出國(guó)留學(xué)網(wǎng)高考頻道為您提供最及時(shí)的資訊，下面的2015福州高三市質(zhì)檢數(shù)學(xué)理試題及答案希望對(duì)您有所幫助
福州市2014－2015學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢查
理科數(shù)學(xué)試卷
（滿分：150分;完卷時(shí)間：120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的密封線內(nèi)填寫學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)、姓名；
2．本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷 （選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．把正確選項(xiàng)涂在答題卡的相應(yīng)位置上．）
1． 如圖，復(fù)平面上的點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離都相等．若復(fù)數(shù) 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，則復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（ ?。?BR> A． B．
C． D．
2． 已知 ，則 的值是（ ?。?BR> A．2 B． C． D．
3． 已知 ，則“ ”是“ ”的（ ?。?BR> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4． 某班有49位同學(xué)玩“數(shù)字接龍”游戲，具體規(guī)則按如圖所示的程序
框圖執(zhí)行（其中 為座位號(hào)），并以輸出的值作為下一個(gè)輸入的值．
若第一次輸入的值為8，則第三次輸出的值為（ ?。?BR> A．8 B．15
C．29 D．36
5． 如圖，若在矩形 中隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為（ ?。?BR> A． B．
C． D．
6． 已知函數(shù) 的值域?yàn)?，則函數(shù) 的定義域?yàn)椋ā 。?BR> A． B． C． D．
7． 已知拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為 ．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0或1的隨機(jī)數(shù)，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)做為一組，代表這三次投擲的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
101 111 010 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
據(jù)此估計(jì)，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率為（ ）．
A． B． C． D．
8． 的三個(gè)內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 . 若 ，則角 的大小為（ ?。?BR> A． B． C． D．
9． 若雙曲線 （ ）的右焦點(diǎn) 到其漸近線的距離為 ，則雙曲線 的離心率為（ ?。?BR> A． B． C．2 D．4
10． 定義運(yùn)算“ ”為： .若函數(shù) ，則該函數(shù)的圖象大致是（ ?。?BR>
A B C D
11． 已知 的三個(gè)頂點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 ， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，則 的最小值是（ ?。?BR> A． B． C． D．
12． 已知直線 與曲線 沒(méi)有公共點(diǎn)．若平行于 的直線與曲線 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合條件的直線 （ ）．
A．不存在 B．恰有一條 C．恰有兩條 D．有無(wú)數(shù)條
第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上．）
13． 若變量 滿足約束條件 ，則 的最小值為 ★★★ ．
14． 已知 ，則 中的所有偶數(shù)的和等于 ★★★ ．
15． 已知橢圓 的左焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)，則 的周長(zhǎng)為 ★★★?。?BR> 16. 若數(shù)列 滿足 （ ），則稱數(shù)列 為凹數(shù)列．已知等差數(shù)
列 的公差為 ， ，且數(shù)列 是凹數(shù)列，則 的取值范圍為 ★★★ ．
三、解答題（本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
17.（本小題滿分12分）
已知等比數(shù)列 的公比 ， ， 是方程 的兩根．
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ．
18.（本小題滿分12分）
“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：被邀請(qǐng)者要么在24小時(shí)內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動(dòng).若被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請(qǐng)另外3個(gè)人參與這項(xiàng)活動(dòng).假設(shè)每個(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響.
（Ⅰ）若某被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)后，對(duì)其他3個(gè)人發(fā)出邀請(qǐng)，則這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請(qǐng)到的3個(gè)人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動(dòng)規(guī)定，現(xiàn)記 為接下來(lái)被邀請(qǐng)到的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求 的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.
