2013中考數(shù)學(xué)備考:黛安娜的妹妹

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    暑假過后,新初三生們迎來了初中最重要的一年——初三。為方便2013年中考考生及家長查詢相關(guān)信息,出國留學(xué)網(wǎng)中考頻道特別搜集匯總了中考數(shù)學(xué)知識點以供參考:
    
    黛安娜和母親一起上街為她妹妹的生日聚會購買糖果和小禮品。黛安娜的母親專買小禮品,而黛安娜專買糖果。關(guān)于她買糖果的數(shù)量和所買小禮品的數(shù)量,以及她們所花的錢款,情況如下:
    (1)黛安娜身上只帶了十三枚硬幣,而且里面只有三種:1美分、5美分和25美分。她把它們?nèi)坑脕碣I了糖果。
    (2)她為奧爾西婭買的糖果每塊2美分,她為布萊思買的糖果每塊3美分,她為卡麗買的糖果每塊6美分。
    (3)她為這三個女孩買的糖果塊數(shù)各不相同,而且都不止一塊。
    (4)有兩種糖果她所付的錢款相同。
    (5)她母親買了一些小禮品,每件小禮品的單價都一樣。母親總共花了4.80美元。
    (6)黛安娜所買糖果的塊數(shù)同她母親所買紀(jì)念品的件數(shù)相等。
    (7)黛安娜給她妹妹買的糖果塊數(shù)最多。
    三個女孩中,誰是黛安娜的妹妹?
    (提示:根據(jù)(1)、(2)、(5)、(6)可列出五個方程。根據(jù)(4)所列出的三個方程,只有一個是正確的。在這些方程中各個量的和與積是奇數(shù)還是偶數(shù),應(yīng)予考慮。)
      答 案
    ?
    設(shè)P=黛安娜所帶的1美分硬幣和枚數(shù),
    N=黛安娜所帶的5美分硬幣和枚數(shù),
    Q=黛安娜所帶的25美分硬幣和枚數(shù),
    T=黛安娜為買糖果所花的總錢數(shù)(以美分為單位),
    a=為奧爾西婭所買的糖果的塊數(shù),
    b=為布萊思所買的糖果的塊數(shù),
    c=為卡麗所買的糖果的塊數(shù),
    d=母親所買的紀(jì)念品的單價(以美分為單位),
    F=母親所買的紀(jì)念品的件數(shù)。
    以上各數(shù)都是正整數(shù)。
    根據(jù)(1):(la)P+N+Q=13,
    (1b)P+5N+25Q=T.
    根據(jù)(2):(2)2a+3b+6c=T。
    根據(jù)(3):(3)a、b、c各不相同而且都大于1。
    根據(jù)(4):(4)或者2a=3b,或者2a=6c,或者3b=6c。
    根據(jù)(5):(5)F×d=480。
    根據(jù)(6):(6)a+b+C=F。
    根據(jù)(7),問題可以重新表述為:
    (7)a、b、c中哪一個最大?
    這里一共有六個方程和九個未知數(shù),第四個方程是三個可能的方程中的一個。方程太多,無法僅用代數(shù)方法求解,因此除了各數(shù)都是正整數(shù)這一特點之外,必須再尋找其他特點。
    我們知道:兩個奇數(shù)之和總是偶數(shù),
    兩個偶數(shù)之和總是偶數(shù),
    一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之和總是奇數(shù)。
    而且知道:兩個奇數(shù)之積總是奇數(shù),
    兩個偶數(shù)之積總是偶數(shù),
    一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積總是偶數(shù)。
    根據(jù)這些規(guī)律,在方程(1a)中,或是P、N、Q三者都是奇
    數(shù),或是這三個數(shù)中只有一個是奇數(shù)。無論是這兩種情況中的哪一種,(1b)中的T總是奇數(shù)。于是方程(2)中的b是奇數(shù)。這樣,在方程(4)中,2a不能等于3b,因為2a是偶數(shù)而3b是奇數(shù)。3b也不能等于6c,因為6c是偶數(shù)而3b是奇數(shù)。因此2a=6c。(至此,已經(jīng)知道c不是最大的數(shù),因為a必定大于c。)兩邊除以2,得a=3c。代入方程(6),得b+4c=F。
    由于b是奇數(shù),所以在b+4c=F中,F(xiàn)是奇數(shù)。在方程(5)中,480是兩個數(shù)的乘積,其中一個是奇數(shù)(F),另一個是偶數(shù)(d)。在這個乘積中,F(xiàn)可能取的奇數(shù)值只有l(wèi)、3、5或15。F等于1或3是不可能的,因為在b+4c=F中,b和c必須是正整數(shù)。根據(jù)(3)(b和c不能等于1),F(xiàn)也不等于5。因此,F(xiàn)必定等于15。
    于是b+4c=15,而C不能大于3或者小于1。根據(jù)(3),C不能等于1,也不能等于3否則b也等于3)。所以C必定等于2。從而b=7。根據(jù)前面得出的a=3c,所以a=6。因此b是最大的數(shù)。這樣,根據(jù)(7),布萊思是黛安娜的妹妹。
    其他各值可以求解如下。因為F=15,所以根據(jù)(5),d=32。由于a=6,b=7,c=2,所以根據(jù)(2),T=45。從(1b)減去
    (la)得出4N+240=32。兩邊除以4,得N+6Q=8。Q不能大于1(否則N將是負(fù)數(shù)),也不能小于1(因為根據(jù)(l),黛安娜有25美分的硬幣),因此Q=l。于是N=2。于是根據(jù)(la),P=10。
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