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靜安區(qū)2015屆高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)（文）試卷
（試卷滿分150分 考試時間120分鐘） 2014.12
一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1. 計算： .
2. 已知集合 ， ，則 .
3. 已知等差數(shù)列 的首項為3，公差為4，則該數(shù)列的前 項和 .
4. 一個不透明袋中有10個不同顏色的同樣大小的球，從中任意摸出2個，共有 種不同結(jié)果（用數(shù)值作答）.
5. 不等式 的解集是 .
6. 設(shè) ，則 .
7. 已知圓錐底面的半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為 的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是 .
8. 已知角 的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊在 軸的正半軸上，終邊在射線 （ ）上，則 .
9. 已知兩個向量 ， 的夾角為 ， ， 為單位向量， ，若 ，則 .
10. 已知兩條直線的方程分別為 ： 和 ： ，則這兩條直線的夾角大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.
11. 若 ， 是一二次方程 的兩根，則 .
12. 直線 經(jīng)過點 且點 到直線 的距離等于1，則直線 的方程是 .
13. 已知實數(shù) 、 滿足 ，則 的取值范圍是 .
14. 一個無窮等比數(shù)列的首項為2，公比為負(fù)數(shù)，各項和為 ，則 的取值范圍是 .
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
15. 在下列冪函數(shù)中，是偶函數(shù)且在 上是增函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知直線 ： 與直線 ： ，記 . 是兩條直線 與直線 平行的（ ）
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件
C. 充要條件 D. 既非充分又非必要條件
17. 已知 為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)的點 表示復(fù)數(shù) ，
則表示復(fù)數(shù) 的點是（ ）
A. B. C. D.
18. 到空間不共面的四點距離相等的平面的個數(shù)為（ ）
A. 1個 B. 4個 C. 7個 D. 8個
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
在銳角 中， 、 、 分別為內(nèi)角 、 、 所對的邊長，且滿足 .
（1）求 的大?。?BR> （2）若 ， 的面積 ，求 的值.
20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分.
上海出租車的價格規(guī)定：起步費14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元計算，可再行7公里；超過10公里按每公里3.6元計算，假設(shè)不考慮堵車和紅綠燈等所引起的費用，也不考慮實際收取費用去掉不足一元的零頭等實際情況，即每一次乘車的車費由行車?yán)锍涛ㄒ淮_定.
（1）小明乘出租車從學(xué)校到家，共8公里，請問他應(yīng)付出租車費多少元？（本小題只需要回答最后結(jié)果）
（2）求車費 （元）與行車?yán)锍?（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式 .
21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.
如圖，正方體 的棱長為2，點 為面 的對角線 的中點. 平面 交 與 ， 于 .
（1）求異面直線 與 所成角的大??；（結(jié)果可用反三角函數(shù)值表示）
（2）求三棱錐 的體積.
22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.
已知函數(shù) （其中 ）.
（1）判斷函數(shù) 的奇偶性，并說明理由；
（2）求函數(shù) 的反函數(shù) ；
（3）若兩個函數(shù) 與 在閉區(qū)間 上恒滿足 ，則稱函數(shù) 與 在閉區(qū)間 上是分離的.
試判斷函數(shù) 與 在閉區(qū)間 上是否分離？若分離，求出實數(shù) 的取值范圍；若不分離，請說明理由.
23.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分.
在數(shù)列 中，已知 ，前 項和為 ，且 .（其中 ）
（1）求 ；
（2）求數(shù)列 的通項公式；
（3）設(shè) ，問是否存在正整數(shù) 、 （其中 ），使得 、 、 成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組 ；否則，說明理由.
靜安區(qū)2014學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測
高三年級數(shù)學(xué)（文科）試卷答案
（試卷滿分150分 考試時間120分鐘） 2014.12
一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1. 計算： .
解： .
2. 已知集合 ， ，則 .
解： .
3. 已知等差數(shù)列 的首項為3，公差為4，則該數(shù)列的前 項和 .
解： .
4. 一個不透明袋中有10個不同顏色的同樣大小的球，從中任意摸出2個，共有 種不同結(jié)果（用數(shù)值作答）.
解：45.
5. 不等式 的解集是 .
解： .
6. 設(shè) ，則 .
解：256.
7. 已知圓錐底面的半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為 的扇形，則該圓錐的側(cè)面積是 .
解： .
8. 已知角 的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊在 軸的正半軸上，終邊在射線 （ ）上，則 .
解： .
9. 已知兩個向量 ， 的夾角為 ， ， 為單位向量， ，若 ，則 .
解：-2.
10. 已知兩條直線的方程分別為 ： 和 ： ，則這兩條直線的夾角大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.
解： （或 或 ）.
11. 若 ， 是一二次方程 的兩根，則 .
解：-3.
12. 直線 經(jīng)過點 且點 到直線 的距離等于1，則直線 的方程是 .
