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階段性測試題十二(綜合素質(zhì)能力測試)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號題目要求的。)
1.(2011?合肥質(zhì)檢)集合A={1,2,3}，B={x∈R|x2-ax+1=0，a∈A}，則A∩B=B時a的值是( )
A.2 B.2或3
C.1或3 D.1或2
[答案] D
[解析] 由A∩B=B知B?A，a=1時，B={x|x2-x+1=0}=??A;a=2時，B={x|x2-2x+1=0}={1}?A;a=3時，B={x|x2-3x+1=0}={3+52，3-52}?A，故選D.
2.(文)(2011?合肥質(zhì)檢)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i3-i(i是虛數(shù)單位)對應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] B
[解析] z=i3-i=i?3+i?3-?-1?=-14+34i的對應(yīng)點(diǎn)-14，34在第二象限.
(理)(2011?蚌埠二中質(zhì)檢)如果復(fù)數(shù)2-bi1+2i(其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù))的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，那么b等于( )
A.2 B.23
C.-23 D.2
[答案] C
[解析] ∵2-bi1+2i=?2-bi??1-2i?5=2-2b5+-b-45i的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，∴2-2b5+-b-45=0，∴b=-23，故選C.
3.(文)(2011?日照調(diào)研)若e1，e2是夾角為π3的單位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2，則a?b等于( )
A.1 B.-4
C.-72 D.72
[答案] C
[解析] e1?e2=1×1×cosπ3=12，a?b=(2e1+e2)?(-3e1+2e2)=-6e21+2e22+e1?e2=-6+2+12=-72，故選C.
(理)(2011?河南豫州九校聯(lián)考)若A、B是平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)P為該平面內(nèi)動點(diǎn)，且滿足向量AB→與AP→夾角為銳角θ，|PB→||AB→|+PA→?AB→=0，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.直線(除去與直線AB的交點(diǎn)) B.圓(除去與直線AB的交點(diǎn))
C.橢圓(除去與直線AB的交點(diǎn)) D.拋物線(除去與直線AB的交點(diǎn))
[答案] D
[解析] 以AB所在直線為x軸，線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(-1,0)，則B(1,0)，設(shè)P(x，y)，則PB→=(1-x，-y)，PA→=(-1-x，-y)，AB→=(2,0)，
∵|PB→|?|AB→|+PA→?AB→=0，∴2?1-x?2+?-y?2+2(-1-x)=0，化簡得y2=4x，故選D.
4.(2011?黑龍江哈六中期末)為了了解甲，乙，丙三所學(xué)校高三數(shù)學(xué)模擬考試的情況，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模擬試卷中抽取試卷進(jìn)行調(diào)研，如果從丙校抽取了50份，那么這次調(diào)研一共抽查的試卷份數(shù)為( )
A.150 B.160
C.200 D.230
[答案] B
[解析] 依據(jù)分層抽樣的定義，抽樣比為50900=118，故這次調(diào)研一共抽查試卷(1260+720+900)×118=160份.
5.(文)(2011?福州市期末)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)=f?x? ?f?x?≤k?k ?f?x?>k?，給出函數(shù)f(x)=-x2+2，若對于任意的x∈(-∞，+∞)，恒有fk(x)=f(x)，則( )
A.k的最大值為2 B.k的最小值為2
C.k的最大值為1 D.k的最小值為1
[答案] B
[解析] ∵x∈(-∞，+∞)時，f(x)=-x2+2≤2，且fk(x)=f(x)恒成立，且當(dāng)f(x)>k時，fk(x)=k，故k的最小值為2.
(理)(2011?豐臺區(qū)期末)用max{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的最大數(shù)，設(shè)f(x)=max{x2，x}(x≥14)，那么由函數(shù)y=f(x)的圖象、x軸、直線x=14和直線x=2所圍成的封閉圖形的面積是( )
A.3512 B.5924
C.578 D.9112
[答案] A
[解析] 如圖，平面區(qū)域的面積為
6.(2011?北京豐臺區(qū)期末)下面程序框圖運(yùn)行后，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[-2，12]內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A.(-∞，-1] B.[14，2]
C.(-∞，0)∪[14，2] D.(-∞，-1]∪[14，2]
[答案] D
[解析] ∵x<0時，f(x)=2x∈(0,1)，
由0<2x≤12得，x≤-1;
由-2≤log2x≤12x>0得，14≤x≤2，故選D.