19.（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 在同一半周期內(nèi)的圖象過(guò)點(diǎn) ，其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為函數(shù) 圖象的最高點(diǎn)， 為函數(shù) 的圖象與 軸的正半軸的交點(diǎn)．
（Ⅰ）試判斷 的形狀，并說(shuō)明理由．
（Ⅱ）若將 繞原點(diǎn) 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 時(shí)，頂點(diǎn) 恰好同時(shí)落在曲線 上（如圖所示），求實(shí)數(shù) 的值．
20.（本小題滿分12分）
一種藥在病人血液中的含量不低于2克時(shí)，它才能起到有效治療的作用．已知每服用 （ 且 ）個(gè)單位的藥劑，藥劑在血液中的含量 （克）隨著時(shí)間 （小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為 ，其中
(Ⅰ)若病人一次服用3個(gè)單位的藥劑，則有效治療時(shí)間可達(dá)多少小時(shí)？
(Ⅱ)若病人第一次服用2個(gè)單位的藥劑，6個(gè)小時(shí)后再服用 個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效治療，試求 的最小值．
21.（本小題滿分12分）
已知拋物線 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 ．
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn) 為拋物線 的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作拋物線 的切線 與 ，切點(diǎn)分別為 ，求證：直線 恒過(guò)某一定點(diǎn)；
(Ⅲ)分析(Ⅱ)的條件和結(jié)論，反思其解題過(guò)程，再對(duì)命題(Ⅱ)進(jìn)行變式和推廣．請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的真命題，不要求證明（說(shuō)明：本小題將根據(jù)所給出的命題的正確性和一般性酌情給分）．
22.（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ，其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）判斷函數(shù) 在 內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ） ，使得不等式 成立，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（Ⅲ）若 ，求證： ．
福州市2014－2015學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢查
理科數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分細(xì)則
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．C 2．B 3．A 4．A 5．B 6．D
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，
13． 14．32 15． 16．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．
17． 本題主要考查一元二次方程的根、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．
解：（Ⅰ）方程 的兩根分別為1,2， 1分
依題意得 ， ． 2分
所以 ， 3分
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 5分
所以 ， ①
， ②
由①－②得
， 8分
即 ， 11分
所以 ． 12分
18．本題主要考查離散型隨機(jī)變量的概率、分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想等．
解法一：（Ⅰ）這3個(gè)人接受挑戰(zhàn)分別記為 、 、 ，則 分別表示這3個(gè)人不接受挑戰(zhàn)．
這3個(gè)人參與該項(xiàng)活動(dòng)的可能結(jié)果為： ， ， ， ， ， ， ， ．共有8種； 2分
其中，至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有： ， ， ， ，共有4種． 3分
根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為 ． 4分
（說(shuō)明：若學(xué)生先設(shè)“用 中的 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”，再將所有結(jié)果寫成 , , ， , , , , ，不扣分．）
（Ⅱ）因?yàn)槊總€(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，
所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為 ，不接受挑戰(zhàn)的概率也為 ． 5分
所以 ， ，
， ，
， ，
9分
故 的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6
10分
所以 ．
故所求的期望為 ． 12分
解法二：因?yàn)槊總€(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，
所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為 ，不接受挑戰(zhàn)的概率也為 ． 1分
（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)”，
則 ． 4分
（Ⅱ）因?yàn)?為接下來(lái)被邀請(qǐng)的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，
所以 ． 5分
所以 ， ，
， ，
， ，
9分
故 的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6
10分
所以 ．
故所求的期望為 ． 12分
19．本題主要考查反比例函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、兩角和的正弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．
解法一：（Ⅰ） 為等邊三角形． 1分
理由如下：
因?yàn)楹瘮?shù) ，
所以 ，所以函數(shù) 的半周期為4，
所以 ． 2分
又因?yàn)?為函數(shù) 圖象的最高點(diǎn)，
所以點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，所以 ， 4分
又因?yàn)?坐標(biāo)為 ，所以 ，
所以 為等邊三角形． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
所以點(diǎn) , 的坐標(biāo)分別為 , ， 7分
代入 ，得 ，
且 ， 9分
所以 ，結(jié)合 ， ，
解得 ， 11分
所以 ，所以所求的實(shí)數(shù) 的值為4． 12分
解法二：（Ⅰ） 為等邊三角形． 1分
理由如下：
因?yàn)楹瘮?shù) ，
所以 ，所以函數(shù) 的半周期為4，所以 ， 2分
因?yàn)?為函數(shù) 的圖象的最高點(diǎn)，
所以點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，所以 ，所以 ． 4分
又因?yàn)橹本€ 的斜率 ，所以 ，
所以 為等邊三角形． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
所以點(diǎn) , 的坐標(biāo)分別為 , ， 7分
因?yàn)辄c(diǎn) , 在函數(shù) 的圖象上，
所以 , 8分
所以 , 9分
消去 得， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， 10分
又因?yàn)?nbsp; ，所以 ，所以 ， 11分
所以 ．所以所求的實(shí)數(shù) 的值為4． 12分
解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 為等邊三角形．
