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2015屆高三年級(jí)第二次四校聯(lián)考
數(shù)學(xué)（理）試題
2014.12
命題：康杰中學(xué) 臨汾一中 忻州一中 長(zhǎng)治二中
【滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘】
一、選擇題(5×12＝60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)用2B鉛筆涂黑答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào))
1.已知集合 ， ，則集合
A. B. C. D.
2. 復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，若 ( 為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù) 的值為
A． B． C． D．
3. 設(shè)雙曲線 的漸近線方程為 ，則該雙曲線的離心率為
A． B．2 C． D．
4. 如圖所示的程序框圖，若輸入的 值為0，則輸出的 值為
A． B．0 C．1 D． 或0
5. 已知條件 ： ，條件 ： ，且 是 的充分
不必要條件，則 的取值范圍是
A. B．
C． D．
6. 已知實(shí)數(shù) 滿足 ，則 的最大值為
A． B． C． D．
7. 設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ，則
A． B． C． D．
8. 在三棱錐 中， ， ,二面角 的
余弦值是 ，則 三棱錐 外接球的表面積是
A. B. C. D.
9. 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為
A． B.
C. D.
10. 設(shè) 為拋物線 上不同的兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn),且 ,則 面積的最小值為
A． B．
C． D．
11. 在平面直角坐標(biāo)系 中，已知 是函數(shù) 的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖像
在點(diǎn) 處的切線 交 軸于點(diǎn) .過(guò)點(diǎn) 作 的垂線交 軸于點(diǎn) ，設(shè)線段 的中 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，則 的最大值是
A． B． C． D．
12.已知函數(shù) ，則方程 的根的個(gè)數(shù)不可能為
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空題(4×5=20分, 把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上)
13. 已知 ， ， ，則向量 與 的夾角是___________.
14. 若函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從 減小到 ，則 ___________.
15. 拋物線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若 ，則 的最小
值為_(kāi)__________.
16. 已知數(shù)列 ，則 ___________.
三、解答題(本大題6小題,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，并把解答寫(xiě)在答卷紙的相應(yīng)位置上)
17. (本小題滿分12分)
在 中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，面積為S．已知
（1）求 ; （2）若 ，求S的最大值.
18．（本小題滿分12分）
如圖1，直角梯形 中， ∥ , , 是底邊 上的一點(diǎn)，且 . 現(xiàn)將 沿 折起到 的位置，得到如圖2所示的四棱錐 且 .
（1）求證： 平面 ;
（2）若 是棱 的中點(diǎn)，求直線 與平面 所成角的正弦值.
19．（本小題滿分12分）
在等差數(shù)列 中， 為其前 項(xiàng)和，已知 ;正項(xiàng)數(shù)列 滿足：
， .
（1）求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) 求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
20．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系 中， 分別為橢圓 ： 的左、右焦點(diǎn), 為短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 是橢圓 上的一點(diǎn)，滿足 ，且 的周長(zhǎng)為 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）設(shè)點(diǎn) 是線段 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 且與 軸不垂直的直線 交橢圓 于 兩點(diǎn)，若 是以 為頂點(diǎn)的等腰三角形，求點(diǎn) 到直線 距離的取值范圍.
21. ( 本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù) （其中 28．．．）， ，已知它們?cè)?處有相同的切線.
(1) 求函數(shù) , 的解析式；
(2) 求函數(shù) 在 上的最小值；
(3) 若對(duì) ， 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
請(qǐng)考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右側(cè)的方框涂黑．
22．(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講
如圖， 邊AB上的高，
（1）證明：A、B、P、Q四點(diǎn)共圓；
（2）若CQ=4，AQ=1，PF= ，求CB的長(zhǎng).
23．(本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線 的極坐標(biāo)方程是 ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線 的參數(shù)方程是 是參數(shù)
（1）將曲線 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線 與曲線 相交于 、 兩點(diǎn)，且 ，求直線的傾斜角 的值．
24．(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)
（1）解不等式 ;
（2）設(shè) ，對(duì)任意 都有 ，求 的取值范圍.
