因式分解方法
因式分解是代數(shù)中的重要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)中如何進(jìn)行小結(jié)與復(fù)習(xí)?按照“一提、二公式、三分組、四檢查”的步驟，效果良好。
1. “一提”：先看多項(xiàng)式的各項(xiàng)是否有公因式，若有公因式，先提取公因式。
2. “二公式”：若多項(xiàng)式的各項(xiàng)無公因式(或已提取公因式)，第二步則看項(xiàng)數(shù)運(yùn)用公式。如果是兩項(xiàng)就考慮用平方差公式，如果是三項(xiàng)就先考慮用完全平方公式，再考慮用型式子進(jìn)行因式分解，最后考慮用十字相乘法。
3. “三分組”：若以上兩步都不能對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，則應(yīng)考慮分組分解。分組的原則是：一般先考慮分組后能運(yùn)用公式(在既可用完全平方公式，又可用平方差公式時(shí)，常把能用完全平方公式的項(xiàng)分為一組)，再考慮分組后能提取公因式。但必須確保組與組之間能繼續(xù)提取公因式或運(yùn)用公式，從而達(dá)到將整個(gè)多項(xiàng)式分解的目的。
4. “四檢查”：檢查多項(xiàng)式的每一個(gè)因式是否還能繼續(xù)分解因式，直到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。用整式的乘法檢查因式分解的結(jié)果是否正確。
一、分組分解因式的幾種常用方法.
一、分組分解因式的幾種常用方法.
1.按公因式分解
例1 分解因式7x2-3y+xy+21x.
分析：第1、4項(xiàng)含公因式7x，第2、3項(xiàng)含公因式y(tǒng)，分組后又有公因式(x-3)，
解：原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y).
2.按系數(shù)分解
例2 分解因式x3+3x2+3x+9.
分析：第1、2項(xiàng)和3、4項(xiàng)的系數(shù)之比1：3，把它們按系數(shù)分組.
解;原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3).
3.按次數(shù)分組
例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2.
分析：第1、2、5項(xiàng)是二次項(xiàng)，第3、4項(xiàng)是一次項(xiàng)，按次數(shù)分組后能用公式和提取公因式.
解：原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)=(m+n)(m+n-3).
4.按乘法公式分組
分析：第1、3、4項(xiàng)結(jié)合正好是完全平方公式，分組后又與第二項(xiàng)用平方差公式.
5.展開后再分組
例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2).
分析：將括號(hào)展開后再重新分組.
解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2=(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)=ac(bc+ad)+bd(bc+ad)=(bc+ad)(ac+bd).
6.拆項(xiàng)后再分組
例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3.
分析：把常數(shù)拆開后再分組用乘法公式.
解：原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3).
7.添項(xiàng)后再分組
例7 分解因式x4+4.
分析：上式項(xiàng)數(shù)較少，較難分解，可添項(xiàng)后再分組.
解：原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)
二、用換元法進(jìn)行因式分解
用添加輔助元素的換元思想進(jìn)行因式分解就是原式繁雜直接分解有困難，通過換元化為簡(jiǎn)單，從而分步完成.
例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16.
分析：將令y=x2+3x，則原式轉(zhuǎn)化為(y-2)(y+4)-16再分解就簡(jiǎn)單了.
解：令y=x2+3x，則
原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4).
因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6).
三、用求根法進(jìn)行因式分解
例9 分解因式x2+7x+2.
分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求該多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)方程的根再分解.
四、用待定系數(shù)法分解因式.
例10 分解因式x2+6x-16.
分析：假設(shè)能分解，則應(yīng)分解為兩個(gè)一次項(xiàng)式的積形式，即(x+b1)(x+b2)，將其展開得
x2+(b1+b2)x十b1·b2與x2+6x-16相比較得
b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解.
解：設(shè)x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)
則x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2
∴x2+6x-16=(x-2)(x+8).
因式分解后的結(jié)果
應(yīng)熟悉的因式分解后的結(jié)果
(1)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
(3)a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
a^3 :表示為a的三次方 以此類推
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