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福州市2014－2015學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢查
理科數(shù)學(xué)試卷
（滿分：150分;完卷時間：120分鐘）
注意事項：
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級、準(zhǔn)考證號、姓名；
2．本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個選項中有且只有一個選項是正確的．把正確選項涂在答題卡的相應(yīng)位置上．）
1． 如圖，復(fù)平面上的點 到原點的距離都相等．若復(fù)數(shù) 所對應(yīng)的點為 ，則復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為（ ?。?BR> A． B．
C． D．
2． 已知 ，則 的值是（ ）．
A．2 B． C． D．
3． 已知 ，則“ ”是“ ”的（ ?。?BR> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4． 某班有49位同學(xué)玩“數(shù)字接龍”游戲，具體規(guī)則按如圖所示的程序
框圖執(zhí)行（其中 為座位號），并以輸出的值作為下一個輸入的值．
若第一次輸入的值為8，則第三次輸出的值為（ ）．
A．8 B．15
C．29 D．36
5． 如圖，若在矩形 中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為（ ?。?BR> A． B．
C． D．
6． 已知函數(shù) 的值域為 ，則函數(shù) 的定義域為（ ?。?BR> A． B． C． D．
7． 已知拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為 ．現(xiàn)采用隨機模擬試驗的方法估計拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率：先由計算器產(chǎn)生0或1的隨機數(shù)，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三個隨機數(shù)做為一組，代表這三次投擲的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬試驗產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
101 111 010 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
據(jù)此估計，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率為（ ?。?BR> A． B． C． D．
8． 的三個內(nèi)角 所對的邊分別為 . 若 ，則角 的大小為（ ?。?BR> A． B． C． D．
9． 若雙曲線 （ ）的右焦點 到其漸近線的距離為 ，則雙曲線 的離心率為（ ）．
A． B． C．2 D．4
10． 定義運算“ ”為： .若函數(shù) ，則該函數(shù)的圖象大致是（ ?。?BR>
A B C D
11． 已知 的三個頂點 的坐標(biāo)分別為 ， 為坐標(biāo)原點，動點 滿足 ，則 的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
12． 已知直線 與曲線 沒有公共點．若平行于 的直線與曲線 有且只有一個公共點，則符合條件的直線 （ ?。?BR> A．不存在 B．恰有一條 C．恰有兩條 D．有無數(shù)條
第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．）
13． 若變量 滿足約束條件 ，則 的最小值為 ★★★?。?BR> 14． 已知 ，則 中的所有偶數(shù)的和等于 ★★★ ．
15． 已知橢圓 的左焦點為 ，點 是橢圓上異于頂點的任意一點， 為坐標(biāo)原點．若點 是線段 的中點，則 的周長為 ★★★ ．
16. 若數(shù)列 滿足 （ ），則稱數(shù)列 為凹數(shù)列．已知等差數(shù)
列 的公差為 ， ，且數(shù)列 是凹數(shù)列，則 的取值范圍為 ★★★?。?BR> 三、解答題（本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17.（本小題滿分12分）
已知等比數(shù)列 的公比 ， ， 是方程 的兩根．
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列 的前 項和 ．
18.（本小題滿分12分）
“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動，活動規(guī)定：被邀請者要么在24小時內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動.若被邀請者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請另外3個人參與這項活動.假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響.
（Ⅰ）若某被邀請者接受挑戰(zhàn)后，對其他3個人發(fā)出邀請，則這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請到的3個人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動規(guī)定，現(xiàn)記 為接下來被邀請到的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求 的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.
