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一、利用三角形的面積橋求銳角三角函數(shù)值
例1 如圖1，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，求∠EAF的正切值。
圖1
解：連結(jié)EF，作FG⊥AE，垂足為G
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則BE=CE=CF=FD=1
由
在
中，由勾股定理，得
在△AEF中，
易證：△ABE≌△ADF，∴AF=AE=
在Rt△
AFG中
評(píng)注：本例考查了勾股定理、全等三角形等知識(shí)，要求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形進(jìn)行，通過(guò)添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，為解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件，使所求問(wèn)題化歸為利用三角形面積橋來(lái)解決。
例2 如圖2，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于P，若BP=2，CD=12，求
cos∠CAD的值。
圖2
解：∵AB是圓O的直徑，AB⊥CD
∴點(diǎn)P是弦CD的中點(diǎn)
∴PD=PC=6
由相交弦定理，得
PA·PB=PD·PC=PD2
在
中，由勾股定理，得
易證：
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E
在
中，
評(píng)注：本例考查了圓中的相交弦定理、垂徑定理，還考查了勾股定理、全等三角形等知識(shí)，通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角形面積橋的特殊條件，提高了解題效率與為解決某些問(wèn)題搭起了平臺(tái)作用。
二、利用三角形的面積橋求點(diǎn)到直線的距離
例3 如圖3，已知圓
與圓
外切于點(diǎn)C，AB是兩圓的外公切線，A、B是切點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上，點(diǎn)B在圓上。若AC、BC是關(guān)于x的方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的周長(zhǎng)為30，求點(diǎn)C到直線AB的距離。
圖3
解：過(guò)點(diǎn)C作兩圓的公切線交AB于點(diǎn)P，則AP=PC=PB
，即
∴△ABC是直角三角形。
設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)題意及根與系數(shù)的關(guān)系，得
將①代入③，得
④根據(jù)勾股定理，得
⑤將①、②、④代入⑤，得
，經(jīng)整理，得
，解得
又
都能使原方程有實(shí)根。當(dāng)
時(shí)代入④，得
，不合題意，舍去。當(dāng)
時(shí)，代入④，得
∴當(dāng)
時(shí)，代入②，得
設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為h
評(píng)注：本例由兩圓外切來(lái)判斷三角形的形狀，將方程中的根與系數(shù)的關(guān)系和判別式，以及勾股定理，配方法、方程等知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起，綜合性較強(qiáng)，所考查的知識(shí)點(diǎn)頗多，涉及面廣，拓寬了對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查；同時(shí)合理構(gòu)建方程組模型，利用方程的知識(shí)和三角形的面積橋是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；利用整體求值法，避免了求邊長(zhǎng)，提高了解題速度，有利于培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)過(guò)的掌握的相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問(wèn)題的能力，核心是應(yīng)用能力，
本例形成了較好的考查知識(shí)鏈。
三、利用三角形的面積橋求三角形的內(nèi)切圓面積
例4 在△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6，求△ABC的內(nèi)切圓面積。
解：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，設(shè)BD=x，CD=y，則
圖4
①在
和
中，由勾股定理，得
②解①，②，得
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)槿切蔚膬?nèi)切圓圓心到三邊的距離相等。
的內(nèi)切圓面積為
（面積單位）。評(píng)注：本例充分利用方程知識(shí)和三角形的面積橋，使所求問(wèn)題無(wú)從下手，到“柳暗花明”，使所求問(wèn)題迎刃而解。
四、利用三角形的面積橋解決其他問(wèn)題
例5 在△ABC中，AB=3，BC=
，AC=4，點(diǎn)P為BC邊上的任一點(diǎn)（不與B、C重合），PE⊥AB，PF⊥AC，E、F為垂足，求3PE+4PF的值。解：如圖5過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D
圖5
設(shè)
則
①在
和
中，由勾股定理，得
即
②解①，②，得
連結(jié)AP，則
即
評(píng)注：本例是2004年全國(guó)高考試題改編，在解題過(guò)程中，利用了方程思想，實(shí)現(xiàn)了幾何代數(shù)化，由方程知識(shí)和三角形的面積橋，使解題思路清晰，解題方法躍然紙上，簡(jiǎn)潔明快，所以三角形的面積橋?yàn)樘岣呓忸}質(zhì)量和技巧提供了便捷通道。?
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