解： 或 .
13. 已知實數(shù) 、 滿足 ，則 的取值范圍是 .
解： .
14. 一個無窮等比數(shù)列的首項為2，公比為負(fù)數(shù)，各項和為 ，則 的取值范圍是 .
解： .
二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
15. 在下列冪函數(shù)中，是偶函數(shù)且在 上是增函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
16. 已知直線 ： 與直線 ： ，記 . 是兩條直線 與直線 平行的（ ）
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件
C. 充要條件 D. 既非充分又非必要條件
解：B.
17. 已知 為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)的點 表示復(fù)數(shù) ，
則表示復(fù)數(shù) 的點是（ ）
A. B. C. D.
解：D.
18. 到空間不共面的四點距離相等的平面的個數(shù)為（ ）
A. 1個 B. 4個 C. 7個 D. 8個
解：C.
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
在銳角 中， 、 、 分別為內(nèi)角 、 、 所對的邊長，且滿足 .
（1）求 的大?。?BR> （2）若 ， 的面積 ，求 的值.
解：（1）由正弦定理： ，得 ，∴ ，（4分）
又由 為銳角，得 .（6分）
（2） ，又∵ ，∴ ，（8分）
根據(jù)余弦定理： ，（12分）
∴ ，從而 .（14分）
20.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分.
上海出租車的價格規(guī)定：起步費14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元計算，可再行7公里；超過10公里按每公里3.6元計算，假設(shè)不考慮堵車和紅綠燈等所引起的費用，也不考慮實際收取費用去掉不足一元的零頭等實際情況，即每一次乘車的車費由行車?yán)锍涛ㄒ淮_定.
（1）小明乘出租車從學(xué)校到家，共8公里，請問他應(yīng)付出租車費多少元？（本小題只需要回答最后結(jié)果）
（2）求車費 （元）與行車?yán)锍?（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式 .
解：（1）他應(yīng)付出出租車費26元.（4分）
（2） .
21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.
如圖，正方體 的棱長為2，點 為面 的對角線 的中點. 平面 交 與 ， 于 .
（1）求異面直線 與 所成角的大??；（結(jié)果可用反三角函數(shù)值表示）
（2）求三棱錐 的體積.
解：（1）∵ 點 為面 的對角線 的中點，且 平面 ，
∴ 為 的中位線，得 ，
又∵ ，∴ ，（2分）
∵ 在底面 中， ， ，∴ ，
又∵ ， 為異面直線 與 所成角，（6分）
在 中， 為直角， ，∴ .
即異面直線 與 所成角的大小為 .（8分）
（2） ，（9分）
，（12分）
22.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分.
已知函數(shù) （其中 ）.
（1）判斷函數(shù) 的奇偶性，并說明理由；
（2）求函數(shù) 的反函數(shù) ；
（3）若兩個函數(shù) 與 在閉區(qū)間 上恒滿足 ，則稱函數(shù) 與 在閉區(qū)間 上是分離的.
試判斷函數(shù) 與 在閉區(qū)間 上是否分離？若分離，求出實數(shù) 的取值范圍；若不分離，請說明理由.
解：（1）∵ ，∴ 函數(shù) 的定義域為 ，（1分）
又∵ ，
∴ 函數(shù) 是奇函數(shù).（4分）
（2）由 ，且當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ，得 的值域為實數(shù)集.
解 得 ， .（8分）
（3） 在區(qū)間 上恒成立，即 ，
即 在區(qū)間 上恒成立，（11分）
令 ，∵ ，∴ ，
在 上單調(diào)遞增，∴ ，
解得 ，∴ .（16分）
23.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分7分.
在數(shù)列 中，已知 ，前 項和為 ，且 .（其中 ）
（1）求 ；
（2）求數(shù)列 的通項公式；
（3）設(shè) ，問是否存在正整數(shù) 、 （其中 ），使得 、 、 成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組 ；否則，說明理由.
解：（1）∵ ，令 ，得 ，∴ ，（3分）
或者令 ，得 ，∴ .
（2）當(dāng) 時， ，
∴ ，∴ ，
推得 ，又∵ ，∴ ，∴ ，
當(dāng) 時也成立，∴ （ ）.（9分）
（3）假設(shè)存在正整數(shù) 、 ，使得 、 、 成等比數(shù)列，則 、 、 成等差數(shù)列，故 （**）（11分）
由于右邊大于 ，則 ，即 ，
考查數(shù)列 的單調(diào)性，∵ ，
∴ 數(shù)列 為單調(diào)遞減數(shù)列.（14分）
當(dāng) 時， ，代入（**）式得 ，解得 ；
當(dāng) 時， （舍）.
綜上得：滿足條件的正整數(shù)組 為 .（16分）
（說明：從不定方程 以具體值代入求解也可參照上面步驟給分）
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