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考研數(shù)學(xué)定理復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)
以下是考研高數(shù)第二章和第三章關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定理：
第二章 導(dǎo)數(shù)與微分
1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)f-′(x0)右導(dǎo)數(shù)f+′(x0)存在相等。
2、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù);函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)≠>在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。
3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。
4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微=>函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo);函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。
第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ< p="">
2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ< p="">
3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。
5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)>0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。< p="">
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。
6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。
在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。
定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正;當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為負(fù);當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f’(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值。
定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當(dāng)f’’(x0)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值;(2)當(dāng)f’’(x0)>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值;駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。
7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。
定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的;(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。< p="">
判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實(shí)根;(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)(x0，f(x0))不是拐點(diǎn)。
在做函數(shù)圖形的時(shí)候，如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。
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