因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 8分
由圖象可知，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) , 恰在函數(shù) 的圖象上． 10分
此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 11分
所以 ，所以所求的實(shí)數(shù) 的值為4． 12分
20． 本題主要考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題、一元二次函數(shù)的最值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用意識(shí)、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等．
解：（I）因?yàn)?，所以 ． 1分
當(dāng) 時(shí)，由 ，解得 ，此時(shí) ； 3分
當(dāng) 時(shí)，由 ，解得 ，此時(shí) ． 5分
綜上所述， ．
故若一次服用3個(gè)單位的藥劑，則有效治療的時(shí)間可達(dá) 小時(shí)． 6分
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， ， 8分
因?yàn)?對(duì) 恒成立，
即 對(duì) 恒成立，
等價(jià)于 ， ． 9分
令 ，則函數(shù) 在 是單調(diào)遞增函數(shù)， 10分
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最大值為 ， 11分
所以 ，所以所求的 的最小值為 ． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， ， 8分
注意到 及 （ 且 ）均關(guān)于 在 上單調(diào)遞減，
則 關(guān)于 在 上單調(diào)遞減， 10分
故 ，由 ，得 ， 11分
所以所求的 的最小值為 ． 12分
21． 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．
解：（Ⅰ）依題意可設(shè)拋物線 的方程為： （ ）． 1分
由焦點(diǎn)為 可知 ，所以 ． 2分
所以所求的拋物線方程為 ． 3分
（Ⅱ）方法一：
設(shè)切點(diǎn) 、 坐標(biāo)分別為 ，由（Ⅰ）知， ．
則切線 的斜率分別為 ，
故切線 的方程分別為 ， ， 4分
聯(lián)立以上兩個(gè)方程，得 .故 的坐標(biāo)為 ， 5分
因?yàn)辄c(diǎn) 在拋物線 的準(zhǔn)線上，所以 ，即 ． 6分
設(shè)直線 的方程為 ，代入拋物線方程 ，得 ，
所以 ，即 ，所以 ． 7分
故 的方程為 ，故直線 恒過(guò)定點(diǎn) ． 8分
方法二：設(shè)切點(diǎn) 、 坐標(biāo)分別為 ，設(shè) ，
易知直線 斜率必存在，可設(shè)過(guò)點(diǎn) 的切線方程為 ．
由 ，消去 并整理得 ． ①
因?yàn)榍芯€與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以 ，整理得 ， ②
所以直線 斜率 為方程②的兩個(gè)根，故 ， 4分
另一方面，由 可得方程①的解為 ，
所以 ． 5分
假設(shè)存在一定點(diǎn)，使得直線 恒過(guò)該定點(diǎn)，則由拋物線對(duì)稱性可知該定點(diǎn)必在 軸
上，設(shè)該定點(diǎn)為 ， 6分
則 ．
所以 ，
所以 ，整理得
所以 ，
所以 7分
所以直線 過(guò)定點(diǎn) ． 8分
（Ⅲ）結(jié)論一：若點(diǎn) 為直線 （ ）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作拋物線 （ ）的切線 ，切點(diǎn)分別為 ，則直線 恒過(guò)定點(diǎn) ． 12分
結(jié)論二：過(guò)點(diǎn) （ ）任作一條直線交拋物線 于 兩點(diǎn)，分別以點(diǎn) 為切點(diǎn)作該拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn) ，則點(diǎn) 必在定直線 上． 12分
結(jié)論三：已知點(diǎn) 為直線 上的一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn) 可以作兩條直線與拋物線 （ ）相切，切點(diǎn)分別為 ，則直線 恒過(guò)定點(diǎn) ． 12分
說(shuō)明：①以上兩結(jié)論只要給出其中一個(gè)即可或給出更一般性的結(jié)論；
②以上兩結(jié)論中的拋物線開(kāi)口方向均可改變；
③該小題評(píng)分可對(duì)照以下表格分等級(jí)給分：
得分 答題情況
0分 寫出與命題（?。o(wú)關(guān)的結(jié)論．
所給命題的條件與結(jié)論均存在問(wèn)題．
1分 將準(zhǔn)線或拋物線改為其它特殊情況，結(jié)論正確.
將準(zhǔn)線或拋物線其中一個(gè)一般化，但結(jié)論中的定點(diǎn)（或定直線）有誤．
2分 寫出命題的逆命題，結(jié)論正確.( 其它分點(diǎn)逆命題相應(yīng)給分)
將準(zhǔn)線和拋物線都推廣成一般情況，但結(jié)論中的定點(diǎn)（或定直線）有誤．
3分 將準(zhǔn)線和拋物線其中一個(gè)推廣成一般情況，結(jié)論正確．
將準(zhǔn)線和拋物線都推廣成一般情況，但 中漏寫一個(gè)或兩個(gè)．
4分 將準(zhǔn)線和拋物線都推廣成一般情況，結(jié)論正確．
22．本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的恒成立等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．
解：（Ⅰ）函數(shù) 在 上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1． 1分
理由如下：
因?yàn)?，所以 ． 2分
因?yàn)?，所以 ，
所以函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)． 3分
因?yàn)?， ，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得
函數(shù) 在 上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1． 4分
（Ⅱ）因?yàn)椴坏仁?等價(jià)于 ，
所以 ，使得不等式 成立，等價(jià)于
，即 ． 6分
當(dāng) 時(shí)， ，故 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以 時(shí)， 取得最小值 ． 7分
又 ，由于 ，
所以 ，故 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
因此， 時(shí)， 取得最大值 ． 8分
所以 ，所以 ．
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ． 9分
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，要證 ，只要證 ，
只要證 ，
只要證 ，
由于 ，只要證 ． 10分
下面證明 時(shí)，不等式 成立．
令 ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增．
所以當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得極小值也就是最小值為1．
令 ，其可看作點(diǎn) 與點(diǎn) 連線的斜率，
所以直線 的方程為： ，
由于點(diǎn) 在圓 上，所以直線 與圓 相交或相切，
當(dāng)直線 與圓 相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，
直線 取得斜率 的最大值為 ． 12分
故 時(shí)， ； 時(shí)， ． 13分
綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 成立． 14分
點(diǎn)擊下載：福建省福州市2015屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)理試題
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