7.(文)(2011?濰坊一中期末)下列有關(guān)命題的說法錯誤的是( )
A.命題“若x2-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2-3x+2≠0”
B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件
C.若p∧q為假命題，則p、q均為假命題
D.對于命題p：?x∈R使得x2+x+1<0，則綈p：?x∈R，均有x2+x+1≥0
[答案] C
[解析] 若p∧q為假命題，則p、q至少有一個為假命題，故C錯誤.
(理)(2011?巢湖質(zhì)檢)給出下列命題
①設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，則“a
②命題p：垂直于同一條直線的兩直線平行，命題q：垂直于同一條直線的兩平面平行，則命題p∨q為真命題;
③命題“?x∈R，sinx<1”的否定為“?x0∈R，sinx0>1”;
④命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的逆否命題為“若x+y<5，則x<2且y<3”，
其中真命題的個數(shù)是( )
A.4個 B.3個
C.2個 D.1個
[答案] D
[解析] ①取a=-1，b=2滿足a
8.(文)(2011?陜西寶雞質(zhì)檢)若將函數(shù)y=cosx-3sinx的圖象向左平移m(m>0)個單位后，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
[答案] C
[解析] y=cosx-3sinx=2cosx+π3左移m個單位得y=2cosx+m+π3為偶函數(shù)，∴m+π3=kπ，k∈Z.
∵m>0，∴m的最小值為2π3.
(理)(2011?咸陽模擬)將函數(shù)y=sin2x+π4的圖像向左平移π4個單位，再向上平移2個單位，則所得圖像的函數(shù)解析式是( )
A.y=2+sin2x+3π4 B.y=2+sin2x-π4
C.y=2+sin2x D.y=2+cos2x
[答案] A
[解析] y=sin2x+π4――――――――→圖象再向上平移π4個單位用x+π4代替x
y=sin2x+π4+π4―――――――→圖象再向上平移2個單位用y-2代替y
y-2=sin2x+π4+π4，
即得y=sin2x+3π4+2，故選A.
9.(2011?陜西咸陽模擬)如圖所示的程序框圖，其輸出結(jié)果是( )
A.341 B.1364
C.1365 D.1366
[答案] C
[解析] 程序運(yùn)行過程依次為：a=1，a=4×1+1=5，a<500滿足→a=4×5+1=21，a<500仍滿足→a=4×21+1=85，a<500滿足→a=4×85+1=341，a<500滿足→a=4×341+1=1365，a<500不滿足→輸出a的值1365后結(jié)束，故選C.
[點(diǎn)評] 要注意循環(huán)結(jié)束的條件和輸出結(jié)果是什么.
10.(文)(2011?山東淄博一中期末)如圖為一個幾何體的三視圖，左視圖和主視圖均為矩形，俯視圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體的全面積為( )
A.2723 B.123
C.24 D.24+23
[答案] D
[解析] 由三視圖知，該幾何體是底面邊長為332=2，高為4的正三棱柱，故其全面積為3×(2×4)+2×34×22=24+23.
(理)(2011?山東日照調(diào)研)下圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于( )
A.34+65 B.6+65+43
C.6+63+413 D.17+65
[答案] A
[解析] 由三視圖知，該四棱錐底面是一個矩形，兩邊長分別為6和2，有一個側(cè)面PAD與底面垂直，高為4，故其表面積S=6×2+12×6×4+2×12×2×42+32+12×6×42+22=34+65.
11.(2011?陜西寶雞質(zhì)檢)雙曲線x2m-y2n=1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為( )
A.83 B.38
C.316 D.163
[答案] C
[解析] 拋物線焦點(diǎn)F(1,0)為雙曲線一個焦點(diǎn)，
∴m+n=1，又雙曲線離心率為2，∴1+nm=4，
解得m=14n=34，∴mn=316.
12.(文)(2011?廣東高州市長坡中學(xué)期末)方程|x-2|=log2x的解的個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|x-2|與y=log2x的圖象可知兩圖象有兩個交點(diǎn)，故選C.
(理)(2011?山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)具有性質(zhì)：f1x=-f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)：①y=x-1x，②y=x+1x，③y=x，?0
A.①② B.②③
C.①③ D.只有①
[答案] C
[解析]?、賹τ诤瘮?shù)f(x)=x-1x，∵f1x=1x-x=-x-1x=-f(x)，∴①是“倒負(fù)”變換的函數(shù)，排除B;②對于函數(shù)f(x)=x+1x有f1x=1x+x=f(x)不滿足“倒負(fù)”變換，排除A;對于③，當(dāng)0
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13.(2011?黑龍江哈六中期末)一個盒子里裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽，不放回地抽取2張標(biāo)簽，則2張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為________(用分?jǐn)?shù)表示).
