一、多次相遇的定義及核心公式
直線多次相遇：兩人同時(shí)相向出發(fā)并不停地在兩地間往返的過(guò)程，在此過(guò)程中兩人多次相遇。
環(huán)線多次相遇：兩人同時(shí)同地背向出發(fā)，并不停地繞環(huán)線進(jìn)行在此過(guò)程中多次相遇。
等量關(guān)系：路程=速度×時(shí)間
兩人相遇走過(guò)路程之和=兩人速度之和×相遇時(shí)間
二、直線上多次相遇的行程過(guò)程及規(guī)律推導(dǎo)
由于環(huán)線多次相遇問(wèn)題與解決直線多次相遇問(wèn)題的思路相同，所以在此只分析直線上的多次相遇行程過(guò)程。
甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過(guò)時(shí)間t在C點(diǎn)相遇，繼續(xù)前行分別到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，在D點(diǎn)第二次相遇，繼續(xù)前行分別到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后返回，如此往返。
設(shè)甲的速度為V甲，乙的速度為V乙，第一次相遇時(shí)兩人的相遇路程和就是兩地間距離AB，從第一次相遇后到第二次相遇時(shí)兩人共走了2倍的AB，依次類推，后面每次相遇時(shí)兩人走的路程和都是2AB，所以每從前一次相遇到下一次相遇之間兩人走的路程和的比例是1：2：2：2···
由于甲乙兩人的速度不變，相遇過(guò)程中速度和也始終不變，由相遇路程=兩人速度之和×相遇時(shí)間，可知，從前一次相遇到下一次相遇之間兩人走的路程所用時(shí)間比例也是1：2：2：2···
同理可得，從前一次相遇到下一次相遇之間單個(gè)人甲或者乙走的總路程S甲或S乙的比例也是1：2：2：2···
那么，從最開(kāi)始出發(fā)到第一次相遇兩人走的路程和為AB，由上述推出，從最開(kāi)始出發(fā)到第二次相遇兩人走的路程和是3AB，從最開(kāi)始出發(fā)到第三次相遇兩人走的路程和是5AB，依次推出從最開(kāi)始到第N次相遇時(shí)兩人走的總路程和的比例是1：3：5：7：9···，由此總結(jié)出從最開(kāi)始出發(fā)到第N次相遇時(shí)兩人走的總路程是S總=(2N-1)AB (詳表如下)：
所以在行程問(wèn)題的多次相遇中，一定要掌握好多次相遇的具體行程過(guò)程和規(guī)律，牢記住每前一次相遇結(jié)束到下一次相遇之間兩人走的路程總和、所用時(shí)間和兩人分別走的路程的比例都是1：2：2：2···，從最開(kāi)始出發(fā)到每一次相遇兩人走的路程總和的比例是1：3：5：7：9···，在解題的過(guò)程中巧妙的應(yīng)用這兩個(gè)比例關(guān)系，就能輕松地解決復(fù)雜的行程問(wèn)題。
三、實(shí)戰(zhàn)演練
【例題】甲乙兩人在長(zhǎng)30米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游37.5米，乙每分鐘游52.5米。兩人同時(shí)分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，則從出發(fā)開(kāi)始計(jì)算的1分50秒內(nèi)兩人共相遇了多少次?(2011-國(guó)家公務(wù)員考試-68題)
A.5 B.2 C.4 D.3
答案：D
liuxue86解析：根據(jù)題意首先明確這是一個(gè)多次相遇問(wèn)題，求多次相遇問(wèn)題種的相遇次數(shù)。
方法一：要求在1分50秒內(nèi)兩人共相遇了多少次，首先弄清楚兩人從出發(fā)到第一次相遇用的時(shí)間是多少。因?yàn)閮傻叵嗑?0米，甲速度是37.5米/秒，乙速度是52.5米/秒，根據(jù)相遇時(shí)間=相遇路程/兩人速度和，得到第一次相遇時(shí)間是20秒。根據(jù)前面推論得到每次相遇的時(shí)間比例關(guān)系1：2：2：2···可知，從第一次相遇后到第二次相遇經(jīng)過(guò)的時(shí)間是40秒，再經(jīng)過(guò)40秒后第三次相遇，所以在1分40秒時(shí)，兩人相遇了三次。還剩下的10秒不可能再次相遇，所以在1分50秒內(nèi)兩人共相遇了三次，D為正確選項(xiàng)。
liuxue86教育專家總結(jié)到：方法一利用的是每次相遇時(shí)的相遇時(shí)間的比例關(guān)系，方法二利用的是相遇總路程與相遇次數(shù)之間的關(guān)系求得。
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