一次函數(shù)的“最值”
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
一次函數(shù)y=kx+b中,x、y均可取一切實(shí)數(shù).如果縮小x的取值范圍,則其函數(shù)值就會(huì)出現(xiàn)最大值或最小值.
一次函數(shù)的“最值”由一次函數(shù)的性質(zhì)決定,與其k值、自變量的取值范圍密切相關(guān):
⑴k>0時(shí),y隨x增大而增大.因此,x取最小值時(shí),y有最小值;x取最大值時(shí),y有最大值.
⑵k<0時(shí),y隨x增大而減?。虼耍瑇取最小值時(shí),y有最大值;x取最大值時(shí),y有最小值.
k值、自變量的取值范圍與函數(shù)最大值、最小值的對(duì)應(yīng)情況如下表:
求一次函數(shù)的最大、最小值,一般都是采用“極端值法”.即用自變量的端點(diǎn)值,根據(jù)函數(shù)增減性,對(duì)應(yīng)求出函數(shù)的端點(diǎn)值(最值).
請(qǐng)看以下實(shí)例.
例1.已知一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)取值范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的解析式.
解析:x的取值范圍與函數(shù)y的取值范圍的對(duì)應(yīng)情況,由k值的符號(hào)確定.故應(yīng)分類(lèi)討論.
⑴k>0時(shí),y隨x增大而增大.x=-2時(shí),y=-11;x=6時(shí),y=9.
∴
解得
∴y=
x-1
⑵k<0時(shí), y隨x增大而減?。畑=-2時(shí),y=9;x=6時(shí),y=-11.
∴
解得
∴y=-
x+14
例2.康樂(lè)公司在A、B兩地分別有同型號(hào)的機(jī)器17臺(tái)和15臺(tái),現(xiàn)在運(yùn)往甲地18臺(tái)、乙地14臺(tái).從A、B兩地運(yùn)往甲、乙兩地的費(fèi)用如下表;
⑴如果從A地運(yùn)往甲地x臺(tái),求完成以上調(diào)運(yùn)所需總費(fèi)用y(元)關(guān)于x(臺(tái))的函數(shù)解析式;
⑵若康樂(lè)公司請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最佳調(diào)運(yùn)方案,使總的費(fèi)用最少,則該公司完成以上調(diào)運(yùn)方案至少需要多少費(fèi)用?為什么?
解析:⑴y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300
⑵由①x≥0;②17-x≥0;③18-x≥0;④x-3≥0 ∴3≤x≤17
∵k=500>0,∴y隨x增大而增大,x取最小值時(shí),y有最小值.
∴x=3時(shí),y最小值=500×3+13300=14800(元)
故該公司完成以上調(diào)運(yùn)方案至少需14800元運(yùn)費(fèi).調(diào)運(yùn)方案為:由A地運(yùn)往甲地3臺(tái),運(yùn)往乙地14臺(tái);由B地運(yùn)往甲地15臺(tái).
作者簡(jiǎn)介:宋毓彬,男,44歲,中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)》、《學(xué)習(xí)報(bào)》、《小博士報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類(lèi)文章70多篇.主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究.
一次函數(shù)y=kx+b中,x、y均可取一切實(shí)數(shù).如果縮小x的取值范圍,則其函數(shù)值就會(huì)出現(xiàn)最大值或最小值.
一次函數(shù)的“最值”由一次函數(shù)的性質(zhì)決定,與其k值、自變量的取值范圍密切相關(guān):
⑴k>0時(shí),y隨x增大而增大.因此,x取最小值時(shí),y有最小值;x取最大值時(shí),y有最大值.
⑵k<0時(shí),y隨x增大而減?。虼耍瑇取最小值時(shí),y有最大值;x取最大值時(shí),y有最小值.
k值、自變量的取值范圍與函數(shù)最大值、最小值的對(duì)應(yīng)情況如下表:
x |
y=kx+b |
|
k>0 |
k<0 |
|
x≤m |
x有最大值,y有最大值 y最大值=km+b |
x有最大值,y有最小值 y最小值=km+b |
x≥m |
x有最小值,y有最小值 y最小值=km+b |
x有最小值,y有最大值 y最大值=km+b |
m≤x≤n |
x=m時(shí)(最小),y最小值= km+b; x=n時(shí)(最大),y最大值=kn+b |
x=m時(shí)(最小),y最大值= km+b; x=n時(shí)(最大),y最小值=kn+b |
求一次函數(shù)的最大、最小值,一般都是采用“極端值法”.即用自變量的端點(diǎn)值,根據(jù)函數(shù)增減性,對(duì)應(yīng)求出函數(shù)的端點(diǎn)值(最值).
請(qǐng)看以下實(shí)例.
例1.已知一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)取值范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的解析式.
解析:x的取值范圍與函數(shù)y的取值范圍的對(duì)應(yīng)情況,由k值的符號(hào)確定.故應(yīng)分類(lèi)討論.
⑴k>0時(shí),y隨x增大而增大.x=-2時(shí),y=-11;x=6時(shí),y=9.
∴



⑵k<0時(shí), y隨x增大而減?。畑=-2時(shí),y=9;x=6時(shí),y=-11.
∴



例2.康樂(lè)公司在A、B兩地分別有同型號(hào)的機(jī)器17臺(tái)和15臺(tái),現(xiàn)在運(yùn)往甲地18臺(tái)、乙地14臺(tái).從A、B兩地運(yùn)往甲、乙兩地的費(fèi)用如下表;
|
甲地(元/臺(tái))(18) |
乙地(元/臺(tái))(14) |
A地(17) |
600(x) |
500(17-x) |
B地(15) |
400(18-x) |
800(x-3) |
⑴如果從A地運(yùn)往甲地x臺(tái),求完成以上調(diào)運(yùn)所需總費(fèi)用y(元)關(guān)于x(臺(tái))的函數(shù)解析式;
⑵若康樂(lè)公司請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種最佳調(diào)運(yùn)方案,使總的費(fèi)用最少,則該公司完成以上調(diào)運(yùn)方案至少需要多少費(fèi)用?為什么?
解析:⑴y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300
⑵由①x≥0;②17-x≥0;③18-x≥0;④x-3≥0 ∴3≤x≤17
∵k=500>0,∴y隨x增大而增大,x取最小值時(shí),y有最小值.
∴x=3時(shí),y最小值=500×3+13300=14800(元)
故該公司完成以上調(diào)運(yùn)方案至少需14800元運(yùn)費(fèi).調(diào)運(yùn)方案為:由A地運(yùn)往甲地3臺(tái),運(yùn)往乙地14臺(tái);由B地運(yùn)往甲地15臺(tái).
作者簡(jiǎn)介:宋毓彬,男,44歲,中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師.在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)》、《學(xué)習(xí)報(bào)》、《小博士報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類(lèi)文章70多篇.主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究.
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