求代數(shù)式的最大值及最小值是初中考試中經(jīng)常出現(xiàn)的題目，它的解法靈活多樣，不可一概而論，下面就初中階段較常見的解法舉例說明，以便同學(xué)們復(fù)習(xí)參考。
一. 配方法
例1. 設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么
的最小值是___________。解：
因?yàn)?img src="http://pic02.newdu.com/uploads/202503/26/201207270901473960520.gif" width="103" height="41" />，
所以當(dāng)
且
即
且
時(shí)，式子的值最小，最小值為－1。二. 計(jì)算法
例2. 已知：
，
，
，則
的最小值為（ ）A.
B. 
C.
D. 
解：由
解得
因?yàn)?img src="http://pic02.newdu.com/uploads/202503/26/201207270901533570523.gif" width="279" height="43" />
所以只要
最小，就最小，通過計(jì)算當(dāng)
，
；或
時(shí)最小，最小值為
所以
的最小值為
故選B
注：也可把a(bǔ)、b、c的值直接代入
通過計(jì)算并比較，從而求出其最小值。三. 消元法
例3. 已知：
，則
的最大值是___________，最小值是_________。解：由
得
所以
所以
所以
所以當(dāng)
時(shí)，的最大值為
；當(dāng)
時(shí)，的最小值為－2。四. 構(gòu)造法
例4. 求
的最大值。解：原式可變形為
其中
可以看成是以
，
為直角邊的直角三角形的斜邊長，
可以看成是以，
為直角邊的直角三角形中的斜邊長。因此可構(gòu)造圖1。
圖1
當(dāng)C點(diǎn)與D點(diǎn)不重合時(shí)，即
時(shí)，在
中有
即
當(dāng)C點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，即
時(shí)
所以當(dāng)
時(shí)即
時(shí)y取最大值
。五. 坐標(biāo)法
例5. 已知：
，求：
的最小值。解：如圖2，建立直角坐標(biāo)系，
的圖象是與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（0，8）的一條直線。
圖2
設(shè)P（x，y）是直線
上的一動(dòng)點(diǎn)，由勾股定理知表示P（x，y）與O（0，0）間的距離，易知，只有當(dāng)
時(shí)，最小。作
，垂足為C。因?yàn)?img src="http://pic02.newdu.com/uploads/202503/26/201207270902024010530.gif" width="185" height="21" />
所以
所以
的最小值為
。六. 換元法
例6. 求
的最大值。解：因?yàn)?img src="http://pic02.newdu.com/uploads/202503/26/201207270902036070531.gif" width="66" height="16" />，所以
則可設(shè)
所以
所以當(dāng)
，即
時(shí)，有最大值1。七. 利用基本不等式法
例7. 若
，那么代數(shù)式
的最小值是_____________。解：當(dāng)
時(shí)因?yàn)?img src="http://pic02.newdu.com/uploads/202503/26/201207270902059880533.gif" width="105" height="25" />
所以
即
因?yàn)?img src="http://pic02.newdu.com/uploads/202503/26/201207270902065810533.gif" width="111" height="45" />
所以
所以
的最小值為1。?
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