分式運算的技巧
【精練】計算：
【分析】本題中有四個分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復雜，其運算難度較大.不過我們注意到若把前兩個分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項相加的辦法.
【解】
=
????????????????????????????? =
????????????????????????????? =
【知識大串聯(lián)】
??? 1．分式的有關(guān)概念
??? 設A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子
就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義??? 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進行約分化簡
2、分式的基本性質(zhì)
?
（M為不等于零的整式）3．分式的運算
? (分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似)．
??
?(異分母相加，先通分)；
?? 
4．零指數(shù)?
5．負整數(shù)指數(shù)?
注意正整數(shù)冪的運算性質(zhì)??
可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負整數(shù)．
分式是初中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，其運算綜合性強，技巧性大，如果方法選取不當，不僅使解題過程復雜化，而且出錯率高．下面通過例子來說明分式運算中的種種策略，供同學們學習參考．
1．順次相加法
例1：計算：
【分析】本題的解法與例1完全一樣.
【解】
=
????????????????????????????? =
???????????????????????? ?????=
2．整體通分法
【例2】計算：
【分析】本題是一個分式與整式的加減運算.如能把（-a-1）看作一個整體，并提取“-”后在通分會使運算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
【解】
=
=
.3．化簡后通分
分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計算會方便許多．
4．巧用拆項法
例4計算：
.分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到
，這樣可抵消一些項.解：原式=
????????? =
????????? =
=
5．分組運算法
例5：計算：
分析：本題項數(shù)較多，分母不相同.因此，在進行加減時，可考慮分組.分組的原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運算簡便.
解：
???? =
???? =
???? =
???? =
???? =
【錯題警示】
一、錯用分式的基本性質(zhì)
例1????????? 化簡
錯解：原式
分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
正解：原式
二、錯在顛倒運算順序
例2???????? 計算
錯解：原式
分析：乘除是同一級運算，除在前應先做除，上述錯解顛倒了運算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯誤.
正解：原式
三、錯在約分
例1? 當
為何值時，分式
有意義？[錯解]原式
.由
得
.∴
時，分式有意義.[解析]上述解法錯在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式
，擴大了未知數(shù)的取值范圍，而導致錯誤.[正解]由
得
且.∴當
且，分式有意義.四、錯在以偏概全
例2?
為何值時，分式
有意義？[錯解]當
，得
.∴當
，原分式有意義.[解析]上述解法中只考慮
的分母，沒有注意整個分母
，犯了以偏概全的錯誤.[正解]
，得，由
，得
.∴當
且時，原分式有意義.五、錯在計算去分母
例3? 計算
.[錯解]原式
=
.[解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計算是等值代換，不能去分母，.
[正解]原式
.六、錯在只考慮分子沒有顧及分母
例4? 當
為何值時，分式
的值為零.[錯解]由
，得
.∴當
或時，原分式的值為零.[解析]當
時，分式的分母
，分式無意義，談不上有值存在，出錯的原因是忽視了分母不能為零的條件.[正解]由由
，得.由
，得
且.∴當
時，原分式的值為零.七、錯在“且”與“或”的用法
例7?
為何值時，分式
有意義錯解：要使分式有意義，
須滿足
，即
.由
得，或由
得
.
當或時原分式有意義.分析：上述解法由
得或是錯誤的.因為
與中的一個式子成立并不能保證一定成立，只有與同時成立，才能保證一定成立.故本題的正確答案是
且.八、錯在忽視特殊情況
例8????????? 解關(guān)于
的方程
.錯解：方程兩邊同時乘以
，得
，即
.當
時，
，當
時，原方程無解.分析：當
時，原方程變?yōu)?sub>
取任何值都不能滿足這個方程，錯解只注意了對的討論，而忽視了的特殊情況的討論.正解：方程兩邊同時乘以
，得，即當
且時，，當或時，原方程無解.【分析】本題中有四個分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復雜，其運算難度較大.不過我們注意到若把前兩個分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項相加的辦法.
【解】
=????????????????????????????? =
????????????????????????????? =
【知識大串聯(lián)】
??? 1．分式的有關(guān)概念
??? 設A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子
就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義??? 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進行約分化簡
2、分式的基本性質(zhì)
?（M為不等于零的整式）3．分式的運算
? (分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似)．
??
?(異分母相加，先通分)；?? 4．零指數(shù)?
5．負整數(shù)指數(shù)?
注意正整數(shù)冪的運算性質(zhì)??
可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負整數(shù)．
分式是初中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，其運算綜合性強，技巧性大，如果方法選取不當，不僅使解題過程復雜化，而且出錯率高．下面通過例子來說明分式運算中的種種策略，供同學們學習參考．
1．順次相加法
例1：計算：
【分析】本題的解法與例1完全一樣.
【解】
=????????????????????????????? =
???????????????????????? ?????=
2．整體通分法
【例2】計算：
【分析】本題是一個分式與整式的加減運算.如能把（-a-1）看作一個整體，并提取“-”后在通分會使運算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
【解】
==.3．化簡后通分
分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計算會方便許多．
4．巧用拆項法
例4計算：
.分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到
，這樣可抵消一些項.解：原式
=
????????? =
????????? =
=5．分組運算法
例5：計算：
分析：本題項數(shù)較多，分母不相同.因此，在進行加減時，可考慮分組.分組的原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運算簡便.
解：
???? =
???? =
???? =
???? =
???? =
【錯題警示】
一、錯用分式的基本性質(zhì)
例1????????? 化簡
錯解：原式
分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
正解：原式
二、錯在顛倒運算順序
例2???????? 計算
錯解：原式
分析：乘除是同一級運算，除在前應先做除，上述錯解顛倒了運算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯誤.
正解：原式
三、錯在約分
例1? 當
為何值時，分式有意義？[錯解]原式
.由
得.∴
時，分式有意義.[解析]上述解法錯在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式
，擴大了未知數(shù)的取值范圍，而導致錯誤.[正解]由
得且.∴當
且，分式有意義.四、錯在以偏概全
例2?
為何值時，分式有意義？[錯解]當
，得.∴當
，原分式有意義.[解析]上述解法中只考慮
的分母，沒有注意整個分母，犯了以偏概全的錯誤.[正解]
，得，由
，得.∴當
且時，原分式有意義.五、錯在計算去分母
例3? 計算
.[錯解]原式
=
.[解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計算是等值代換，不能去分母，.
[正解]原式
.六、錯在只考慮分子沒有顧及分母
例4? 當
為何值時，分式的值為零.[錯解]由
，得.∴當
或時，原分式的值為零.[解析]當
時，分式的分母，分式無意義，談不上有值存在，出錯的原因是忽視了分母不能為零的條件.[正解]由由
，得.由
，得且.∴當
時，原分式的值為零.七、錯在“且”與“或”的用法
例7?
為何值時，分式有意義錯解：要使分式有意義，
須滿足，即.由
得，或由得. 當或時原分式有意義.分析：上述解法由
得或是錯誤的.因為與中的一個式子成立并不能保證一定成立，只有與同時成立，才能保證一定成立.故本題的正確答案是
且.八、錯在忽視特殊情況
例8????????? 解關(guān)于
的方程.錯解：方程兩邊同時乘以
，得，即.當
時，，當
時，原方程無解.分析：當
時，原方程變?yōu)?sub>取任何值都不能滿足這個方程，錯解只注意了對的討論，而忽視了的特殊情況的討論.正解：方程兩邊同時乘以
，得，即當
且時，，當或時，原方程無解.
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