2013中考數(shù)學(xué)備考:求銳角三角函數(shù)值

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    一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值
    例1 如圖1,E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點,求∠EAF的正切值。
    
    圖1
    解:連結(jié)EF,作FG⊥AE,垂足為G
    設(shè)正方形的邊長為2,則BE=CE=CF=FD=1
    由
    
    在
    中,由勾股定理,得
    
    在△AEF中,
    
    
    易證:△ABE≌△ADF,∴AF=AE=
    在Rt
    AFG中
    
    
    
    評注:本例考查了勾股定理、全等三角形等知識,要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進行,通過添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形,為解決問題創(chuàng)造了有利條件,使所求問題化歸為利用三角形面積橋來解決。
    例2 如圖2,AB是圓O的直徑,CD⊥AB于P,若BP=2,CD=12,求
    cos∠CAD的值。
    
    圖2
    解:∵AB是圓O的直徑,AB⊥CD
    ∴點P是弦CD的中點
    ∴PD=PC=6
    由相交定理,得
    PA·PB=PD·PC=PD2
    
    在中,由勾股定理,得
    
    易證
    
    過點D作DE⊥AC,垂足為E
    
    
    在中,
    
    評注:本例考查了圓中的相交定理、垂徑定理,還考查了勾股定理、全等三角形等知識,通過添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,利用三角形面積橋的特殊條件,提高了解題效率與為解決某些問題搭起了平臺作用。
    二、利用三角形的面積橋求點到直線的距離
    例3 如圖3,已知圓與圓
    外切于點C,AB是兩圓的外公切線,A、B是切點,點A在圓上,點B在圓上。若AC、BC是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,△ABC的周長為30,求點C到直線AB的距離。
    
    圖3
    解:過點C作兩圓的公切線交AB于點P,則AP=PC=PB
    
    ,即
    ∴△ABC是直角三角形。
    設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系,得
    
    將①代入③,得
    根據(jù)勾股定理,得
    
    將①、②、④代入⑤,得
    ,
    經(jīng)整理,得
    ,解得
    又
    
    都能使原方程有實根。
    當(dāng)時代入④,得
    ,不合題意,舍去。
    當(dāng)時,代入④,得
    
    ∴當(dāng)時,代入②,得
    
    設(shè)點C到直線AB的距離為h
    
    評注:本例由兩圓外切來判斷三角形的形狀,將方程中的根與系數(shù)的關(guān)系和判別式,以及勾股定理,配方法、方程等知識點串聯(lián)在一起,綜合性較強,所考查的知識點頗多,涉及面廣,拓寬了對相關(guān)知識點的考查;同時合理構(gòu)建方程組模型,利用方程的知識和三角形的面積橋是解決問題的關(guān)鍵;利用整體求值法,避免了求邊長,提高了解題速度,有利于培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)過的掌握的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為解決實際問題的能力,核心是應(yīng)用能力,
    本例形成了較好的考查知識鏈。
    三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積
    例4 在△ABC中,AC=4,BC=5,AB=6,求△ABC的內(nèi)切圓面積。
    解:如圖4所示,過點A作AD⊥BC,設(shè)BD=x,CD=y,則
    
    圖4
    
    在中,由勾股定理,得
    
    
    
    解①,②,得
    
    
    設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,因為三角形的內(nèi)切圓圓心到三邊的距離相等。
    
    
    
    的內(nèi)切圓面積為(面積單位)。
    評注:本例充分利用方程知識和三角形的面積橋,使所求問題無從下手,到“柳暗花明”,使所求問題迎刃而解。
    四、利用三角形的面積橋解決其他問題
    例5 在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,點P為BC邊上的任一點(不與B、C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,E、F為垂足,求3PE+4PF的值。
    解:如圖5過點B作BD⊥AC,垂足為D
    
    圖5
    設(shè)
    則
    在
    中,由勾股定理,得
    
    
    即
    解①,②,得
    
    
    連結(jié)AP,則
    
    即
    評注:本例是2004年全國高考試題改編,在解題過程中,利用了方程思想,實現(xiàn)了幾何代數(shù)化,由方程知識和三角形的面積橋,使解題思路清晰,解題方法躍然紙上,簡潔明快,所以三角形的面積橋為提高解題質(zhì)量和技巧提供了便捷通道。?
    

    
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