[答案] 25
[解析] (文)任取兩張標(biāo)簽，所有可能取法有1,2;1,3;1,4;1,5;2,3;2,4;2,5;3,4;3,5;4,5;共10種，其中兩數(shù)字相鄰的有4種，∴所求概率p=410=25.
(理)從5張標(biāo)簽中，任取2張，有C25=10種取法，兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的取法有4種，
∴概率p=410=25.
14.(2011?浙江寧波八校聯(lián)考)點(diǎn)(a，b)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且在圓(x+1)2+(y+1)2=8上，ab的最大值為________.
[答案] 1
[解析] 由條件知a>0，b>0，(a+1)2+(b+1)2=8，∴a2+b2+2a+2b=6，∴2ab+4ab≤6，∵ab>0，∴0
[點(diǎn)評] 作出圖形可見，點(diǎn)(a，b)為⊙C在第一象限的一段弧，由對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)(a，b)為直線y=x與⊙C的交點(diǎn)(1,1)時，ab取最大值1.
15.(2011?重慶南開中學(xué)期末)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2n-1，則當(dāng)n≥2時，1a1+1a2+…+1an=________.
[答案] 2-12n-1
[解析] a1=S1=1，n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1
=2n-1，
∴an=2n-1(n∈N*)，∴1an=12n-1，
∴1a1+1a2+…+1an=1-12n1-12=2-12n-1.
16.(文)(2011?北京學(xué)普教育中心)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l，使得對于任意x∈M(M?D)，有x+l∈D，且f(x+l)≥f(x)，則稱f(x)為M上的l高調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇-1，+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1，+∞)上的m高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
[答案] [2，+∞)
[解析] f(x)=x2(x≥-1)的圖象如圖所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)=1，應(yīng)有m≥2;故x≥-1時，恒有f(x+m)≥f(x)，只須m≥2即可.
(理)(2011?四川資陽模擬)下圖展示了一個由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①;將線段AB圍成一個圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②;再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應(yīng)于圖③中的弧ADM的長度，如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0)，則m的象就是n，記作f(m)=n.
給出下列命題：①f14=1;②f(x)是奇函數(shù);③f(x)在定義域上單調(diào)遞增，則所有真命題的序號是________.(填出所有真命題的序號)
[答案] ③
[解析] 由m的象是n的定義知，f14<0，故①假，隨著m的增大，點(diǎn)N沿x軸向右平移，故n增大，∴③為真命題;由于m是線段AM的長度，故f(x)為非奇非偶函數(shù)，∴②假.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)(文)(2011?淄博一中期末)已知a=(cosx-sinx,2sinx)，b=(cosx+sinx，3cosx)，若a?b=1013，且x∈-π4，π6，求sin2x的值.
[解析] ∵a?b=cos2x-sin2x+23sinxcosx
=cos2x+3sin2x=2sin2x+π6=1013，
∴sin2x+π6=513，
∵x∈-π4，π6，∴2x+π6∈-π3，π2，
∴cos2x+π6=1213，
∴sin2x=sin2x+π6-π6=sin2x+π6cosπ6-cos2x+π6sinπ6=513?32-1213?12=53-1226.
(理)(2011?四川廣元診斷)在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，向量m=(2a-c，b)，n=(cosC，cosB)，且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3，求a+c的最大值.
[解析] (1)由題意知(2a-c)cosB=bcosC，
(2a-c)?a2+c2-b22ac=b?a2+b2-c22ab，
∴a2+c2-b2=ac，
∴cosB=a2+c2-b22ac=12，∴B=π3.
(2)由(1)知a2+c2-b2=ac，b=3，
∴a2+c2-ac=3，(a+c)2-3ac=3，
(a+c)2-3?a+c22≤3，
14(a+c)2≤3，
∴a+c≤23，
即a+c的最大值為23.
18.(本小題滿分12分)(文)(2011?重慶南開中學(xué)期末)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=ax.
(1)若函數(shù)f(x)，g(x)在[1,2]上都是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，若h(x)在(0，+∞)內(nèi)的最大值為-4，求實(shí)數(shù)m的值.
[解析] (1)∵f(x)，g(x)在[1,2]上都是減函數(shù)，
a≤1a>0，∴0
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1].
