y=-1， ?、?BR> 第三步，將④代入①，可得2x-1=7，x=4，
第四步，輸出4，-1.
方法二：算法如下：
第一步，由①式可以得到y(tǒng)=7-2x， ⑤
第二步，把y=7-2x代入②，得x=4.
第三步，把x=4代入⑤，得y=-1.
第四步，輸出4，-1.
[規(guī)律總結(jié)]1.本題用了2種方法求解，對于問題的求解過程，我們既要強調(diào)對“通法、通解”的理解，又要強調(diào)對所學知識的靈活運用.
2.設計算法時，經(jīng)常遇到解方程(組)的問題，一般是按照數(shù)學上解方程(組)的方法進行設計，但應注意全面考慮方程解的情況，即先確定方程(組)是否有解，有解時有幾個解，然后根據(jù)求解步驟設計算法步驟.
【變式訓練】
【解】 算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③
S2，解③得x=;
S3，②-①×2得5y=3;④
S4，解④得y=;
命題方向3 篩選問題的算法設計
例3.設計一個算法，對任意3個整數(shù)a、b、c，求出其中的最小值.
[思路分析]比較a，b比較m與c―→最小數(shù)
[規(guī)范解答]算法步驟如下：
1.比較a與b的大小，若a
2.比較m與c的大小，若m
[規(guī)律總結(jié)]求最小(大)數(shù)就是從中篩選出最小(大)的一個，篩選過程中的每一步都是比較兩個數(shù)的大小，保證了篩選的可行性，這種方法可以推廣到從多個不同數(shù)中篩選出滿足要求的一個.
【變式訓練】在下列數(shù)字序列中，寫出搜索89的算法：
21,3,0,9,15,72,89,91,93.
[解析]1.先找到序列中的第一個數(shù)m，m=21;
2.將m與89比較，是否相等，如果相等，則搜索到89;
3.如果m與89不相等，則往下執(zhí)行;
4.繼續(xù)將序列中的其他數(shù)賦給m，重復第2步，直到搜索到89.
命題方向4 非數(shù)值性問題的算法
例4.一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊.
(1)設計安全渡河的算法;
(2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?
[解析](1)
1.人帶兩只狼過河;
2.人自己返回;
3.人帶一只狼過河;
4.人自己返回;
5.人帶兩只羚羊過河;
6.人帶兩只狼返回;
7.人帶一只羚羊過河;
8.人自己返回;
9.人帶兩只狼過河.
(2)在人運送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊的數(shù)目大于狼的數(shù)目.
[規(guī)律總結(jié)]1.對于非數(shù)值性的問題，在設計算法時，應當先建立過程模型，也就是找到解決問題的方案，再把它細化為一步連接一步組成的步驟.從而設計出算法.
2.首先應想到先運兩只狼，這是唯一的首選步驟，只有這樣才可避免狼吃羊，帶過一只羊后，必須將狼帶回來才行.
【變式訓練】兩個大人和兩個小孩一起渡河，渡口只有一條小船，每次只能渡一個大人或兩個小孩，他們四人都會劃船，但都不會游泳，他們?nèi)绾味珊?請寫出你的渡河方案及算法.
[解析]因為一次只能渡過一個大人或兩個小孩，而船還要回來渡其他人，所以只能讓兩個小孩先過河，渡河的方案算法為：
1.兩個小孩同船渡過河去;
2.一個小孩劃船回來;
3.一個大人獨自劃船渡過河去;
4.對岸的小孩劃船回來;
5.兩個小孩再同船渡過河去;
6.一個小孩劃船回來;
7.余下的一個大人獨自劃船渡過河去;
8.對岸的小孩劃船回來;
9.兩個小孩再同船渡過河去.
課后習題
1.以下對算法的描述正確的個數(shù)是()
①對一類問題都有效;
②對個別問題有效;
③計算可以一步步地進行，每一步都有唯一的結(jié)果;
④是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
[答案]C
[解析]①③④正確，均符合算法的概念與要求，②不正確.
2.算法的有限性是指()
A.算法的最后必包含輸出
B.算法中每個操作步驟都是可執(zhí)行的
C.算法的步驟必須有限
D.以上說法均不正確
[答案]C
[解析]由算法的要求可知，應選C.
3.下列語句中是算法的個數(shù)是()
①從廣州到北京旅游，先坐火車，再坐飛機抵達;
②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1;
③方程x2-1=0有兩個實根;
④求1+2+3+4的值，先計算1+2=3，再由3+3=6,6+4=10得最終結(jié)果10.
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
[答案]C
[分析]解答本題可先正確理解算法的概念及其特點，然后逐一驗證每個語句是否正確.
[解析]①中說明了從廣州到北京的行程安排，完成任務;②中給出了一元一次方程這一類問題的解決方法;④中給出了求1+2+3+4的一個過程，最終得出結(jié)果.對于③，并沒有說明如何去算，故①②④是算法，③不是算法.
4.設計一個算法求方程5x+2y=22的正整數(shù)解，其最后輸出的結(jié)果應為________.
[答案](2,6)，(4,1)
[解析]因為求方程的正整數(shù)解，所以應將x從1開始輸入，直到方程成立.
x=2時，y==6;
5.已知一個學生的語文成績?yōu)?9，數(shù)學成績?yōu)?6，外語成績?yōu)?9. 求它的總分和平均成績的一個算法為：
1.取A=89，B=96，C=99;
2.____①____;
3.____②____;
4.輸出D，E.
[解析]求總分需將三個數(shù)相加，求平均分，另需讓總分除以3即可.
x=4時，y==1.
[答案]①計算總分D=A+B+C?、谟嬎闫骄煽僂=
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