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絕密★啟用前
株洲市2015屆高三年級教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測（一）
數(shù)學(xué)試題答案（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
命題人：張耀華（株洲市二中） 向?yàn)槊瘢ň欧街袑W(xué)） 顏偉（南方中學(xué)）
第Ⅰ卷（選擇題）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．
1．設(shè)集合 ， ，則 （ B ）
A． B. C. D.
2．復(fù)數(shù) （其中 為虛數(shù)單位）的虛部等于( B )
A． B． C． D．
3．已知樣本數(shù)據(jù) 的平均數(shù)是5，標(biāo)準(zhǔn)差是 ，
則 （ A ）
A． B．
C． D．
4、閱讀下面程序框圖，則輸出結(jié)果 的值為( D )
A． B．
C． D．0
5．已知非零向量 ， ，則 =( C )
A． B. C. D.
6．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（ C ）
[來
A． B. C. D.
7．函數(shù) 的部分圖象如圖所示，若 ，則 等于( A )
A． B． C． D．
8. 給出下列兩個(gè)命題：命題 ：“ ， ”是“函數(shù) 為偶函數(shù)”的必要不充分條件；命題 ：函數(shù) 是奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（C ）
A． B． C． D．
9．若雙曲線 的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)。若直線PA、PB的傾斜角分別為α、β，且 ，那么α的值是（ D ）
A． B． C． D．
10．已知關(guān)于 的方程 在區(qū)間[k-1,k+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( A )
A. B. C. D.
二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，11，12,13為選做題，14,15,16為必做題，共25分．請將答案填在答題卷上）
（一）選做題（請考生在第11、12、13三題中任選兩題作答，如果全做，則按前2題給分）
11．如圖,在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O過A、B兩點(diǎn)且
與BC相切于點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D，連結(jié)BD，若BC＝ ,
則AC＝ 2 .
12．關(guān)于x的不等式 有解時(shí)，d的取值范圍是 .
13．已知直角坐標(biāo)系 中，直線l的參數(shù)方程： （t為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則以極點(diǎn)為圓心與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為 。
（二）必做題（14至16題）
14. 已知實(shí)數(shù)x、y滿足 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值與最小值的和是 9 ．
15. 展開式的中間項(xiàng)系數(shù)為20，右圖陰影部分是由曲線 和圓 及x軸圍成的封閉圖形， 則封閉圖形的面積S=
16.已知函數(shù) 的圖像不經(jīng)過第四象限，則函數(shù) 的值域?yàn)?BR>
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
17、（本題滿分12分）
設(shè) , 滿足 .
（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè) 三內(nèi)角 所對邊分別為 且 ，求 在
上的值域．
解：(1)
的單調(diào)減區(qū)間為 …………6分
（Ⅱ） ,由余弦定理可變形為 ，
由正弦定理： …………10分
由 …………12分
18．（本小題滿分12分)
如圖1，在Rt 中， ， ． ，將 沿 折起到 的位置，使 ，如圖2．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 與平面 所成二面角的大?。?nbsp;
解：（Ⅰ）證明： 在△ 中，
.又 .
由
. …………5分
（Ⅱ）如圖,以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 ．取A1C的中點(diǎn)F，連DF，
則
由（1）可知， , 從而
為平面 的法向量，
又 ，
設(shè)平面 的法向量為
由
平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 …………12分
19.（本小題滿分12分）
某公司舉辦一次募捐愛心演出，有1000人參加，每人一張門票，每張100元。在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動，第一輪抽獎(jiǎng)從這1000張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動。第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)實(shí)數(shù) （ ），若滿足 ，電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則抽獎(jiǎng)?wù)咴俅潍@得特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金；否則電腦顯示“謝謝”，則不中特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金。
（Ⅰ）已知小明在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，求小李參加此次活動收益的期望，若該公司在此次活動中收益的期望值是至少獲利70000元，求a的最大值。
解:（Ⅰ）設(shè)“小明在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A，所有基本事件構(gòu)成區(qū)域的面積為16，事件A所包含的基本事件的 區(qū)域的面積為5，∴P(A)= ． …………5分
（Ⅱ）特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為a元，設(shè)小李參加此次活動的收益為ξ，則ξ的可能取值為-100，900，a+900．
P(ξ=-100)= ，P(ξ=900)= ，P(ξ=a+900)= ．
∴ξ的分布列為
ξ -100 900 a+900
P
∴ ． …………10分
∴該集團(tuán)公司收益的期望為 ，
由題意 ，解得a≤6400．
故特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金最高可設(shè)置成6400元． …………12分
20. （本小題滿分13分）
已知數(shù)列 中， ， ，記 為 的前 項(xiàng)的和．
設(shè) ，證明：數(shù)列 是等比數(shù)列；
不等式： 對于一切 恒成立，求實(shí)數(shù) 的最大值.
解：（1）
所以 是以 ，公比為 的等比數(shù)列. …………4分
(2)由 知, ,
當(dāng) 時(shí),
當(dāng) 時(shí),
即 …………6分
即得
所以 …………11分
因 (當(dāng) 時(shí)等號成立)，
即所求的 最大值 . ………… 13分
21．（本小題滿分13分）
如圖，焦點(diǎn)在x軸的橢圓C： （b > 0），點(diǎn)G（2，0），點(diǎn)P在橢圓上，且PG⊥x軸，連接OP交直線x = 4于點(diǎn)M，連接MG交橢圓于A、B.
（Ⅰ）若G為橢圓右焦點(diǎn)，求|OM|；
（Ⅱ）記直線PA，PB的斜率分別為 ， ，求 的取值范圍.
解：不妨設(shè)P在x軸上方，因?yàn)闄E圓C的方程為 ，令x=2，則 ，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，
根據(jù)題意可得P為線段OM的中點(diǎn)，所以M的坐標(biāo)為 .
（Ⅰ）若G為橢圓右焦點(diǎn)，則 ，
所以 …………5分
（Ⅱ）因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)M、G，所以AB的斜率為 ，
則直線AB的方程為 ① …………7分
代入橢圓方程 并整理得： .…………8分
設(shè) ， ，則由韋達(dá)定理有
， ②
所以， .
因?yàn)橹本€AB的方程為 ，所以 ，
所以 ③ …………12分
因?yàn)?nbsp; ， ，所以 ，
所以， 的取值范圍是 …………13分
22．（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，求 在 處的切線方程；
(2)設(shè)函數(shù) ，
（?。┤艉瘮?shù) 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求 的值；
（ⅱ）在（?。┑臈l件下，若 ， ，求 的取值范圍．
解：（1）當(dāng) 時(shí)， 定義域 ，
，又
在 處的切線方程 …………4分
（2）（?。┝?BR> 則
即
令 ，
則
令
，
， 在 上是減函數(shù)
又
所以當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)函數(shù) 有且今有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， …………9分
（ⅱ）當(dāng) ， ，若 只需證明
令 得 或
又 ，
函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增
又 ，
即
…………13分
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