(2)當(dāng)a=1時，
h(x)=f(x)g(x)=-x2+2x+mx=-x+mx+2;
當(dāng)m≥0時，顯然h(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，
∴h(x)無最大值;
當(dāng)m<0時，h(x)=-x+mx+2=-x+?-m?x+2
≤-2-m+2.
當(dāng)且僅當(dāng)x=-m時，等號成立.
∴h(x)max=-2-m+2，
∴-2-m+2=-4?m=-9.
(理)(2011?黑龍江哈六中期末)已知函數(shù)f(x)=lnx+2x，g(x)=a(x2+x).
(1)若a=12，求F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a≥1時，求證：f(x)≤g(x).
[解析] (1)a=12，F(xiàn)(x)=lnx+2x-12(x2+x) (x>0)
F′(x)=1x-x+32=2-2x2+3x2x=-?2x+1??x-2?2x，
∵x>0，
∴當(dāng)0
∴F(x)的增區(qū)間為(0,2)，減區(qū)間為(2，+∞).
(2)令h(x)=f(x)-g(x) (x>0)
則由h′(x)=f′(x)-g′(x)=1x+2-2ax-a
=-?2x+1??ax-1?x=0，解得x=1a，
∵h(yuǎn)(x)在0，1a上增，在1a，+∞上減，∴當(dāng)x=1a時，h(x)有最大值h1a=ln1a+2a-a1a2+1a=ln1a+1a-1，
∵a≥1，∴l(xiāng)n1a≤0，1a-1≤0，∴h(x)≤h1a≤0，所以f(x)≤g(x).
19.(本小題滿分12分)(文)(2011?廈門期末)已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列.
(1)求通項(xiàng)an;
(2)令bn=an+2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
[解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公關(guān)差為d，則d≠0，
∵a1，a2，a4成等比數(shù)列，∴a22=a1?a4，
∴(a1+d)2=a1?(a1+3d)，
整理得：a1=d，
又a1=1，∴d=1，
∴an=a1+(n-1)?d=1+(n-1)?1=n.
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n.
(2)由(1)可得bn=an+2an=n+2n，
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)
=(1+2+3+…+n)+(21+22+23+…+2n)
=n?n+1?2+2?1-2n?1-2
=n?n+1?2+2(2n-1)
=2n+1+12n2+12n-2.
故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1+12n2+12n-2.
(理)(2011?河北冀州期末)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{Sn}是公差為d的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(用n，d表示);
(2)設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立，求c的最大值.
[解析] (1)由題意知：d>0，Sn=S1+(n-1)d
=a1+(n-1)d
2a2=a1+a3?3a2=S3?3(S2-S1)=S3,3[(a1+d)2-a1]2=(a1+2d)2，
化簡得：a1-2a1?d+d2=0，∴a1=d，∴a1=d2
Sn=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2，適合n=1的情形.
故an=(2n-1)d2.
(2)Sm+Sn>cSk?m2d2+n2d2>c?k2d2?m2+n2>c?k2，∴c
又m+n=3k且m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2?m2+n2k2>92，
故c≤92，即c的最大值為92.
20.(本小題滿分12分)(2011?山西太原調(diào)研)已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，它的一個頂點(diǎn)為M(0,1)，離心率e=63.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為32，求△AOB的面積的最大值.
[解析] (1)依題意得b=1e=ca=a2-b2a=63
解得a=3，b=1，
∴橢圓的方程為x23+y2=1.
(2)①當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|=3，
②當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知|m|1+k2=32得，
m2=34(k2+1)，
把y=kx+m代入橢圓方程整理得，
(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3?m2-1?3k2+1.
當(dāng)k≠0時，|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
=(1+k2)36k2m2?3k2+1?2-12?m2-1?3k2+1
=12?1+k2??3k2+1-m2??3k2+1?2=3?k2+1??9k2+1??3k2+1?2
=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4.
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=1k2，即k=±33時等號成立，
此時|AB|=2.
當(dāng)k=0時，|AB|=3.
綜上所述：|AB|max=2，此時△AOB面積取最大值
S=12|AB|max×32=32.
21.(本小題滿分12分)(文)一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示，M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn).
(1)求證：MN∥平面ACC1A1;
(2)求證：MN⊥平面A1BC.
[證明] 由題意，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.
(1)由直三棱柱的性質(zhì)知，四邊形ABB1A1為矩形，對角線交點(diǎn)M為A1B的中點(diǎn)，
又∵N為B1C1的中點(diǎn)，
∴△AB1C1中，MN∥AC1.
