2012中考數(shù)學熱點知識歸納 66

    一元一次方程應用題是初一數(shù)學學習的重點，也是一個難點。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實際問題中找出相等關系，列出相應的方程；二是對數(shù)量關系稍復雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關系，導致解題時無從下手。
     
    事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設中某一相應過程的數(shù)量大小或數(shù)量關系。由此，解方程應用題的關鍵就是要“抓住基本量，找出相等關系”。
     
    下面就一元一次方程中常見的幾類應用題作逐一講評，供同學們學習時參考。
     
    1.行程問題
     
    行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關系式為：①路程=速度×時間；②速度=；③時間=。
     
    可尋找的相等關系有：路程關系、時間關系、速度關系。在不同的問題中，相等關系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關系，而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關系。
     
    航行問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：①順水（風）速度=靜水（無風）速度+水流速度（風速）；②逆水（風）速度=靜水（無風）速度－水流速度（風速）。由此可得到航行問題中一個重要等量關系：順水（風）速度－水流速度（風速）＝逆水（風）速度+水流速度（風速）＝靜水（無風）速度。
     
    例１．某隊伍450米長，以每分鐘90米速度前進，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時間？
     
    講評：這一問題實際上分為兩個過程：①從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當于最后一個人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程，相當于從排頭走到與排尾的人相遇。
     
    在追及過程中，設追及的時間為x秒，隊伍行進（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關系“追趕者的路程－被追者的路程=原來相隔的路程”，有：
     
                       3x－1.5x=450    ∴x=300     
     
    在相遇過程中，設相遇的時間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有：    3y+1.5y=450    ∴y=100
     
    故往返共需的時間為  x+y=300+100=400（秒）
     
    例2 汽車從A地到B地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求A、B 兩地的距離。
     
    講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關系，從相隔的時間上找出相等關系。本題中，設A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時，則時間為小時；速度為45 km/小時，則時間為小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有
     
               － = 1           ∴　x = 360
     
    例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。
     
    講評：設甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為km/小時，逆流速度為km/小時，由航行問題中的重要等量關系有：
     
    －２=  +2                ∴ x = 96
    
    

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