2012中考數(shù)學(xué)熱點知識歸納 81

    
    
    與方形相關(guān)的求平面圖形的“陰影”部分的面積是近年中考中比較常見的問題．求“陰影”部分的面積最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法的靈活性與技巧性．
     
    最近，我老是看到有關(guān)這類題目的文章，其解法也是比較單一的且比較復(fù)雜的．有好的解題方法對于考試來說是至關(guān)重要的，好的方法意味著即省時間又能準確地做對．
     
    華羅庚先生說：神奇化易是良訓(xùn)，易化神奇不足提！下面我們一起來賞析一下這類題目的幾種不同解法，比較一下各種方法的優(yōu)劣，學(xué)習(xí)一下“神奇化易”的本領(lǐng)．
     
    1．（小學(xué)數(shù)學(xué)題）如圖1：把下面兩個正方形放在一起，左邊的小正方形邊長是10cm，求陰影部分△BDF面積．
     
    解析：這是一道小學(xué)里的題目，作為初中生的你該怎么做這道題呢？可能你還不會，也可能你的方法不只一種．下面我們一起來研究．
     
    1.1解法一：如圖2，你也許想到了設(shè)未知數(shù)，采用整個圖形的面積減去空白部分的面積，剩下的就是所求陰影部分的面積的方法．我們來一起做一下．
    設(shè)EF=a cm ，得：
    
    +－－－
    50
    　　　
    1.2解法二：如圖3，可能你會聯(lián)想到平行線具有“傳遞面積”的功能(等底等高的三角形面積相等)，于是我 們 連 接CF ，得：
    
    ∵BD∥FC．所以△BDF與△BDC，等底同高面積相等．
    ∴
     
    1.3解法三：如圖4，可你能想到了這樣的做法嗎？從動態(tài)的角度看問題．由上面的兩種解法（或者說題目中沒告訴正方形EFGC的邊長）我們能看出來△BDF的面積與右邊的正方形EFGC的邊長沒有關(guān)系．也就是說正方形EFGC的邊長是可以變化的，但是正方形EFGC的邊長是有取值范圍的即EF≧AB．當(dāng)EF=AB時，是比較特殊的情況如圖4，不難看出此時50
    
    點評 上面是一道小學(xué)的題目，對于一般的中學(xué)生來說解決它也許不成問題．上面的不同方法代表了不同的數(shù)學(xué)思想，1.1代數(shù)思想、1.2幾何思想、1.3動態(tài)思想(特殊值法)運用不同的思想其繁簡程度的不同是顯而易見的．
     
    接下來是一道2010年廣西南寧的中考題，下面我們運用上面的三種思想（1.1代數(shù)思想、1.2幾何思想、1.3動態(tài)思想(特殊值法)）做這道題，比較一下各種方法用于這道題的優(yōu)劣．
     
    2．（2010廣西南寧）如圖5，正方形、正方形和正方形的位置如圖5所示，點在線段上，正方形的邊長為4，則的面積為：（ ）
    
    （Ａ）10　　（Ｂ）12      （Ｃ）14　　?。ǎ模?6
    解析：這道題目可以看做上面一題的變式擴展，我們同樣用上述思想來完成這道題目看有沒有新的發(fā)現(xiàn)．
     
    2.1解法一：如圖6，先把它填補成規(guī)則的圖形，再用整個圖形的面積減去空白部分的面積，剩下的就是所求陰影部分的面積．
    
    設(shè)左邊的大正方形ABCD的邊長為a，右邊的小正方形的邊長為b，則KH=（4－ｂ），
    
    
    －－
    　　　　?。?/span>－
    ． 故應(yīng)選D ．
     
    2.2解法二：如圖6，或許有些學(xué)生認為上面求的表達式比較麻煩，他們注意到四邊形AHKD是一個梯形，這樣可表示為，表達式變得簡單多了．于是
    
    
    ．
     
    由于已知條件并沒有直接告訴4 a －4 b的值，有的同學(xué)做到這里“卡殼”了．怎么辦呢?下面的事情就是求出4 a －4 b的值，為此需要找出a，b的關(guān)系．注意到△DCG ～△GPK，則有，即．整理得：4a－4b=16．從而可得． 故應(yīng)選D ．
     
    所以從表面上看，將S△DEK 的表達式變得簡單了，似乎求解過程也應(yīng)該簡單．然而在求解過程中，還需用到相似三角形的知識，不僅麻煩有時甚至在這里“卡殼”．
     
    2.3解法三：如圖7，利用“傳遞面積”的功能(等底等高的三角形面積相等)，于是我們連接DB、GE、FK，得：△GED的面積等于△GEB的面積、△GEF的面積等于△GEK的面積．
    
     
    
    
     
    2.4解法四：如圖8，利用動態(tài)思想(特殊值法)．因為題目中沒有告訴左邊的正方形ABCD和右邊正方形FPKR的邊長大小，說明所求結(jié)果與其大小是沒有關(guān)系的，其邊長大小是可以變化的但是有范圍（CD≧GF＞PF）．用特殊值法，當(dāng)CD=GF時得到圖8，（注意：正方形ABCD的邊長變化過程中因為點在線段上，所以GF是不可能等于PF的，四邊形FPKR也不總是正方形的．）此時左邊的正方形和中間的正方形全等右邊的正方形變?yōu)橐稽c．有圖可知：
    
    
     
    點評 這是一道選擇題在考試的時候，用前面的兩種方法顯然是不可取的（計算量大，費時且容易出錯．）后兩種方法雖然簡單易行，可一般的考生不容易想到．
     
    再看一道題，它是2008年黑龍江雞西的一道中考填空題．前面兩道都是關(guān)于正方形的而這一道是關(guān)于長方形的，也可以看成第一道題的變式．下面我們來做一做．
     
    

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