19.（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 在同一半周期內(nèi)的圖象過點 ，其中 為坐標(biāo)原點， 為函數(shù) 圖象的最高點， 為函數(shù) 的圖象與 軸的正半軸的交點．
（Ⅰ）試判斷 的形狀，并說明理由．
（Ⅱ）若將 繞原點 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 時，頂點 恰好同時落在曲線 上（如圖所示），求實數(shù) 的值．
20.（本小題滿分12分）
一種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效治療的作用．已知每服用 （ 且 ）個單位的藥劑，藥劑在血液中的含量 （克）隨著時間 （小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為 ，其中
(Ⅰ)若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達(dá)多少小時？
(Ⅱ)若病人第一次服用2個單位的藥劑，6個小時后再服用 個單位的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續(xù)有效治療，試求 的最小值．
21.（本小題滿分12分）
已知拋物線 的頂點為坐標(biāo)原點，焦點為 ．
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）若點 為拋物線 的準(zhǔn)線上的任意一點，過點 作拋物線 的切線 與 ，切點分別為 ，求證：直線 恒過某一定點；
(Ⅲ)分析(Ⅱ)的條件和結(jié)論，反思其解題過程，再對命題(Ⅱ)進(jìn)行變式和推廣．請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的真命題，不要求證明（說明：本小題將根據(jù)所給出的命題的正確性和一般性酌情給分）．
22.（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ，其中 是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù) 在 內(nèi)的零點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ） ，使得不等式 成立，試求實數(shù) 的取值范圍；
（Ⅲ）若 ，求證： ．
福州市2014－2015學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢查
理科數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分細(xì)則
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，
13． 14．32 15． 16．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．
17． 本題主要考查一元二次方程的根、等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法求數(shù)列的和等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．
解：（Ⅰ）方程 的兩根分別為1,2， 1分
依題意得 ， ． 2分
所以 ， 3分
所以數(shù)列 的通項公式為 ． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 5分
所以 ， ①
， ②
由①－②得
， 8分
即 ， 11分
所以 ． 12分
18．本題主要考查離散型隨機變量的概率、分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力以及應(yīng)用意識，考查必然與或然思想等．
解法一：（Ⅰ）這3個人接受挑戰(zhàn)分別記為 、 、 ，則 分別表示這3個人不接受挑戰(zhàn)．
這3個人參與該項活動的可能結(jié)果為： ， ， ， ， ， ， ， ．共有8種； 2分
其中，至少有2個人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有： ， ， ， ，共有4種． 3分
根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為 ． 4分
（說明：若學(xué)生先設(shè)“用 中的 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”，再將所有結(jié)果寫成 , , ， , , , , ，不扣分．）
（Ⅱ）因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，
所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為 ，不接受挑戰(zhàn)的概率也為 ． 5分
所以 ， ，
， ，
， ，
9分
故 的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6
10分
所以 ．
故所求的期望為 ． 12分
解法二：因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，
所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為 ，不接受挑戰(zhàn)的概率也為 ． 1分
（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)”，
則 ． 4分
（Ⅱ）因為 為接下來被邀請的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，
所以 ． 5分
所以 ， ，
， ，
， ，
9分
故 的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6
10分
所以 ．
故所求的期望為 ． 12分
19．本題主要考查反比例函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、兩角和的正弦公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．
解法一：（Ⅰ） 為等邊三角形． 1分
理由如下：
因為函數(shù) ，
所以 ，所以函數(shù) 的半周期為4，
所以 ． 2分
又因為 為函數(shù) 圖象的最高點，
所以點 坐標(biāo)為 ，所以 ， 4分
又因為 坐標(biāo)為 ，所以 ，
所以 為等邊三角形． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
所以點 , 的坐標(biāo)分別為 , ， 7分
代入 ，得 ，
且 ， 9分
所以 ，結(jié)合 ， ，
解得 ， 11分
所以 ，所以所求的實數(shù) 的值為4． 12分
解法二：（Ⅰ） 為等邊三角形． 1分
理由如下：
因為函數(shù) ，
所以 ，所以函數(shù) 的半周期為4，所以 ， 2分
因為 為函數(shù) 的圖象的最高點，
所以點 坐標(biāo)為 ，所以 ，所以 ． 4分
又因為直線 的斜率 ，所以 ，