又∵AC1?平面ACC1A1，MN?平面ACC1A1.
∴MN∥平面ACC1A1.
(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，交線為AC，又AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACC1A1，
又∵AC1?平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.
在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C.
又BC∩A1C=C，∴AC1⊥平面A1BC，
∵M(jìn)N∥AC1，∴MN⊥平面A1BC.
[點(diǎn)評] 將幾何體的三視圖與線面平行垂直的位置關(guān)系判斷融合在一起是立體幾何新的命題方向.解答這類問題首先要通過其三視圖確定幾何體的形狀和主要幾何量，然后利用幾何體的性質(zhì)進(jìn)行推理或計(jì)算.請?jiān)倬毩?xí)下題：
已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖，E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn).
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)若點(diǎn)F在線段BD上，且DF=3BF，則當(dāng)PEEC等于多少時，有EF∥平面PAB?并證明你的結(jié)論;
(3)試證明P、A、B、C、D五個點(diǎn)在同一球面上.
[解析] (1)由四棱錐的三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.
∴VP-ABCD=13S正方形ABCD?PC=23.
(2)當(dāng)PEEC=13時，有EF∥平面PAB.
連結(jié)CF延長交AB于G，連結(jié)PG，在正方形ABCD中，DF=3BF.
由△BFG∽△DFC得，GFFC=BFDF=13.
在△PCG中，PEEC=13=GFFC，
∴EF∥PG.
又PG?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
(3)證明：取PA的中點(diǎn)O.
在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PC⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，
可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，
又O為PA中點(diǎn)，∴OA=OP=OB=OC=OD.
∴點(diǎn)P、A、B、C、D在以點(diǎn)O為球心的球面上.
(理)(2011?湖南長沙一中期末)如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿對角線BD把△ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，過點(diǎn)A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.
(1)求證：BC⊥A1D;
(2)求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值.
[解析] (1)因?yàn)锳1O⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴BC⊥A1O，
因?yàn)锽C⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥平面A1CD.
因?yàn)锳1D?平面A1CD，∴BC⊥A1D.
(2)連結(jié)BO，則∠A1BO是直線A1B與平面BCD所成的角.
因?yàn)锳1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，
∴A1D⊥平面A1BC，∵A1C?平面A1BC，∴A1D⊥A1C.
在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4.
根據(jù)S△A1CD=12A1D?A1C=12A1O?CD，得到A1O=125，
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO=A1OA1B=1255=1225.
所以直線A1B與平面BCD所成角的正弦值為1225.
選做題(22至24題選做一題)
22.(本小題滿分12分)幾何證明選講
(2011?北京學(xué)普教育中心聯(lián)考)如圖，A、B是兩圓的交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點(diǎn)，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的長.
[解析] 設(shè)CB=AD=x，則由割線定理得：CA?CD=CB?CE，
即4(4+x)=x(x+10)
化簡得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8(舍去)
即CD=6，CE=12.
因?yàn)镃A為直徑，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，
則由圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，得∠D=90°，
則CD2+DE2=CE2，
∴62+DE2=122，∴DE=63.
23.(本小題滿分12分)極坐標(biāo)與參數(shù)方程
(2011?遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P12，1，傾斜角α=π6，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-π4.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)l與圓C相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積.
[解析] (1)直線l的參數(shù)方程為x=12+tcosπ6y=1+tsinπ6
即x=12+32ty=1+12t(t為參數(shù))
由ρ=2cosθ-π4得ρ=cosθ+sinθ，
所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴x-122+y-122=12.
(2)把x=12+32ty=1+12t代入x-122+y-122=12
得t2+12t-14=0，
|PA|?|PB|=|t1t2|=14.
故點(diǎn)P到點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的距離之積為14.
24.(本小題滿分12分)不等式選講
(2011?大連市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m.
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);
(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍.
[解析] (1)不等式f(x)+a-1>0，
即|x-2|+a-1>0，
當(dāng)a=1時，解集為x≠2，即(-∞，2)∪(2，+∞);
當(dāng)a>1時，解集為全體實(shí)數(shù)R;
當(dāng)a<1時，∵|x-2|>1-a，∴x-2>1-a或x-2
故解集為(-∞，a+1)∪(3-a，+∞).
(2)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，即為|x-2|>-|x+3|+m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
又對任意實(shí)數(shù)x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5，于是得m<5，
即m的取值范圍是(-∞，5).
高考