借因式分解求值
湖北省黃石市下陸中學(xué) 周國強(qiáng)
因式分解用處多多。其中，某些求值問題亦可借助因式分解來解決，現(xiàn)舉幾例，以求拋磚引玉。
一、.求算式的值??
例1 計算：1003
－501×2006?
簡析：因為2006=1003 ×2，501×2=1002，所以運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，可簡化運(yùn)算。
。
解：原式=1003
－501×2×1003=1003×（1003－1002）=1003。?
例2 計算：101
－202－9998?
簡析：因為首項是101
，第二項中的202=2×101，第三項中的9998=9999－1，?
所以考慮用完全平方公式分解因式，可簡化運(yùn)算。
?
?解：原式=101
－2×101－（9999－1）=（101－1）－9999=100－9999=1。?
二、求代數(shù)式的值
?
例3 當(dāng)m=－5時，求m
－34m+225的值?
?簡析：直接代入計算較麻煩，可先考慮用十字相乘法將所求的式子因式分解，再代入
?
計算。
?解：∵m
－34m
+225=（m－9）（m－25）=（m+3）（m－3）（m+5）（m???
－5），
?????????? ∴當(dāng)m=－5時，原式= 0。
例4 已知a
+a +1=0,求a+2a
+5a+4a的值 。?
簡析：顯然，解出a的值后，再代入計算是不可取的。若先把所求式子進(jìn)行因式分解，
?
然后整體代入求值，則事半功倍。
解：∵a
+2a+5a+4a=（a+a）+4（a+a）=（a+a）（a+a+4），∴當(dāng)a
+a =? － 1時，原式=－1×（－1+4）=－3。?
三、求待定系數(shù)的值
?
例5 二次多項式x
+2mx－3 m能被x－1整除，求 m的值。?
簡析：二次多項式x
+2mx－3 m能被x－1整除，即x+2mx－3 m中含有因式?
x－1。若x
+2mx－3 m能分解為兩個關(guān)于x的一次式的積，則問題迎刃而解。?
????? 解：∵x
+2mx－3 m＝（x+3m）(x－m),????????? 又x
+2mx－3 m能被x－1整除，????????? ∴x+3m＝x－1或x－m= x－1，
????????? ∴m=－
或1.????? 例6. k為何值時，方程（k－1）x
－(2k+3)x+(k+4)=0(k≠1)的兩根平方差為15？?
????? 簡析：先將方程左邊進(jìn)行因式分解，進(jìn)而求出兩根，依題意可構(gòu)造關(guān)于k的方程來解。
?
????? 解：將原方程左邊因式分解，變形為
????????? [（k－1）x－(k+4)]（ｘ－1）= 0
∴
＝
，
。???????? ∵
=±15,? ???????∴3 k
－8 k=0或3 k－4 k+6=0(無解)???????? 由3 k
－8 k=0得k=0或k=
。故當(dāng)k=0或k=時，方程兩根的平方差為15.四、求函數(shù)的最值：
???????????
例7. 已知ｘ為實數(shù)，求函數(shù)y=－（x
－4）（x－1 0 x+21）－100的最值。?
簡析：同學(xué)們會求二次函數(shù)的最值，而本題中的函數(shù)不是二次函數(shù)，能否求出它的最值呢？由于本題中的函數(shù)較特殊，我們不妨用因式分解法試試。
解：∵－（x
－4）（x－1 0 x+21）－100?????? =－（x+2）（x－2）（x－3）（x－7）－100
?????? =－（x
－5x－14）（x－5x+6）－100?????? =－（x
－5x）－8（x－5x）+16?????? =－（x
－5x+4）≤0??? ∴無論x取何值，函數(shù)y總有最大值0。
例8.已知：關(guān)于x的方程x
－2 x＋ k=0有實數(shù)根，且y=+x
，函數(shù)y有最值嗎？若有，試求出其值，若沒有，請說明理由。?
簡析：借助因式分解不難求出y關(guān)于k的函數(shù)，再看此函數(shù)有無最值。
解：∵
+x=（+
）[（+）－3
]??? 又
+=2，=k??? ∴
+x=2（4－3k）=8－6k??? 依題意，有△＝2
－4k≥0，∴k≤1，
??? 即y=8－6k
??? 這是y關(guān)于k的一次函數(shù)，故由一次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)k=1時，y有最小值2.
?
從以上幾例可以看出，看似較難的求值問題，有時可以借助因式分解來解決，而且方便簡捷。
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