一次函數(shù)中的分段函數(shù)
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
在函數(shù)自變量不同的取值范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系也不相同，我們這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。學(xué)習(xí)一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：⑴要特別注意相應(yīng)的自變量變化區(qū)間。在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍。⑵分段函數(shù)的圖象是由幾條線(xiàn)段（或射線(xiàn)）組成的折線(xiàn)。其中每條線(xiàn)段（射線(xiàn)）代表某一個(gè)階段的情況。⑶分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景對(duì)圖象的意義進(jìn)行認(rèn)識(shí)和理解。尤其要理解折線(xiàn)中橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。
?
一、分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題
?
例1. 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一．為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識(shí)，某市自來(lái)水公司對(duì)居民用水采用以戶(hù)為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi)．即一月用水10噸以?xún)?nèi)（包括10噸）的用戶(hù)，每噸收水費(fèi)
元；一月用水超過(guò)10噸的用戶(hù)，10噸水仍按每噸元收費(fèi)，超過(guò)10噸的部分，按每噸
元（b＞a）收費(fèi)．設(shè)一戶(hù)居民月用水
噸，應(yīng)收水費(fèi)
元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖13所示．?
?
（1）求
的值；某戶(hù)居民上月用水8噸，應(yīng)收水費(fèi)多少元？?
（2）求
的值，并寫(xiě)出當(dāng)
時(shí)，與之間的函數(shù)關(guān)系式；?
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費(fèi)46元，求他們上月分別用水多少?lài)崳?BR> ?
解析：（1）當(dāng)
時(shí)，有
．將
代入，得．∴y=1.5x?
當(dāng)x=8時(shí),y=8×1.5＝12（元）．
?
（2）當(dāng)
時(shí)，有
???? 將
，
代入，?
得
． ∴
．?故當(dāng)時(shí)，
．?
（3）因
，?∴甲、乙兩家上月用水均超過(guò)10噸．?
設(shè)甲、乙兩家上月用水分別為
噸，噸，?
則
???????? 解之，得
?
故居民甲上月用水16噸，居民乙上月用水12噸．
?
二、行程中的分段函數(shù)
?
例2。一列快車(chē)從甲地駛往乙地，一列慢車(chē)從乙地駛往甲地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車(chē)行駛的時(shí)間為
，兩車(chē)之間的距離為
，圖中的折線(xiàn)表示與之間的函數(shù)關(guān)系．?
根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：
?
?
信息讀取
?
（1）甲、乙兩地之間的距離為???????? km；
?
（2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)
的實(shí)際意義；?
圖象理解
?
（3）求慢車(chē)和快車(chē)的速度；
?
（4）求線(xiàn)段
所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；?
問(wèn)題解決
?
（5）若第二列快車(chē)也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車(chē)相同．在第一列快車(chē)與慢車(chē)相遇30分鐘后，第二列快車(chē)與慢車(chē)相遇．求第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚出發(fā)多少小時(shí)？
?
解析：（1）900；
?
（2）圖中點(diǎn)
的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車(chē)行駛4h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇．?
（3）由圖象可知，慢車(chē)12h行駛的路程為900km，
?
所以慢車(chē)的速度為
；?
當(dāng)慢車(chē)行駛4h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇，兩車(chē)行駛的路程之和為900km，所以慢車(chē)和快車(chē)行駛的速度之和為
，所以快車(chē)的速度為150km/h．?
（4）根據(jù)題意，快車(chē)行駛900km到達(dá)乙地，所以快車(chē)行駛
到達(dá)乙地，此時(shí)兩車(chē)之間的距離為
，所以點(diǎn)
的坐標(biāo)為
．?
設(shè)線(xiàn)段
所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為
，把
，代入得?
???? 解得
?
所以，線(xiàn)段
所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為
．?
自變量
的取值范圍是
．?
（5）慢車(chē)與第一列快車(chē)相遇30分鐘后與第二列快車(chē)相遇，此時(shí)，慢車(chē)的行駛時(shí)間是4.5h．
?
把
代入，得
．?
此時(shí)，慢車(chē)與第一列快車(chē)之間的距離等于兩列快車(chē)之間的距離是112.5km，所以?xún)闪锌燔?chē)出發(fā)的間隔時(shí)間是
，即第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚出發(fā)0.75h．?
三、與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)
?
例3。在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始按A —B—C—D的方向運(yùn)動(dòng)到D。如圖3—1。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路程為x，△APD的面積為y。（當(dāng)點(diǎn)P與A或D重合時(shí)，y=0）
?
?
⑴寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
?
⑵畫(huà)出此函數(shù)的圖象。
?
解析：⑴P在邊AB、BC、CD上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不相同。應(yīng)分段求出相應(yīng)的函數(shù)式。
?
①P在邊AB上，0≤x＜3時(shí)，??? y=
×4x=2x?
②P在邊BC上，3≤x＜7時(shí)，y=
×4×3=6?
③P在邊CD上，7≤x≤10時(shí)，y=
×4（10-x）=-2x+20?
∴y=
?
⑵函數(shù)圖象如圖3—2。
?
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |