2013中考數(shù)學(xué)備考：求銳角三角函數(shù)值

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    一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值
    例1 如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，求∠EAF的正切值。

    圖1
    解：連結(jié)EF，作FG⊥AE，垂足為G
    設(shè)正方形的邊長為2，則BE=CE=CF=FD=1
    由

在

中，由勾股定理，得

在△AEF中，

易證：△ABE≌△ADF，∴AF=AE=

    在Rt△
    AFG中

    評注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知識，要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進行，通過添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，為解決問題創(chuàng)造了有利條件，使所求問題化歸為利用三角形面積橋來解決。
    例2 如圖2，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求
    cos∠CAD的值。

    圖2
    解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD
    ∴點P是弦CD的中點
    ∴PD=PC=6
    由相交弦定理，得
    PA·PB=PD·PC=PD²

在

中，由勾股定理，得

易證：

過點D作DE⊥AC，垂足為E

在

中，

    評注：本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理，還考查了勾股定理、全等三角形等知識，通過添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角形面積橋的特殊條件，提高了解題效率與為解決某些問題搭起了平臺作用。
    二、利用三角形的面積橋求點到直線的距離
    例3 如圖3，已知圓

與圓

外切于點C，AB是兩圓的外公切線，A、B是切點，點A在圓

上，點B在圓

上。若AC、BC是關(guān)于x的方程

的兩個實數(shù)根，△ABC的周長為30，求點C到直線AB的距離。

    圖3
    解：過點C作兩圓的公切線交AB于點P，則AP=PC=PB

，即

    ∴△ABC是直角三角形。
    設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系，得

將①代入③，得

④
根據(jù)勾股定理，得

⑤
將①、②、④代入⑤，得

，
經(jīng)整理，得

，解得

又

都能使原方程有實根。
當(dāng)

時代入④，得

，不合題意，舍去。
當(dāng)

時，代入④，得

∴當(dāng)

時，代入②，得

設(shè)點C到直線AB的距離為h

    評注：本例由兩圓外切來判斷三角形的形狀，將方程中的根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，以及勾股定理，配方法、方程等知識點串聯(lián)在一起，綜合性較強，所考查的知識點頗多，涉及面廣，拓寬了對相關(guān)知識點的考查；同時合理構(gòu)建方程組模型，利用方程的知識和三角形的面積橋是解決問題的關(guān)鍵；利用整體求值法，避免了求邊長，提高了解題速度，有利于培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)過的掌握的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為解決實際問題的能力，核心是應(yīng)用能力，
    本例形成了較好的考查知識鏈。
    三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積
    例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的內(nèi)切圓面積。
    解：如圖4所示，過點A作AD⊥BC，設(shè)BD=x，CD=y，則