高考是人生至關(guān)重要的一場考試，想在這場戰(zhàn)役中取得漂亮的好成績，扎實的復習是必不可少的，出國留學網(wǎng)小編為大家準備了高考數(shù)學第一輪復習資料，希望對大家有所幫助，更多精彩內(nèi)容歡迎訪問www.liuxue86.com。
導數(shù)及其應用復習題
一、選擇題
1.若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f ′(1)=2，則f ′(-1)=( )
A.-1 B.-2
C.2 D.0
[答案] B
[解析] f ′(x)=4ax3+2bx，∵f ′(1)=4a+2b=2，
∴f ′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2
要善于觀察，故選B.
2.(2011?江西文，4)曲線y=ex在點A(0,1)處得切線斜率為( )
A.1 B. 2
C.e D.1e
[答案] A
[解析] y′=(ex)′=ex，所以k=e0=1.
3.(2011?重慶文，3)曲線y=-x3+3x2在點(1,2)處的切線方程為( )
A.y=3x-1 B.y=-3x+5
C.y=3x+5 D.y=2x
[答案] A
[解析] y′=-3x2+6x在(1,2)處的切線的斜率k=-3+6=3，
∴切線方程為y-2=3(x-1).即y=3x-1.
4.(2010?山東文，8)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3+81x-234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大的年利潤的年產(chǎn)量為( )
A.13萬件 B.11萬件
C.9萬件 D.7萬件
[答案] C
[解析] 本題考查了導數(shù)的應用及求導運算，∵x>0，y′=-x2+81=(9-x)(9+x)，令y′=0得x=9，x∈(0,9)時，y′>0，x∈(0，+∞)時，y′<0，y先增后減，∴x=9時函數(shù)取最大值，選C，屬導數(shù)法求最值問題.
5.(文)(2011?湖南文，7)曲線y=sinxsinx+cosx-12在點M(π4，0)處的切線的斜率為( )
A.-12 B.12
C.-22 D.22
[答案] B
[解析] ∵y′=cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx??sinx+cosx?2
=1?sinx+cosx?2，∴y′|x=π4=12.
(理)(2011?湖南理，6)由直線x=-π3，x=π3，y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為( )
A.12 B.1
C.32 D.3
[答案] D
[解析] S=∫π3-π3cosxdx=sinxπ3-π3
=sinπ3-sin-π3=3.
6.(2011?山東淄博)若函數(shù)y=f(x)在R上可導，且滿足不等式xf ′(x)>-f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式一定成立的是( )
A.af(a)>bf(b) B.af(a)
C.af(b)bf(a)
[答案] A
[解析] 令F(x)=xf(x)，則F′(x)=xf ′(x)+f(x)，
由xf ′(x)>-f(x)，
得：xf ′(x)+f(x)>0，即F′(x)>0，
所以F(x)在R上為遞增函數(shù).
因為a>b，所以af(a)>bf(b).故選A.
7.(2011?江蘇鹽城)函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍是( )
A.0≤a<1 B.-1
C.0
[答案] D
[解析] f ′(x)=3x2-3a，
由于f(x)在(0,1)內(nèi)有最小值，故a>0，
令f ′(x)=0，得x1=a，x2=-a.
則a∈(0,1)，∴0
8.(文)(2011?浙江文，10)設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)，若x=-1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖像不可能為y=f(x)的圖像是( )
[答案] D
[解析] 由F(x)=f(x)?ex得，
F′(x)=f′(x)ex+f(x)?(ex)′
=ex[ax2+(2a+b)x+b+c]
∵x=-1是F(x)的極值點，∴F′(-1)=0，得c=a.
∴f(x)=ax2+bx+a∴f′(x)=2ax+b
∴f′(-1)=-2a+b，f(-1)=2a-b
由f′(-1)=0，則b=2a，f(-1)=0，b=2a，故A，B選項可能成立;
由f′(-1)>0，∴-2a+b>0，∴f(-1)<0，故C選項也成立;
所以，答案選D.
(理)(2011?湖北理，10)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變.假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：M(t)=M02-t30，其中M0為t=0時銫137的含量.已知t=30時，銫137含量的變化率是-10ln2(太貝克/年)，則M(60)=( )
A.5太貝克 B.75ln2太貝克
C.150ln2太貝克 D.150太貝克
[答案] D
[解析] M′(t)=-M030ln2?2-t30，
∴M′(30)=-M060ln2=-10ln2，∴M0=600，
∴M(t)=600?2-t30，∴M(60)=600?2-2=150.
二、填空題
9.直線y=12x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b=________.
[答案] ln2-1
[解析] (lnx)′=1x，令1x=12，得x=2，∴切點(2，ln2)代入切線方程，得b=ln2-1.
10.(2011?山東煙臺)曲線y=2x4上的點到直線y=-x-1的距離的最小值為________.
[答案] 5162
[解析] 設直線l平行于直線y=-x-1，且與曲線y=2x4相切于點P(x0，y0)，則所求最小值d即為點P到直線y=-x-1的距離，對于y=2x4，y′=8x3，
則y′|x=x0=8x30=-1.
∴x0=-12，y0=18，
∴d=|-12+18+1|2=5162.
11.(蘇北四市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=0，xf ′?x?-f?x?x2>0(x>0)，則不等式x2f(x)>0的解集是________________.
[答案] (-1,0)∪(1，+∞)
[解析] 設F(x)=f?x?x，則當x>0時，
F′(x)=xf ′?x?-f?x?x2>0，
∴F(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且F(1)=f(1)=0.
∴當x>1時，F(xiàn)(x)>0，則有f(x)>0，
當0
又∵f(x)是R上的奇函數(shù)，
∴當-10，
當x<-1時有f(x)<0.
