橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同
湖北省襄陽(yáng)市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 趙國(guó)瑞
?“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同．不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中．”這是宋代詩(shī)人蘇軾的著名詩(shī)名《題西林壁》．其中的“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”表面意思是說(shuō)，廬山從正面看，它是一道道連綿起伏的山嶺；從側(cè)面看，它是一座巍然聳立的險(xiǎn)峰．從遠(yuǎn)處近處高處低處看，廬山呈現(xiàn)出不同的形象．
實(shí)際的意思是指同一個(gè)事物在不同的角度和不同的時(shí)間看是不一樣的．
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同是一枝梅花，有人贊嘆它風(fēng)骨傲霜，有人則感慨它孤寂落寞；同是一塊石頭，有人覺(jué)得它冥頑不化，有人則欣賞它堅(jiān)韌固守；同樣是半杯可樂(lè)，悲觀的人說(shuō)：“唉，只有半杯，”樂(lè)觀的人說(shuō)：“天啊，還有半杯．”同一種事物，理解緣何不同？其實(shí)很簡(jiǎn)單，人們觀察事物的角度不同罷了．
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在思維過(guò)程中善于改變看問(wèn)題的角度，往往會(huì)收到意想不到的效果．因此我們要善于變換思考方式，盡可能地選擇新視角，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題亦是如此．
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例?(2010年山東青島中考題)如圖1，是用棋子擺成的圖案，擺第1個(gè)圖案需要7枚棋子，擺第2個(gè)圖案需要19枚棋子，擺第3個(gè)圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第
6個(gè)圖案需要＿＿枚棋子，擺第n個(gè)圖案需要＿＿枚棋子．
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圖1?????????????? ?? ??圖
2
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分析：解答此類問(wèn)題要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，注意從不同角度觀察圖形．
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方法1 ?將圖形分割成六邊形
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如圖2，將圖形分割成大小不同的六邊形，從里向外，第1個(gè)六邊形包含的棋子數(shù)為6×2-
6=6×1，第2個(gè)六邊形包含的棋子數(shù)為6×3-6=6×2，第3個(gè)六邊形包含的棋子數(shù)為6×4-6=6×3，…，第n個(gè)六邊形包含的棋子數(shù)為6(n+1)-6=6n，因此擺第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為6×1+6×2+6×3+…+6n+1=(1+2+3+…+n)×6+1=
n(n+1)×6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1．?
說(shuō)明：方法1用到了這樣一個(gè)公式：1+2+3+…+n=
n(n+1)，我們把它叫做高斯求和公式．?
方法2 ?將圖形分割成三角形
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①按如圖3的方式將圖形分割成六個(gè)全等的三角形，每個(gè)三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+…+n+1=
(n+1)(n+2)，六個(gè)三角形包含的棋子數(shù)為(n+1)(n+2)×6=3(n+1)(n+2)，減去重復(fù)的六條邊包含的棋子數(shù)6(n+1)，得3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n2+3n．由于處于正六邊形的中心處的棋子重復(fù)計(jì)算了6次，減去重復(fù)的六條邊包含的棋子數(shù)后的結(jié)果不包含這枚棋子，所以結(jié)果應(yīng)再加上這枚棋子，即第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．?
圖3 圖4
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說(shuō)明：在計(jì)算棋子數(shù)時(shí)要注意正確處理重復(fù)部分，既不能多算，也不能漏算．
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②按如圖4
的方式將圖形分割成六個(gè)全等的三角形，每個(gè)三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+…+n=
n(n+1)，六個(gè)三角形包含的棋子數(shù)為n(n+1)×6=3n2+3n．加上正六邊形的中心處的棋子，得第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．?
方法3 ?將圖形分割成平行四邊形
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如圖5，將圖形分割成三個(gè)全等的平行四邊形，每個(gè)平行四邊形包含的棋子數(shù)為n(n+1)，3個(gè)平行四邊形包含的棋子數(shù)為3n(n
+1)，加上正六邊形的中心處的棋子，得第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．
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圖5
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方法4 ?將圖形分割成菱形
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如圖6，將圖形分割成三個(gè)全等的菱形，每個(gè)菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2，3個(gè)菱形包含的棋子數(shù)為3(n+1)2，減去重復(fù)的三條邊包含的棋子數(shù)3
(n+1)，得3(n+1)2-3(n+1)=3n2+3n．由于處于正六邊形的中心處的棋子重復(fù)計(jì)算了3次，減去重復(fù)的三條邊包含的棋子數(shù)后的結(jié)果不包含這枚棋子，所以結(jié)果應(yīng)再加上這枚棋子，即第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．
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圖6
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方法5 ?將圖形分割成平行四邊形和菱形
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①按如圖7的方式將圖形分割成平行四邊形和菱形，則平行四邊形包含的棋子數(shù)分別為n(n+1)，兩個(gè)菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2和n2，所以第n
個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
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圖7
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②按如圖8的方式將圖形分割成平行四邊形和菱形，則上面兩個(gè)平行四邊形包含的棋子數(shù)n(n+1)，下面兩個(gè)平行四邊形包含的棋子數(shù)為(n
+1)2，中間菱形包含的棋子數(shù)為n2，所以第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
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圖8
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方法6 ?將圖形分割成菱形和三角形
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如
圖9，將圖形分割成兩個(gè)菱形和兩個(gè)三角形，則每個(gè)菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2，每個(gè)三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+…+n+1=
(n+1)(n+2)，兩個(gè)菱形和兩個(gè)三角形包含的棋子數(shù)為2(n+1)2+(n+1)(n+2)=3n2+7n+4．減去重復(fù)的四條邊包含的棋子數(shù)4(n+1)，得3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n．由于處于正六邊形的中心處的棋子重復(fù)計(jì)算了4次，減去重復(fù)的四條邊包含的棋子數(shù)后的結(jié)果不包含這枚棋子，所以結(jié)果應(yīng)再加上這枚棋子，即第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．?
圖9
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方法7 ?將圖形分割成梯形
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如圖10，將圖形分割成梯形，先看中心線上面的梯形，從里向外，第1個(gè)梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個(gè)頂點(diǎn))
包含的棋子數(shù)為3×1-1=2，第2個(gè)梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個(gè)頂點(diǎn))包含的棋子數(shù)為3×2-1=5，第3個(gè)梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個(gè)頂點(diǎn))包含的棋子數(shù)為3×3-1=8，…，第n個(gè)梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個(gè)頂點(diǎn))包含的棋子數(shù)為3n-1，所以這n個(gè)梯形含的棋子數(shù)為3×1-1+3×2-1+3×3-1+…+3n-1=(1+2+3+…+n)×3-n=
n(n+1)-n．?
圖
10
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由對(duì)稱性可知，中心線下面n個(gè)梯形包含的棋子數(shù)也為
n(n+1)-n，而中心線包含的棋子數(shù)為2n+1．所以第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)為[
n(n+1)-n]×2+2n+1=3n2+3n+1．?
感悟：看似一道普通的“用代數(shù)式描述圖形規(guī)律”題，我們通過(guò)從不同的角度進(jìn)行觀察圖形、探究圖形的構(gòu)成，不僅體驗(yàn)到了探究數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，而且培養(yǎng)了我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新思維，使我們的思維變得更加靈活．
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