“實數(shù)的新運算知識”例題解析
近年來，隨著新課標的實行，中考試題愈加新穎和開放，愈加注重創(chuàng)新和應用。有關實數(shù)運算的創(chuàng)新題更是百花齊放，令人目不暇接，它們起點適中、形式新穎、視點獨特、凸顯能力。為幫助同學們熟悉新題型，迎接新挑戰(zhàn)，特采擷幾例典型題及運算方法供同學們參考。
一. 開放型運算
例1. 在下面兩個集合中各有一些實數(shù)，請你分別從中選出2個有理數(shù)和2個無理數(shù)，再用“+，-，×，÷”中的3種符號將選出的4個數(shù)進行3次運算，使得運算的結果是一個正整數(shù)。
解析：根據(jù)運算的條件和要求，本題答案不唯一，有多種組合的方式。如：
點評：本題是限制條件和要求、開放運算和結論，它雖未在難度上著墨，但開放視角獨特，頗有新意，從解題到命題，體現(xiàn)出對靈活思維的要求，易激活學生的思維，給學生提供了自由發(fā)揮的廣闊的思維空間，值得重視。
二. 程序型運算
例2. 有一個數(shù)值轉換器，原來如下：當輸入的x為64時，輸出的y是( )
A. 8 B. C. D.
解析：根據(jù)運算程序可知，當輸入的x為64時，其算術平方根8是有理數(shù);于是再取8的算術平方根是無理數(shù)，故輸出的y是。本題選擇B。
點評：此類結構主要是考查符號語言、圖象語言間的轉譯能力及推理運算能力，解決它的關鍵是要準確理解新程序的數(shù)學意義。
三. 估算型運算
例3. 大家知道是一個無理數(shù)，那么在哪兩個整數(shù)之間( )
A. 1與2 B. 2與3 C. 3與4 D. 4與5
解析：，即，
。
顯然本題應選擇A。
點評：對無理數(shù)作近似估算是新課標所要求的，同學們必須掌握“估算法”這種解題方法，以便于在具體的實際問題能及時作出快速的處理。
四. 定義型運算
例4. 在實數(shù)的原有運算法則中我們補充定義新運算“”如下：
當時，;當時，。則當時，的值為___________(“·”和“-”仍為實數(shù)運算中的乘號和減號)。
解析：根據(jù)定義的新運算，當x=2時，
，故;
，因此
所以。
點評：解決這類定義新運算的關鍵是理解新的運算規(guī)則，并將它向已有知識的轉化;體現(xiàn)了新課程“知識立意向能力立意過渡”的要求，突出對學生數(shù)學素養(yǎng)的考查。
五. 形數(shù)型運算
例5. 數(shù)軸上表示1，的對應點A、B，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數(shù)是( )
A. B.
C. D.
解析：不妨設點C所表示的數(shù)是x，由對稱性知道AC=AB，結合數(shù)軸有，解得。即點C所表示的數(shù)是。
點評：實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的，本題“形”“數(shù)”結合，所反映的正是數(shù)學中的一種思想方法“數(shù)形結合”。
六. 操作型運算
例6. 已知(n為正整數(shù))。當時，有;請用計算器計算當時，A、B的若干個值，并由此歸納出當以時，A、B間的大小關系為_________。
解析：由計算器操作，當以n=6時有;當以時仍有，…。由此歸納出當以時，A>B。
點評：這是一道考查學生正確使用計算器并作猜測、推斷的試題，引導學生邊操作邊思考，從而探尋并歸納A、B的大小關系，思維在不知不覺中得到展示如行云流水，層層推進……
七. 規(guī)律型運算
例7. 老師在黑板上寫出三個算式：，王華接著又寫了兩個具有同樣規(guī)律的算式：，…
(1)請你再寫出兩個(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式;
(2)用文字寫出反映上述算式的規(guī)律;
(3)證明這個規(guī)律的正確性。
解析：(1)略。
(2)規(guī)律：任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù);
(3)證明：設m，n為兩個整數(shù)，則兩個奇數(shù)可表示為和，則。
當同是奇數(shù)或偶數(shù)時，一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù)。
當一奇一偶時，則一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù)。
所以任意兩個奇數(shù)的平方差為8的倍數(shù)。
點評：本題重在考查學生觀察問題、探究規(guī)律的思維能力。此類探究型試題對訓練學生的發(fā)散性思維進而培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力大有裨益，規(guī)律探索型的試題在中考中備受青睞，希望同學們熟悉。掌握它。
八. 應用型運算
例8. 某單位需以“掛號信”或“特快專遞”方式向五所學校各寄一封信。這五封信的重量分別是72g、90g、215g、340g、400g。根據(jù)這五所學校的地址及信件的重量范圍，在郵局查得相關郵費標準如下：
(1)重量為90g的信若以“掛號信”方式寄出，郵寄費為多少元?若以“特快專遞”方式寄出呢?
(2)這五封信分別以怎樣的方式寄出最合算?請說明理由。
(3)通過解答上述問題，你有何啟示?(請你用一、兩句話說明)
解：(1)重量為90g的信以“掛號信”方式寄出，則郵寄費為(元);
以“特快專遞”方式寄出，郵寄費為(元)。
(2)∵這五封信的重量均小于1000g，
∴若以“特快專遞”方式寄出，郵寄費為5+3+1=9(元)。
由(1)得知，重量為90g的信以“掛號信”方式寄出，費用為7.5元小于9元;
∵72g<90g，
∴重量為72g的信以“掛號信”方式寄出小于9元。
若重量為215g的信以“掛號信”方式寄出，則郵寄費為
(元)>9(元)，
，
∴重量為400g，340g的信以“掛號信”方式寄出，費用均超過9元。
因此，將這五封信的前兩封以“掛號信”方式寄出，后三封以“特快專遞”方式寄出最合算。
(3)生活中到處都有數(shù)學，數(shù)學是有用的，學好數(shù)學能方便于我們生活(只要合理就行)。
點評：新的課程標準更多地強調我們用數(shù)學知識解決生活中的問題，體驗數(shù)學的生活化和生活的數(shù)學化。在數(shù)學學習中，我們只有充分挖掘受數(shù)學在生活的原形，才能真正地理解數(shù)學，感受我們生活的世界是一個充滿數(shù)學的世界，從而更加熱愛生活，熱愛數(shù)學。
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