2015屆高三年級(jí)第二次四校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（每小題5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA
二、填空題（每小題5分，共20分） 13. 14. 15. 16.
三、解答題：17、 (本小題滿分12分)
解：（1）條件可化為 …2分
由余弦定理可得 ， …6分
故 …8分
（2）
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)“＝”成立 …12分
18、 (本小題滿分12分)
解：（1）設(shè) ，則
∴ ………2分
又 ，
∴
∴ ………4分
又 ∩
∴ 平面 ………5分
（2）由（1）知： 平面 且 ,分別以 為 軸、 軸、 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 ………6分
則
是 的中點(diǎn) ∴ ∴ ………8分
設(shè)平面 的法向量為
由 即 令 得 ………10分
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，則
∴ 直線 與平面 所成角的正弦值為 . ………12分
19、(本小題滿分12分) 解：（1）設(shè)等差數(shù)列 的公差為 。
則 解得
∴ ………3分
又 ∵ ∴
即數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列
∵ 得： ∴ ……6分
（2） ①
②
①- ②得：
………9分
∴
………12分
20、(本小題滿分12分)解：（1）由已知 ，設(shè) ，即
∴ 即 ∴ 得： ①………2分
又 的周長(zhǎng)為 ∴ ② ………4分
又①②得： ∴ ∴所求橢圓 的方程為： …5分
（2）設(shè)點(diǎn) ,直線 的方程為
由 消去 ，得：
設(shè) ， 中點(diǎn)為
則 ∴
∴
即 ………8分
∵ 是以 為頂點(diǎn)的等腰三角形 ∴ 即
∴ ………10分
設(shè)點(diǎn) 到直線 距離為 ，
則 ∴
即點(diǎn) 到直線距離的取值范圍是 。 ………12分
另解： ∴
法2：∵ 是以 為頂點(diǎn)的等腰三角形
∴
∵
∴ ………8分
又
∴
∴ ∴ ……10分
以下同解法一。
21、 (本小題滿分12分)解：（1） ， ．由題意兩函數(shù)在 處有相同的切線．
， ， ． ， ．
， ……3分
（2） ，由 得 ，由 得 ，
在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減．
當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞增，
； ……7分
（3）令 ，
由題意，當(dāng) ， ．
， 恒成立， ， ．
，
，由 得 ， ．
由 得
在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增．……10分
當(dāng) ，即 時(shí)， 在 單調(diào)遞增， ，不滿足 ．
當(dāng) ，即 時(shí)，由知 滿足 ．
當(dāng) ，即 時(shí)， 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增， ，滿足 ．
綜上所述，滿足題意的 的取值范圍為 ． ……12分
22、(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講
(1) 證明:連接QP，由已知C、P、F、Q四點(diǎn)共圓，
則四點(diǎn)A、B、P、Q共圓. ……5分
(2) 解:
……10分
23、(本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解:（1） ……4分
（2）將 代入圓的方程得 ，
化簡(jiǎn)得 .
設(shè) 、 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 、 ,則 , ……6分
,
, , 或 . ……10分
24、(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
解：（1） -2 當(dāng) 時(shí)， , 即 ，∴ ；
當(dāng) 時(shí)， ,即 ,∴
當(dāng) 時(shí)， , 即 , ∴1 6
綜上，{ | 6} ……5分
（2）
函數(shù) 的圖像如圖所示：
∵ ， 表示直線的縱截距，當(dāng)直線過(guò)(1,3)點(diǎn)時(shí)， ；
∴當(dāng)- 2，即 -2時(shí)成立； ……8分
當(dāng) ，即 時(shí)，令 ， 得 ,
∴ 2+ ,即 4時(shí)成立，綜上 -2或 4。 ……10分
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