2013中考數(shù)學(xué)備考：帕斯卡三角形與道路問題

    蘇珊很為難.她步行去學(xué)校，路上老是遇到斯廷基.斯廷基："嘿嘿，蘇珊，我可以陪你一起走嗎?"蘇珊："不!請(qǐng)走開."
    蘇珊心想：我有辦法了.每天早上我走不同的路線去學(xué)校.這樣斯廷基就不知道在哪兒找到我了.這張地圖表示蘇珊的住所和學(xué)校之間的所有街道.蘇珊去學(xué)校時(shí)，走路的方向總是朝南或朝東.她總共有多少條路線呢?
    蘇珊："我真想知道有多少條路線可走.讓我想一想.要算出多少條路線看來(lái)并不簡(jiǎn)單.嗯.啊哈!一點(diǎn)不難，簡(jiǎn)單的很!"蘇珊想到了什么好主意?
    她的推理如下：蘇珊："在我家這個(gè)角點(diǎn)上寫一個(gè)1，因?yàn)槲抑荒軓倪@一點(diǎn)出發(fā).然后在遇刺相隔一個(gè)街區(qū)的兩個(gè)角點(diǎn)上各寫一個(gè)1，因?yàn)榈侥抢镏挥幸粭l途徑.現(xiàn)在，我在這個(gè)角點(diǎn)上寫上2，因?yàn)榈竭_(dá)那里可以有兩條途徑.蘇珊發(fā)現(xiàn)2是1加1之和，她忽然領(lǐng)悟：若到某一個(gè)僅有一條途徑，則該角點(diǎn)上的數(shù)字為前一個(gè)角點(diǎn)上的數(shù)字;若有兩條途徑，則為前兩個(gè)角點(diǎn)上的數(shù)字之和.
    蘇珊："瞧，又有四個(gè)角點(diǎn)標(biāo)上了數(shù)字，我馬上把其他角點(diǎn)也標(biāo)上數(shù)字."請(qǐng)你替蘇珊把剩下的角點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字，并且告訴她步行到學(xué)校共有多少條不同的路線.
    蘇珊的家H
    

1               1	1               2	1               3
	2	5

     
    學(xué)校G
    剩下的5個(gè)點(diǎn)，自上而下，從左至右分別標(biāo)以1，4，9，4，13.最后一點(diǎn)上的13表示蘇珊去學(xué)校共有十三條最短路徑.
    蘇珊所發(fā)現(xiàn)的是一種快速而簡(jiǎn)單的算法，用來(lái)計(jì)算從她家到學(xué)校的最短路徑共有多少條.要是她把這些路徑一條一條地畫出來(lái)，然后再計(jì)數(shù)，這樣肯定麻煩，還容易出錯(cuò).如果街道的數(shù)目很多，那么這種方法根本就行不通.你不妨把這十三條路線都畫出來(lái)，這樣你就更能體會(huì)到蘇珊的算法是多么地有效了.
    你對(duì)這種算法是否已經(jīng)理解，可以再畫一些不同的街道網(wǎng)絡(luò)，然后用這種算法來(lái)確定從任意點(diǎn)A到另一任意點(diǎn)B的最短路線共有多少條.網(wǎng)絡(luò)可以是矩形網(wǎng)格，三角形網(wǎng)格，平行四邊形網(wǎng)格和蜂窩狀的正六邊形網(wǎng)格.也可以用其他方法(例如組合公式)求解，但這種方法十分復(fù)雜，需要很高的技巧.
    在國(guó)際象棋棋盤上，"車"從棋盤的一角到對(duì)角線上另一角的最短路徑共有多少條?就像蘇珊給街道交點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字一樣，把棋盤上所有格子也都填上數(shù)字，于是問題就迎刃而解了."車"只能沿著右上方向朝另一個(gè)角的目標(biāo)移動(dòng)，便可以求出共有多少條最短路徑.如圖所示：
    

1	8	36	120	330	792	1716	3432
1	7	28	84	210	462	924	1716
1	6	21	56	126	252	462	792
1	5	15	35	70	126	210	330
1	4	10	20	35	56	84	120
1	3	6	10	15	21	28	36
1	2	3	4	5	6	7	8
車	1	1	1	1	1	1	1

     
    把整個(gè)棋盤正確標(biāo)號(hào)，根據(jù)所標(biāo)的數(shù)字，一眼就能看出在棋盤上從一個(gè)角出發(fā)到任意一角，有多少條最短路線.右上角的數(shù)字是3432，所以"車"從一角到對(duì)角線的另一角的最短路徑共有3432條.
    讓我們把棋盤沿著左上至右下的對(duì)角線一截為二，使其成為如下圖所示的陣列.此三角形上的數(shù)字與著名的怕斯卡三角形(我國(guó)叫做楊輝三角形)的數(shù)字是相同的，當(dāng)然，計(jì)算街道路徑條數(shù)的算法，恰恰就是構(gòu)造怕斯卡三角形所依據(jù)的過程.這種同構(gòu)現(xiàn)象使得怕斯卡三角形成為無(wú)數(shù)有趣特性的不竭的源泉.
    1
    11
    121
    1331
    14641
    ...........
    利用怕斯卡三角形立即可以求出二項(xiàng)式展開的系數(shù)，即求(a+b)的任意次冪，同樣也可以用來(lái)解出初等概率論中的許多問題.請(qǐng)注意，上圖中自頂部至底部，從邊沿一格來(lái)說是1，隨著向中間移動(dòng)，數(shù)字逐漸增加.也許你見過根據(jù)怕斯卡三角形所制成的一種裝置：在一快傾斜的板上，成百個(gè)小球滾過木釘進(jìn)入各格的底部.全部小球呈現(xiàn)出一條鐘形的二項(xiàng)式分布曲線，因?yàn)榈竭_(dá)每個(gè)底部孔位的最短路徑的條數(shù)就是二項(xiàng)式展開的系數(shù).
    顯然，蘇珊的算法同樣適用于由矩陣格子組成的三維結(jié)構(gòu).設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為3的立方體，分成27個(gè)立方體單元，把它看成棋盤，處于某一個(gè)角格上的"車"可以向三個(gè)坐標(biāo)上的任何位置作直線移動(dòng)，試問"車"到空間對(duì)角線的另一個(gè)角格有多少條最短路徑?
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