所以 為等邊三角形． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
所以點 , 的坐標(biāo)分別為 , ， 7分
因為點 , 在函數(shù) 的圖象上，
所以 , 8分
所以 , 9分
消去 得， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， 10分
又因為 ，所以 ，所以 ， 11分
所以 ．所以所求的實數(shù) 的值為4． 12分
解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 為等邊三角形．
因為函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱， 8分
由圖象可知，當(dāng) 時，點 , 恰在函數(shù) 的圖象上． 10分
此時點 的坐標(biāo)為 ， 11分
所以 ，所以所求的實數(shù) 的值為4． 12分
20． 本題主要考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用問題、一元二次函數(shù)的最值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用意識、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等．
解：（I）因為 ，所以 ． 1分
當(dāng) 時，由 ，解得 ，此時 ； 3分
當(dāng) 時，由 ，解得 ，此時 ． 5分
綜上所述， ．
故若一次服用3個單位的藥劑，則有效治療的時間可達(dá) 小時． 6分
（Ⅱ）當(dāng) 時， ， 8分
因為 對 恒成立，
即 對 恒成立，
等價于 ， ． 9分
令 ，則函數(shù) 在 是單調(diào)遞增函數(shù)， 10分
當(dāng) 時，函數(shù) 取得最大值為 ， 11分
所以 ，所以所求的 的最小值為 ． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）當(dāng) 時， ， 8分
注意到 及 （ 且 ）均關(guān)于 在 上單調(diào)遞減，
則 關(guān)于 在 上單調(diào)遞減， 10分
故 ，由 ，得 ， 11分
所以所求的 的最小值為 ． 12分
21． 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、歸納推理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．
解：（Ⅰ）依題意可設(shè)拋物線 的方程為： （ ）． 1分
由焦點為 可知 ，所以 ． 2分
所以所求的拋物線方程為 ． 3分
（Ⅱ）方法一：
設(shè)切點 、 坐標(biāo)分別為 ，由（Ⅰ）知， ．
則切線 的斜率分別為 ，
故切線 的方程分別為 ， ， 4分
聯(lián)立以上兩個方程，得 .故 的坐標(biāo)為 ， 5分
因為點 在拋物線 的準(zhǔn)線上，所以 ，即 ． 6分
設(shè)直線 的方程為 ，代入拋物線方程 ，得 ，
所以 ，即 ，所以 ． 7分
故 的方程為 ，故直線 恒過定點 ． 8分
方法二：設(shè)切點 、 坐標(biāo)分別為 ，設(shè) ，
易知直線 斜率必存在，可設(shè)過點 的切線方程為 ．
由 ，消去 并整理得 ． ①
因為切線與拋物線有且只有一個交點，
所以 ，整理得 ， ②
所以直線 斜率 為方程②的兩個根，故 ， 4分
另一方面，由 可得方程①的解為 ，
所以 ． 5分
假設(shè)存在一定點，使得直線 恒過該定點，則由拋物線對稱性可知該定點必在 軸
上，設(shè)該定點為 ， 6分
則 ．
所以 ，
所以 ，整理得
所以 ，
所以 7分
所以直線 過定點 ． 8分
（Ⅲ）結(jié)論一：若點 為直線 （ ）上的任意一點，過點 作拋物線 （ ）的切線 ，切點分別為 ，則直線 恒過定點 ． 12分
結(jié)論二：過點 （ ）任作一條直線交拋物線 于 兩點，分別以點 為切點作該拋物線的切線，兩切線交于點 ，則點 必在定直線 上． 12分
結(jié)論三：已知點 為直線 上的一點，若過點 可以作兩條直線與拋物線 （ ）相切，切點分別為 ，則直線 恒過定點 ． 12分
說明：①以上兩結(jié)論只要給出其中一個即可或給出更一般性的結(jié)論；
②以上兩結(jié)論中的拋物線開口方向均可改變；
③該小題評分可對照以下表格分等級給分：
得分 答題情況
0分 寫出與命題（?。o關(guān)的結(jié)論．
所給命題的條件與結(jié)論均存在問題．
1分 將準(zhǔn)線或拋物線改為其它特殊情況，結(jié)論正確.
將準(zhǔn)線或拋物線其中一個一般化，但結(jié)論中的定點（或定直線）有誤．
2分 寫出命題的逆命題，結(jié)論正確.( 其它分點逆命題相應(yīng)給分)
將準(zhǔn)線和拋物線都推廣成一般情況，但結(jié)論中的定點（或定直線）有誤．
3分 將準(zhǔn)線和拋物線其中一個推廣成一般情況，結(jié)論正確．
將準(zhǔn)線和拋物線都推廣成一般情況，但 中漏寫一個或兩個．
4分 將準(zhǔn)線和拋物線都推廣成一般情況，結(jié)論正確．
22．本題主要考查函數(shù)的零點、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的恒成立等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．
解：（Ⅰ）函數(shù) 在 上的零點的個數(shù)為1． 1分
理由如下：
因為 ，所以 ． 2分
因為 ，所以 ，
所以函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)． 3分
因為 ， ，
根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得
函數(shù) 在 上的零點的個數(shù)為1． 4分
（Ⅱ）因為不等式 等價于 ，
所以 ，使得不等式 成立，等價于
，即 ． 6分
當(dāng) 時， ，故 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以 時， 取得最小值 ． 7分
又 ，由于 ，
所以 ，故 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
因此， 時， 取得最大值 ． 8分
所以 ，所以 ．
所以實數(shù) 的取值范圍是 ． 9分
（Ⅲ）當(dāng) 時，要證 ，只要證 ，
只要證 ，
只要證 ，
由于 ，只要證 ． 10分
下面證明 時，不等式 成立．
令 ，則 ，
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時， ， 單調(diào)遞增．
所以當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取得極小值也就是最小值為1．
令 ，其可看作點 與點 連線的斜率，
所以直線 的方程為： ，
由于點 在圓 上，所以直線 與圓 相交或相切，
當(dāng)直線 與圓 相切且切點在第二象限時，
直線 取得斜率 的最大值為 ． 12分
故 時， ； 時， ． 13分
綜上所述，當(dāng) 時， 成立． 14分
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