∴x2f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1，+∞).
12.(文)(2011?銀川二模)已知函數(shù)y=f(x)的圖像在點M(1，f(1))處的切線方程為y=12x+2，則f(1)+f′(1)=________.
[答案] 3
[解析] 由題可知f(1)=12×1+2=52，f′(1)=k=12，所以f(1)+f′(1)=3.
(理)(2011?浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)=2x-9，且f(0)的值為整數(shù)，當x∈[n，n+1](n∈N*)時，f(x)所有可能取的整數(shù)值有且只有1個，則n=________.
[答案] 4
[解析] 由題可設f(x)=x2-9x+c(c∈R)，又f(0)的值為整數(shù)即c為整數(shù)，∴f(n)=n2-9n+c為整數(shù)，f(n+1)=(n+1)2-9(n+1)+c=n2-7n+c-8為整數(shù)，又x∈[n，n+1](n∈N*)時，f(x)所有可能取的整數(shù)值有且只有1個，∴n2-7n+c-8=n2-9n+c，即n=4.
三、解答題
13.已知曲線y=x3.
(1)求曲線在點(1,1)處的切線方程;
(2)求過點(1,0)與曲線相切的直線方程;
(3)求過點(1,1)與曲線相切的直線方程.
[解析] (1)∵y=x3，∴y′=f ′(x)=3x2，且點(1,1)在曲線上，
∴f ′(1)=3×12=3，即所求切線的斜率k=3.
∴切線方程為y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0.
(2)∵曲線y=x3，∴y′=f ′(x)=3x2.
顯然點(1,0)不在曲線y=x3上 ，
設切點坐標為(x0，x30)，
∴所求直線的斜率k=f ′(x0)=3x20故所求直線方程為y-x30=3x20(x-x0).
又因為該直線過點(1,0)，代入得，
0-x30=3x20(1-x0)，
∴x20(2x0-3)=0，∴x0=0，或x0=32.
當x0=0時，k=3x20=0，
此時所求直線方程為y=0;
當x0=32時，k=3x20=274，
此時所求直線方程為y=274(x-1)，
即27x-4y-27=0.
∴所求直線方程為y=0，或27x-4y-27=0.
(3)由(2)知，所求直線方程為y-x30=3x20(x-x0).
又直線過點(1,1)，∴1-x30=3x20(1-x0)，
整理得(x0-1)2(2x0+1)=0，
∴x0=1，或x0=-12.
當x0=1時，k=3，
此時所求直線方程為y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0;
當x0=-12時，k=34，
此時所求直線方程為y-1=34(x-1)，
即3x-4y+1=0.
∴所求直線的方程為3x-y-2=0，或3x-4y+1=0.
14.(文)(2011?重慶文，19)設f(x)=2x3+ax2+bx+1的導數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y=f′(x)的圖像關(guān)于直線x=-12對稱，且f′(1)=0.
(1)求實數(shù)a，b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
[解析] (1)∵f(x)=2x3+ax2+bx+1
∴f′(x)=6x2+2ax+b
由題意知-2a2×6=-12，∴a=3.
又f′(1)=0，∴6×12+2a+b=0，
∴6+6+b=0，∴b=-12.
∴a=3，b=-12.
(2)由(1)知a=3，b=-12.
∴f′(x)=6x2+6x-12=6(x2+x-2)=6(x+2)(x-1)
令f′(x)=0，得x1=-2，x2=1.
f′(x)、f(x)隨x變化如下表
x (-∞，-2) -2 (-2,1) 1 (1，+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
∴當x=-2時，f(x)取得極大值f(-2)=21，在x=1處取得極小值f(1)=-6.
(理)(2011?重慶理，18)設f(x)=x3+ax2+bx+1的導數(shù)f′(x)滿足f′(1)=2a，f′(2)=-b，其中常數(shù)a，b∈R.
(1)求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程;
(2)設g(x)=f′(x)e-x，求函數(shù)g(x)的極值.
[解析] (1)因f(x)=x3+ax2+bx+1，
故f′(x)=3x2+2ax+b，
令x=1，得f′(1)=3+2a+b，由已知f′(1)=2a，
因此3+2a+b=2a，解得b=-3.
又令x=2，得f′(2)=12+4a+b，由已知f′(2)=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-32.
因此f(x)=x3-32x2-3x+1，從而f(1)=-52.
又因為f′(1)=2×(-32)=-3，故曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y-(-52)=-3(x-1)，即6x+2y-1=0.
(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x，
從而有g(shù)′(x)=(-3x2+9x)e-x.
令g′(x)=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3.
當x∈(-∞，0)時，g′(x)<0，故g(x)在(-∞，0)上為減函數(shù);
當x∈(0,3)時，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上為增函數(shù);
當x∈(3，+∞)時，g′(x)<0，故g(x)在(3，+∞)上為減函數(shù);
從而函數(shù)g(x)在x1=0處取得極小值g(0)=-3，在x2=3處取得極大值g(3)=15e-3.
15.(2011?江蘇，17)請你設計一個包裝盒.如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=x(cm).
(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應取何值?
(2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
[解析] 設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，由已知得
a=2x，h=60-2x2=2(30-x)，0
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800，
所以當x=15時，S取得最大值.
(2)V=a2h=22(-x2+30x2)，V′=62x(20-x).
由V′=0得x=0(舍)或x=20.
當x∈(0,20)時，V′>0;當x∈(20,30)時，V′<0.
所以當x=20時，V取得極大值，也是最大值.
此時ha=12.即包裝盒的高與底面邊長的比值為12.
高考